专题03 解三角形（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

高一苏教版（24-25学年）数学必修2期中末考点大串讲 串讲03 解三角形（5考点&6题型 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　解三角形 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　三角形形状的判断 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　 三角形多解问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　面积与周长求值问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　距离问题、高度问题、角度问题 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　判断三角形形状时考虑不全致错 03易错易混 易错点2　忽视角的范围致错 03易错易混 易错点3　忽略正弦值相等的两种情况 针对训练 04押题预测 D A B C A 谢谢观看！ 【解析】在中，，，， 由余弦定理， 即， 解得或（舍去）. 故选：C 【解析】（1）由可得， 所以，， 即，即， 即，可得，故. （2）因为，则， 由余弦定理可得，， ，则角为锐角，故， 因此，. 【解析】由题意知：长度为2022的边所对的角最大， 其余弦值， 则长度为2022的边所对的角为钝角， 故该三角形为钝角三角形， 故选：B （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）；②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）；②． 【变式】在中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【解析】由已知，在中，， 由正弦定理可知，， 所以, 整理得，， 即， 所以或（舍去）. 所以为等腰三角形. 故选：B. 例3、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【解析】如图所示． 若A为锐角，且有两解，则． 对于A选项，， ，但，此时没有两解，A选项不满足条件； 对于B选项，，此时有两解，B选项满足条件； 对于C选项，，且，此时只有一解，C选项不满足条件． 对于D选项，，此时没有两解，D选项不满足条件； 故选：B． 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【变式】在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】如图， B=45°，CD⊥AB，则， 以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点， 故CA>CD且CA<CB，即，解得． 故选：B． 例4、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求B； (2)若的面积等于，求的周长的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， ∵，所以，所以，∴； （2）依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． ① ② ③ 在中，已知, 其中 分别是的系数，其中 周长往往求 则 其中 【变式】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【解析】（1），且，，， 由正弦定理可知， ，， 即，， 整理得，； （2）， 由余弦定理可知， ，且， ， 当时，的最小值为． 例5、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且． (1)求角A的大小； (2)若，求三角形的面积． 【解析】（1）∵， ∴， ， ∵，∴， 又，∴，∵，∴； （2）∵， ∴，∴ ①② 其中分别为内切圆半径及的周长 ③（为外接圆的半径） ④ ⑤海伦公式（其中） 类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和 类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度 【变式】的内角的对边分别为，已知 (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由已知 由正弦定理，得， 即．所以， 又，所以； （2）由（1）知．所以， 又，所以， 所以，即． 所以的周长为. 例6、如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知在中，由余弦定理得所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去）所在 又在中， 由余弦定理得， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则 在中，由正弦定理得：则所以， 在中，由正弦定理得：则，故 （舍） ，故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【变式】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角， C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高． 【解析】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 1．已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【错解】选A　因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B，解得A＝B，所以△ABC是等腰三角形． 【错因】sin 2A＝sin 2B时，有两种可能：2A＝2B或2A＝π－2B， 【正解】选D　因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，解得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)， 所以△ABC是等腰或直角三角形． 2．在△ABC中，若C＝3B，则eq \f(c,b)的取值范围为(　 ) A．(0,3) B．(1,3) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，3) 【错解】选A　由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sin(B＋2B(,sin B)＝eq \f(sin B·cos 2B＋cos B·sin 2B,sin B) ＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴ cos2B 1，又eq \f(c,b)>0，∴0＜eq \f(c,b)＜3. 【错因】忽略了A＋B＋C＝180°及条件C＝3B， 【正解】选B　由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sin(B＋2B(,sin B)＝eq \f(sin B·cos 2B＋cos B·sin 2B,sin B) ＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B， ∴0°＜B＜45°，∴eq \f(\r(2),2)＜cos B＜1，∴1＜4cos2B－1＜3，即1＜eq \f(c,b)＜3. 3.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】因为sin 2A＝sin 2C⇒sin 2A＝sin(π－2C)，所以A＝C或A＋C＝eq \f(π,2). 当A＝C时，三角形为等腰三角形；当A＋C＝eq \f(π,2)时，三角形为直角三角形． 1．在△ABC中，cos A＝eq \f(5,13)，sin B＝eq \f(3,5)，则cos C的值为(　 ) A.eq \f(16,65) B．－eq \f(56,65) C．－eq \f(16,65) D.eq \f(16,65)或－eq \f(56,65) 【解析】在△ABC中，由cos A＝eq \f(5,13)，sin B＝eq \f(3,5)，可得sin A＝eq \r(1－cos2A)＝eq \f(12,13)， 因为sin B<sin A且A为锐角，则b<a，所以A>B，所以B为锐角，所以cos B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(4,5)， 则cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＝eq \f(16,65). 1．（2025·河南洛阳·高一期末（文））在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·高一期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（    ） A．25m B．30m C．35m D．40m 4．（2025·上海理工大学附属中学高一期中）中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个 5．（2025·江苏苏州·高一期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C．6 D． $$