清单04 因式分解（考点清单，知识导图+6个考点清单&9大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

清单04 因式分解 （6个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 清单02 公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； 清单04 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 清单05 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 清单06 分组分解 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 【考点题型一】 判断是否是因式分解（） 【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的定义．因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解． 【详解】解：A选项，是多项式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不符合题意； B选项，，应用完全平方公式进行因式分解，本选项符合题意； C选项，不是多项式，不符合因式分解的定义，本选项不符合题意； D选项，，原式不符合因式分解的定义，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解是将多项式写成整式积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是将多项式式分解成几个整式积的形式，属于因式分解，满足题意； D、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·天津南开·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 符合因式分解的定义，则B符合题意； 左右两边不相等，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 根据因式分解的定义逐项判定即可. 【详解】解：：符合因式分解的定义，则A选项符合题意； 是乘法运算，故B选项不符合题意； 是完全平方公式，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：A． 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 【变式2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 【考点题型三】公因式（） 【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 运用提公因式因式分解法进行求解． 【详解】解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为， ∴多项式的公因式是， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可． 【详解】解：与的公因式是； 故答案为：． 【考点题型四】提公因式（） 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-1】（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案． 【详解】 故答案为： 【变式4-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为： 【考点题型五】运用公式法因式分解（） 【例5】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A不符合题意； B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B不符合题意； C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 【变式5-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式：进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解．熟练掌握平方差公式分解因式，是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（） 【例6】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-1】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式6-4】（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点题型七】十字相乘法分解因式（） 【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 【考点题型八】分组分解法分解因式（） 【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法． 先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． （1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 因式分解 （6个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 清单02 公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； 清单04 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 清单05 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 清单06 分组分解 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 【考点题型一】 判断是否是因式分解（） 【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·天津南开·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】公因式（） 【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式的公因式是 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ． 【考点题型四】提公因式（） 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 【变式4-1】（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ． 【变式4-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【考点题型五】运用公式法因式分解（） 【例5】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（） 【例6】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ． 【变式6-1】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【变式6-2】（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ． 【变式6-4】（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ． 【考点题型七】十字相乘法分解因式（） 【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【考点题型八】分组分解法分解因式（） 【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$