精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2025年中考二模数学试题

初三质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了倒数，根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．正确掌握倒数的定义是解题关键． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法等知识．根据合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法分别计算即可作出判断． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由m个小立方体搭成，最多由n个小立方体搭成，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，最多情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有3个小立方块，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，图1是最少的一种情形下每个位置的小立方块数，图2是最多情形下每个位置的小立方块数， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ） A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠﹣4 D. a＜2且a≠﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据解分式方程的步骤求分式方程的解,再根据分式方程的解为非负数和分式方程有解可得分式方程的解不能等于2,列出不等式组进行解答即可. 列出不等式, 【详解】, 去分母可得:, 移项可得:, 合并同类项可得: 系数化为1可得:, 根据分式方程的解为非负数和分式有解可得: 且, 解得: a≤2且a≠﹣4, 故选C. 【点睛】本题主要考查解分式方程,分式方程的解,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程解的概念. 7. 某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡，小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶将3张哪吒玩偶兑换卡分别记为A，B，C，2张敖丙玩偶兑换卡分别记为D，E， 列表如下∶ 共有种等可能的结果，其中她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的结果有，，，，，，共6种， ∴她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率为． 故选：B． 8. 暑假来临，领队为安排30名游学人员入住，需要同时租用3人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排租房的方案共有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、找准等量关系等知识点，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设租用x间3人间，租用y间4人间，根据安排30名游学人员入住，据此列出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数即可解答． 【详解】解：设租用x间3人间，租用y间4人间， 依题意，得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或． ∴共有2种租房方案． 故选：D． 9. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点，之间（不含端点），则以下结论：①；②；③；④若二次函数在上的最大值为，则或；⑤若方程的两根为，，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，根据开口方向，对称轴计算公式和与y轴交点的位置可判断①；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则当时，，据此可判断②；把代入解析式得到，根据抛物线与y轴的交点在之间可得，据此可判断③；根据开口方向可知离对称轴越远函数值越大，分别令时的函数值为，进而求出此时的值即可判断④；根据直线与抛物线的交点在第一，三象限，即可判断⑤． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴， 抛物线与y轴的交点在之间（不含端点）， ， ，故①不正确； 由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②错误； 把代入解析式得，即 ， ， ， ，故③正确； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当，即或时 则， 解得（舍去）或； 当，即或时， 则， 解得或（舍去），故④正确； 若方程两根为， 则直线与抛物线的交点的横坐标为， 直线过第一、二、三象限且过点， 直线与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示， 由图象可知，故⑤正确； 综上所述，正确的有③④⑤， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的全面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式、扇形的面积公式，首先求出扇形的面积即为圆锥的侧面积为，根据扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径为，再求出底面圆的面积为，圆锥的底面积加圆锥的侧面积即为圆锥的全面积． 【详解】解：扇形的面积为， 扇形弧长为， 设圆锥底面圆半径为， 则， 解得：， 圆锥底面圆面积为， 这个圆锥的全面积为 故答案为：． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，连接易证垂直平分，进而得到为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， 由作图可知：， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 16. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 17. 如图，将放置在平面直角坐标系中，使直角顶点落在原点处，直角边落在轴正半轴上，直角边落在轴正半轴上．，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，…，以此类推，则的横坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，点作于点，根据矩形的判定和性质，正切值的求法，全等三角形的判定和性质得到，再利用同样的方法得到，找出规律即可求解． 【详解】解：过点作于点，点作于点，如图 由题意可得四边形和四边形是矩形， ，，，， 设， ， ． 则， ，， ． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 同理可得：， ． ， 的横坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了探案规律，正切值的求法，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线，求得是解答关键． 