清单03 解三角形（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单03 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，角的对边长分别为.若，则（    ） A．17 B．7 C．34 D．13 【变式1-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【变式1-4】已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式2-1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2-2】已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-3】（1）若的面积为，，，求边AB的长度； （2）在中，已知，且.求证：为等腰直角三角形. 【变式2-4】记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【考点题型三】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例3】在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例4】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（1）求的值. （2）在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，求的最大值. 【变式4-4】在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【变式5-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 【变式5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)D为BC的中点． （i）证明：； （ii）若，求的周长． 【考点题型六】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例6】某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ） A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 【变式6-1】某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（ ）（单位：米） A． B． C． D． 【变式6-4】长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 解三角形 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【清单02】利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【清单03】正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【清单04】解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 【清单05】正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【清单06】利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【清单07】三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【清单08】解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【考点题型一】解三角形 技巧：已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【例1】已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由正弦定理将角化边，结合余弦定理求出，再求出、，最后根据计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以， 又，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， 所以， 所以为锐角， 所以， 所以 ， 又，所以. 故选：C 【变式1-1】在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面积公式求得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】因为．所以． 又的面积为，所以， 所以． 由余弦定理， 得， 所以， 所以， 故选：B． 【变式1-2】在中，角的对边长分别为.若，则（    ） A．17 B．7 C．34 D．13 【答案】A 【分析】由两角和的正弦公式求得，再结合正弦定理即可求解. 【详解】由，易得， 由 由正弦定理，可得， 故选：A 【变式1-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（1）；（2） 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解， （2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解， （ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解. 【详解】（1）由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以，    又因为，所以. （2）（ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故， （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 【变式1-4】已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，可得． 因为，所以． 又，且， 所以解得． （2）由余弦定理可知． 因为，所以， 整理得，解得或（舍去）． 由，可得， 则的面积． 【考点题型二】三角形形状的判断 技巧：（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【例2】在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状. 【详解】由题设， 则，又， 所以，即一定是等腰三角形. 故选：C 【变式2-1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 【变式2-2】已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 【变式2-3】（1）若的面积为，，，求边AB的长度； （2）在中，已知，且.求证：为等腰直角三角形. 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）应用三角形面积公式可得，法一：由余弦定理求边长；法二：确定为等边三角形，即可求边长； （2）由正弦边角关系及已知得，设结合已知得到，即可证结论. 【详解】（1）由，得， 法一：由余弦定理得， 所以，即边AB的长度等于2. 法二：易知，又，所以为等边三角形， 所以，即边AB的长度等于2. （2）证明：因为，所以，又， 所以，则，即. 设，则，，. 又，所以，即， 所以为等腰直角三角形. 【变式2-4】记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将题干条件变形，利用余弦定理得，结合角的范围即可求解. （2）利用面积比例求得，再由余弦定理化简得，从而，即可证明. 【详解】（1）因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. （2）因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 【考点题型三】三角形多解问题 技巧：已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【例3】在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理，即，所以， 因为只有一解， 若，则， 若显然满足题意， 所以或，所以或， 解得或； 故选：D 【变式3-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示． 若A为锐角，且有两解，则． 对于A选项，， ，但，此时没有两解，A选项不满足条件； 对于B选项，，此时有两解，B选项满足条件； 对于C选项，，且，此时只有一解，C选项不满足条件． 对于D选项，，此时没有两解，D选项不满足条件； 故选：B． 【考点题型四】三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧：① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【例4】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 【变式4-1】在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 【变式4-2】已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 【变式4-3】（1）求的值. （2）在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据余弦和差角公式可得，进而利用余弦的二倍角公式化简求解，，即可代入化简求解， （2）根据正弦定理可得，由面积公式可得，结合余弦定理得，根据不等式，即可求解. 【详解】（1）     而， ， 所以       （2）设的面积为，的外接圆半径为，由正弦定理， 则，故, 则， 由余弦定理，则 ， 由，得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以， 则的最大值为, 【变式4-4】在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，故. （2）由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故， 因此，周长的取值范围是. 【考点题型五】面积与周长求值问题 技巧：①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【例5】在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得出是钝角， 是锐角以及，则可得，利用基本不等式可求出B的最大值，进而求出，得出周长. 【详解】因为，所以， 所以是钝角， 是锐角， 因为， 即，得， 故 ， 因为，所以， 当且仅当时，即时最大，为， 故角取最大值，，故， 又由，故，即周长为. 故选：D. 【变式5-1】已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，由余弦定理，化简可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周长. 【详解】在和中，由余弦定理，可知 ∴ 在中，由余弦定理可知 ∴ ∴ 所以的周长为. 故选：A. 【变式5-2】记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及和差角公式结合题意可得，最后由辅助角公式可得答案； （2）由面积公式可得，结合及（1）分析可得a，最后由余弦定理可得，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理及， 可得 ，因，则， 则，结合， 则； （2）因的面积为，则， 则，由正弦定理及， 则，则. 由余弦定理，， 则， 则三角形周长为. 【变式5-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简求解即可.解法2：根据余弦定理化角为边，然后再利用余弦定理求解即可. （2）由得，然后根据正弦定理得，然后利用二倍角公式求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. （3）利用面积公式求得，再由余弦定理得，结合已知求得，即可求得周长. 【详解】（1）解法1：因为， 由正弦定理得 即， 因为，则，故； 解法2：因为， 由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ， ， . ， ， . （3）， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 【变式5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)D为BC的中点． （i）证明：； （ii）若，求的周长． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）（i）在中由余弦定理有，在中由余弦定理有，利用即可得证； （ii）由余弦定理得得，由代入（i）得即可求,进而得的周长. 【详解】（1）由，得， 所以由正弦定理得， 因为中，，所以， 即，所以， 又因为中，，所以，因为，所以． （2）（i）证明：因为D为BC的中点， 所以在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得， 因为,所以， 所以，即． （ii）当时， 在中，由余弦定理得，所以， 又由（i）知，，所以， 所以，解得， 所以的周长为． 【考点题型六】三角形中距离、高度、角度问题 技巧：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【例6】某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ） A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 【答案】B 【分析】由余弦定理与三角函数的恒等式，利用正弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得，在中，，，， 由余弦定理，则， 即，， 在中，易知，则，， ， 由正弦定理，则，即， 由，则. 故选：B. 【变式6-1】某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求得结果. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可得， ， 即观赏亭与观赏亭之间的距离为. 故选：C 【变式6-2】为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立几何图形，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可知，，，，且， 所以，，， 设，则， 中，，， 解得：. 故选：A 【变式6-3】如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（ ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在直角三角形中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，， 于是. 故选：D 【变式6-4】长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， ． 故选：D 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$