清单02 三角恒等变换（考点清单，知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单02 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单02】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单06】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单07】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单08】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 【变式1-1】在中，内角满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由化简可得，再结合基本不等式即可求解； 【详解】由题可知，所以， 即，化简得， 所以．又，所以， 因此 ，当且仅当时，等号成立． 故选：C 【变式1-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解. 【详解】由，则， 又，， 而 . 故选：D. 【变式1-3】计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故选：A. 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以．所以， 所以，则． 故选：A. 【变式2-1】如图，（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出再利用诱导公式化简原式，可得正弦、余弦齐次式，弦化切后代入即可得答案. 【详解】因为，所以 所以 故选：B. 【变式2-2】已知是第二象限角且，，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．－2 D． 【答案】C 【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案. 【详解】因为是第二象限角且，所以 ， 则因为,所以， 所以， 故选：C. 【变式2-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两角和正切公式展开求出，再利用“”的代换转化为齐次比式，化弦为切求解可得. 【详解】由，解得； 则 . 故选：D. 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 【变式3-1】已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围， 【详解】， 当时，由在区间上单调递增可得，，解得． 当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得， 综上所述，， 故选：D． 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得 . 故选：B 【变式3-3】若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值. 【详解】由已知可得 . 故选：A. 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则（2）选取函数的原则． ． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 【变式4-1】已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， ， 当且仅当即即时，等号成立. 故选：D 【变式4-2】已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 【变式4-3】已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 【考点题型五】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例5】已知函数的最小正周期为，且满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】由题知函数的周期和对称轴，分类讨论当和时，利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可. 【详解】因为，所以对称轴为， 当时，．则函数周期，则， ∴，对称轴为，，不合题，舍去； 当时，，其中， 得的最小正周期，∴，∴， 由，令，得，即，得， ∴．∴． 故选：C. 【变式5-1】已知 ，则的最大值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设，，利用辅助角公式化简后，结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为，所以可设，，其中; 则，其中  ; 又 ，所以时等号成立, 即的最大值是5. 故选：B. 【变式5-2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】， 所以. 故选：A 【变式5-3】已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角和辅助角公式化简解析式，由解析式求出与交点和最值点坐标，由为正三角形，建立等式，即可求得结果. 【详解】， 所以函数的最小正周期， B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，则， D是图像在B，C之间的最高点或最低点，为正三角形， 则有最高点的纵坐标为， ∴. 故选：B. 【考点题型六】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例6】如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 【变式6-1】古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【分析】设球的半径为，再根据球相切的性质，结合三角函数关系求解即可. 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 【变式6-2】筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 【变式6-3】如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等腰三角形的底角为，其中，将正方形与四个等腰三角形面积之和用的三角函数式表示出来，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】设等腰三角形的底角为，其中，则等腰三角形的高为，其底边长为， 所以，正方形与四个等腰三角形面积之和为， ，则，故当时，即当时， 取得最大值. 故选：B. 【考点题型七】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例7】已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 【变式7-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式，化简求值. 【详解】，解得：. 故选：B 【变式7-2】已知函数，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期. 【详解】由题设，， 所以最小正周期为. 故选：B 【变式7-3】已知在的最大值是1，则m的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式，化简可得，根据所给范围，求得的范围，结合正弦型函数的图象与性质，即可求得答案. 【详解】 =， 因为， 所以， 因为在的最大值是1， 所以，解得， 所以m的最小值为. 故选：A 【考点题型八】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 技巧：辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【例8】如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)，此时 【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.， （2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：如图所示：，为锐角， 因为，所以，解得， 所以， （2）解：由（1）知， （其中）， 当，，即当时，十字形取得最大面积，． 因为 所以 此时， 所以 综上，，此时 【变式8】如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． 【答案】(1)，． (2)时，面积最大为 【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可； （2）令换元，然后由二次函数性质可解. 【详解】（1）延长交于，设， 则，， ，． ，． （2）设， ，知，，， ． 当，即时，有最大值． 答：长方形停车场面积的最大值为平方米． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 三角恒等变换 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 【清单02】两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【清单03】两角和与差的正切函数 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【清单04】理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【清单05】升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【清单06】二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 【清单07】二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 【清单08】两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 【清单09】辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【清单10】半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【考点题型一】两角和与差的正（余）弦公式 技巧：已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【例1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，内角满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【考点题型二】两角和与差的正切公式 技巧：公式的变形应予以灵活运用． 【例2】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，（    ）    A． B．2 C． D．3 【变式2-2】已知是第二象限角且，，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．－2 D． 【变式2-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】二倍角公式的简单应用 技巧：应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【例3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】给角求值、给值求值、给值求角 技巧：在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则（2）选取函数的原则． ． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【例4】已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-1】已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】辅助角公式的应用 技巧:三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【例5】已知函数的最小正周期为，且满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【变式5-1】已知 ，则的最大值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】三角恒等变换在实际问题中的应用 技巧：解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【例6】如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式6-1】古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【变式6-2】筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用半角公式化简求值问题 技巧：1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【例7】已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知在的最大值是1，则m的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点题型八】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 技巧：辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【例8】如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【变式8】如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$