三、解答题（满分69分） 18. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角形函数值，完全平方公式，正确计算是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角形函数值进行计算即可； （2）首先提取公因式，然后利用完全平方公式即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程变形为，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：，． 20. 某校对初三学年全体学生1分钟跳绳项目进行了测试，并对初三部分学生的1分钟跳绳个数做了统计，绘制出了如下的统计表和频数分布直方图，在频数分布直方图中，从左到右六个小组的频率分别为0.04；0.12；0.24；0.30；0.18；0.08． 跳绳个数/个 135个以上 125个以上 105个以上 95个以下 85个以下 人数 2 9 33 6 1 （1）本次抽取的学生人数是________人，其中1分钟跳绳个数不低于95个且不高于105个的人数是________人，跳绳中位数落在第________组．（填序号，从左向右依次为1组-7组） （2）请补全频数分布直方图． （3）初三学生1分钟的跳绳个数高于120个为优秀，若该学校初三学生共有820人，求该校初三学生本次1分钟跳绳成绩为优秀的约有多少人？ 【答案】（1）50；11；4 （2）见解析 （3）246人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数的概念理解，用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先由第5小组的人数除以频率即可得到总数，根据频数分布表即可求解1分钟跳绳个数不低于95个且不高于105个的人数，再根据中位数定义求解中位数； （2）用总人数减去前面5组人数，求出剩余两组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数是：（人）； 其中1分钟跳绳个数不低于95个且不高于105个的人数是：（人）； 第1小组人数人，第2小组人数人，第3小组人数为人，第4小组人数， 本次抽取50人，则中位线为第25，26人跳神次数的平均数，则落在第4小组， 故答案为：50；11；4； 【小问2详解】 解：第6小组人数为（人）， ∴第7小组人数为（人）， 补全统计图： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校初三学生本次1分钟跳绳成绩为优秀的约有246人． 21. 如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． （1）证明：是的切线； （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； （2）由圆周角定理以及弧与圆心角的关系得到，则，然后证明即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 证明：如图： 由上知：， 点C是中点， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角的性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 22. 在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； （2）求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 【答案】（1）20；1 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息即可解答； （2）设线段的函数解析式为，代入和，利用待定系数法求出的值，再结合图象即可写出自变量x的取值范围； （3）根据图象的信息求出甲车的行驶速度、乙车休息前的行驶速度，再分①甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等；②甲、乙两车第一次相遇；③甲、乙两车第二次相遇三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：由图象得，当时，， A，B两地相距， 由图象得，当时，乙车开始休息；当时，乙车重新出发； 乙车中途休息； 故答案为：20；1． 【小问2详解】 解：设线段的函数解析式为， 代入和得，， 解得：， 线段的函数解析式为． 【小问3详解】 解：在时，甲、乙两车同向行驶，且乙车的速度大于甲车的速度，此时两车的速度差为 在时，乙车休息，则甲车的行驶速度为， 乙车休息前的行驶速度为， ①设出发后，甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等， 则有， 解得：； ②由图象得，当甲、乙两车相遇时，两车距B地的距离相等， 两车第一次相遇发生在乙车休息的时间， 此时乙车行驶的距离为， 相遇时间为； ③由图象得，两车第二次相遇发生在C地， 此时甲、乙两车出发； 综上所述，甲、乙两车出发或或，两车距B地的距离相等． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行的相关问题的研究． 【观察猜想】如图1，已知是等腰直角三角形，，点D为的中点．作正方形，使点A、C分别在和上，连接．易证：，直线与直线互相垂直． 【实践发现】（1）如图2，将绕点D顺时针旋转，直线与直线交于点M，则与的关系为________，连接，则________； 【类比探究】 观察感知： （2）如图3，若不动，将正方形绕点D逆时针旋转．试判断线段与之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图3证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当取最大值时，的值为________； （4）在（3）的条件下，若点P、C关于直线对称，连接，N为线段上一点，且，在整个旋转过程中，当点N、G、P三点共线时，的长为________． 【答案】（1）；45；（2）仍然成立，证明见解析；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）可证明是等腰直角三角形，且，则，再由正方形的性质得到，则有，据此可得，根据平角的定义可得，则A、D、B、M四点共圆，即可得到； （2）同理证明，即可证明； （3）根据，可得当点在线段上时，有最大值，据此求解即可． （4）分图4-1和图4-2两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、D、B、M四点共圆， ∴； （2）仍然成立，证明如下： ∵是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴当点在线段上时，有最大值， ∵， ∴，， ． 在中，由勾股定理，得； （4）如图4-1所示，过点D作于R，连接 ∵点P、C关于直线对称，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 如图4-2所示，同理可得，， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形以及利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 24. 综合与探究 已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上存在点M，使得，则点M的坐标为________； （3）如图②，E为线段上的动点（点E不与B，C重合），F为射线CA上的动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为________； （4）如图3，若点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，请直接写出n与m的函数关系式________，的最大值________． 