清单01 平面向量（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】．化简 (1)； (2) . 【变式1-1】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】．计算： (1)； (2). 【变式2-1】．化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-2】．已知，，求，与． 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【变式3-1】．下列各组的两个向量，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【变式3-3】已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ .【考点题型四】三点共线的常用结论 技巧：应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【例4】（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且. （2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点. 【变式3-1】已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点． （1）用、表示； （2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论． 【变式3-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【变式3-3】设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值. 【变式3-4】已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 【考点题型五】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例5】如图，在△ABC中，，，，，． (1)设，求x，y的值，并求； (2)求的值． 【变式5-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式5-2】．已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______. 【变式5-3】已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为__________. 【变式5-4】．已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________. 【考点题型六】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例6】已知向量,. (1)当时,求； (2)当，，求向量与的夹角. 【变式6-1】．已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【变式6-2】．已知向量，． (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角． 【考点题型七】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例7】已知，，与的夹角是． (1)计算； (2)当为何值时，？ 【变式7-1】已知向量，的夹角为，且，若，则______. 【变式7-2】若向量满足与垂直，则__________． 【变式7-3】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【考点题型八】用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 技巧：平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【例8】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】在平行四边形中，，，. 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例9】在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【变式9-1】如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    【变式9-2】勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】．化简 (1)； (2) . 【解析】（1）= （2）==. 【变式1-1】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 【变式1-2】 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算求出即可； 【详解】. 故选：D. 【变式1-3】在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】．计算： (1)； (2). 【解析】（1）原式= . （2）原式= . 【变式2-1】．化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1） （2） （3） （4） 【变式2-2】．已知，，求，与． 【解析】因为，，则， ， 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 【变式3-1】．下列各组的两个向量，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线； 对于B中，由，，可得，所以两向量不共线； 对于C中，由，，可得，所以两向量共线； 对于D中，由，，可得，所以两向量不共线. 故选：C. 【变式3-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 【变式3-3】已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 【解析】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)， 显然有2×2-1×4=0，于是得∥， 因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合， 所以直线AB与CD平行. .【考点题型四】三点共线的常用结论 技巧：应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【例4】（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且. （2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点. 【解析】（1）证明：因为是直线上的动点， 所以不妨设（为实数）， 则，， 令，， 则有，并且, 所以存在实数，，使得，并且. （2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点， 求证：AD、BE、CF交于一点. 证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG， 因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点， 所以，，， 根据（1）的结论得， 在中，，，，为实数. 在中，，，，为实数. 所以 ， ，解得 ， 所以， 即，，A、G、D三点共线， 所以AD、BE、CF交于一点. 【变式3-1】已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点． （1）用、表示； （2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论． 【解析】（1）点G是△OAB的重心， 延长OG交AB于D，即有D为AB的中点， 可得（）（）； （2）为定值3． 理由：由m，n， 可得，， 即有， 由三点P，G，Q共线，可得1， 即为3． 则为定值3． 【变式3-2】已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 【变式3-3】设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值. 【解析】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点. ，， 因为，，所以， 又因为P，G，Q三点共线，所以，所以. 【变式3-4】已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两向量的线性关系得出向量共线，再结合公共点B，即可证明. （2）因为两个向量平行得出向量关系结合平面向量基本定理列式求参. 【详解】（1）因为，又， 故，又与有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为与共线，即， 因为与是不共线的两个非零向量， 所以，故综上，k的值为． 【考点题型五】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例5】如图，在△ABC中，，，，，． (1)设，求x，y的值，并求； (2)求的值． 【解析】（1），， ， ， . （2） . 【变式5-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】` 由，且与的夹角为， 所以 . 故选：B. 【变式5-2】．已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【解析】，， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为： 【变式5-3】已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上的投影向量为： . 故答案为：. 【变式5-4】．已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________. 【答案】 【解析】因为向量在方向上的投影向量为，所以， 又，， 所以. 故答案为：. 【考点题型六】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例6】已知向量,. (1)当时,求； (2)当，，求向量与的夹角. 【解析】（1）向量,，则，. 由,可得即，即， 解得或,当,则,则,所以， 当，， ，综上    . （2）由,,则 由,可得,解得, 所以,, 又,所以. 【变式6-1】．已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【解析】（1）由，， . （2）若向量与互相垂直， 则， 所以． 【变式6-2】．已知向量，． (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角． 【解析】（1）由题知，， 所以， 所以. （2）由题知，，，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 向量与向量的夹角为. 【考点题型七】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例7】已知，，与的夹角是． (1)计算； (2)当为何值时，？ 【解析】（1）由已知， 所以． （2）若，则， ，则， ． 【变式7-1】已知向量，的夹角为，且，若，则______. 【答案】 【解析】由已知可得，， ，， 因为，所以，即，解得. 故答案为：. 【变式7-2】若向量满足与垂直，则__________． 【答案】 【解析】与垂直，则，， ，即，， 故答案为：． 【变式7-3】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 【考点题型八】用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 技巧：平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【例8】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A 【变式8-1】如图，中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：， ，，， 三点共线，，即. 故选：B. 【变式8-2】在平行四边形中，，，. 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 对于A，取OB的中点G，连接CG，则且，即 ，则 ，A选项正确； 对于B，，则 ，B选项正确； 对于C，， 则 ，C选项错误； 对于D，，D选项正确； 故选：C. 【变式8-3】在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ， 故选：A. 【考点题型九】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例9】在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果. 【详解】取PQ的中点N，则， 可得， ∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故答案为：2. 【变式9-1】如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【变式9-2】勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$