【答案】（1） （2）或 （3） （4），1 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得，则，即可作答． （2）先得出，，再根据点M在抛物线的对称轴上，故设，根据两点之间的距离公式列式，解得，，即可作答． （3）先运用勾股逆定理得，，再过点B作直线，且在上截取一点，使得，连接，证明，则，再求出的解析式，故设直线的解析式为，然后得，结合，解得，因为当三点共线时，即，再运用勾股定理算得，即可作答． （4）先求出直线的表达式为①，依题意，得，再表示直线的表达式为②，整理得，因为，则，化简得，结合以及，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接， ∴当时，则， 整理得， 解得， ∴， 令当时，则， ∴， ∵点M在抛物线的对称轴上， ∴设， ∵， ∴ ∴， 整理得 ∴， ∴， 解得，， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴，， ∴， 则， ∴， 如图，过点B作直线，且在上截取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设的解析式为， 把，代入 把， 得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得 解得， ∴ 设， ∵， ∴ 则， ∴ ∴ 则或（舍去）， 把代入， ∴把代入（舍去）， 则， 则当三点共线时，即， 此时有最小值， ∴， 故答案为：． 【小问4详解】 解：设直线的函数表达式为， 将、坐标代入得， 解得， ∴直线的表达式为①， ∵点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，且抛物线的解析式为 ∴， 过点分别作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∴， 设直线函数表达式为， 将代入得， 解得． ∴直线的表达式为②， 联立①②并整理得 ∴， ∵， 则 ∴， 即， 整理得， ∴ ∵， ∴当时n有最大值，最大值为1．即的最大值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A. B. C. D. 5. 用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由m个小立方体搭成，最多由n个小立方体搭成，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ） A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠﹣4 D. a＜2且a≠﹣4 7. 某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡，小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 暑假来临，领队为安排30名游学人员入住，需要同时租用3人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排租房的方案共有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 9. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点，之间（不含端点），则以下结论：①；②；③；④若二次函数在上的最大值为，则或；⑤若方程的两根为，，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为_____． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的全面积为____． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心长为半径画弧，两弧在直线下方交于点D，连接，则的长为_____． 15. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______． 16. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 17. 如图，将放置在平面直角坐标系中，使直角顶点落在原点处，直角边落在轴正半轴上，直角边落在轴正半轴上．，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，…，以此类推，则的横坐标为_____． 三、解答题（满分69分） 18. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 19. 解方程： 20. 某校对初三学年全体学生1分钟跳绳项目进行了测试，并对初三部分学生的1分钟跳绳个数做了统计，绘制出了如下的统计表和频数分布直方图，在频数分布直方图中，从左到右六个小组的频率分别为0.04；0.12；0.24；0.30；0.18；0.08． 跳绳个数/个 135个以上 125个以上 105个以上 95个以下 85个以下 人数 2 9 33 6 1 （1）本次抽取的学生人数是________人，其中1分钟跳绳个数不低于95个且不高于105个的人数是________人，跳绳中位数落在第________组．（填序号，从左向右依次为1组-7组） （2）请补全频数分布直方图． （3）初三学生1分钟的跳绳个数高于120个为优秀，若该学校初三学生共有820人，求该校初三学生本次1分钟跳绳成绩为优秀的约有多少人？ 21. 如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． （1）证明：是的切线； （2）证明：． 22. 在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； （2）求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行的相关问题的研究． 【观察猜想】如图1，已知是等腰直角三角形，，点D为的中点．作正方形，使点A、C分别在和上，连接．易证：，直线与直线互相垂直． 【实践发现】（1）如图2，将绕点D顺时针旋转，直线与直线交于点M，则与的关系为________，连接，则________； 【类比探究】 观察感知： （2）如图3，若不动，将正方形绕点D逆时针旋转．试判断线段与之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图3证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当取最大值时，的值为________； （4）在（3）的条件下，若点P、C关于直线对称，连接，N为线段上一点，且，在整个旋转过程中，当点N、G、P三点共线时，的长为________． 24. 综合与探究 已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上存在点M，使得，则点M的坐标为________； （3）如图②，E为线段上的动点（点E不与B，C重合），F为射线CA上的动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为________； （4）如图3，若点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，请直接写出n与m的函数关系式________，的最大值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $