第四章《因式分解》综合检测题（2）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第四章《因式分解》 综合检测题(2) 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题(本大题共10小题,总分40分) 1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( ) A.6a2b4=3ab2•2ab2 B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 C.2x2﹣4x+1=2x(x﹣2)+1 D. 2.关于等式①2a﹣4=2(a﹣2)和②3x2+3xy=3x(x+y)从左到右的变形,下列说法中,正确的是( ) A.①和②都是因式分解 B.①和②都不是因式分解 C.①是因式分解,②不是因式分解 D.①不是因式分解,②是因式分解 3.对于下列两个自左向右的变形: 甲:6x2y=2x•3xy; 乙:x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1; 其中说法正确的是( ) A.甲、乙均为因式分解 B.甲、乙均不是因式分解 C.甲是因式分解,乙是整式乘法 D.甲是整式乘法,乙是因式分解 4.多项式8a3b2+12ab3c的公因式是( ) A.abc B.4ab2 C.ab2 D.4ab2c 5.(﹣2)2022+(﹣2)2023等于( ) A.﹣22022 B.﹣22023 C.(﹣2)2022 D.﹣2 6.若k为任意整数,则(k+5)2﹣(k﹣3)2的值总能( ) A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除 7.若x2+mx﹣10=(x﹣5)(x+n),则m+n的值为( ) A.5 B.﹣1 C.﹣5 D.1 8.已知 ABC的三边a,b,c满足a|a+c|﹣bc﹣ab=0,则 ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 9.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为x cm,y cm,且满足(x﹣y)2﹣2x+2y+1=0,则该长方形的面积为( )cm2. A. B. C.15 D.16 10.已知m,n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20=0,则m+n的最小值是( ) A.20 B.30 C.32 D.37 二、填空题(本大题共5小题,总分20分) 11.若x+5,x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式,则k= . 12.将整式3a2﹣9a分解因式结果正确的是 . 13.分解因式:3a2﹣6a﹣9= . 14.已知m+2n﹣3=0,且m﹣2n+2=0,则m2﹣4n2= . 15.已知多项式x2+mx+5=(x+p)(x+q),p,q为整数,则m的值为 . 三、解答题(本大题共10小题,总分90分) 16.因式分解: (1)3x2﹣6x+12xy; (2)(x﹣y)3+4x(x﹣y)2. 17.将下列多项式因式分解: (1)ax2﹣12ax+36a; (2)a2(x﹣y)+9b2(y﹣x). 18.下面是某同学对多项式(m2﹣4m)(m2﹣4m+8)+16进行因式分解的过程. 解:设m2﹣4m=n, 原式=n(n+8)+16(第一步), =n2+8n+16(第二步), =(n+4)2(第三步), =(m2﹣4m+4)2(第四步), (1)该同学第二步到第三步运用 进行因式分解. (2)该同学是否完成了将该多项式因式分解?若没有完成,请直接写出因式分解的最后结果. (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x+4)(x2﹣2x﹣2)+9进行因式分解. 19.已知:x,y满足. (1)x+y= ,xy= ; (2)求x2y+xy2的值; (3)求x2+y2的值. 20.若一个整数M能分成两个连续整数的平方和,那么我们称这个整数M为“连续平方和数”.如:25=(﹣4)2+(﹣3)2,5=12+22,25和5都是“连续平方和数”. (1)举例说明,当M为13时,M是哪两个数的“连续平方和数”; (2)求证:任意整数M(连续平方和数)为奇数. 21.仔细阅读下面的例题,并解答问题: 例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n) 则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴解得n=﹣7,m=﹣21. ∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21. 解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n) ∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0 即(﹣3)2﹣4 (﹣3)+m=0,解得m=﹣21 ∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7) ∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21. 问题:仿照以上一种方法解答下面问题. (1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p= . (2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值. 22.【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2,如果我们把x=1代入x2+x﹣2,发现此多项式的值为0,这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1,可设x2+x﹣2=(x﹣1)(x+m)(m为常数),通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”. 根据以上阅读材料,完成下列问题: (1)请完成下列因式分解:x2+x﹣2= ; (2)若多项式x2+mx﹣n(m,n为常数)分解因式后,有一个因式是(x﹣2),求2m﹣n值; (3)多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得(x+a)(x2+bx+c)(a,b,c为常数),请直接写出a,b,c的值. 23.(1)试说明代数式(s﹣2t)(s+2t+1)+4t(t)的值与s、t的值取值有无关系; (2)已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项,且常数项为﹣4,试求ab的值; (3)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值. 24.[阅读材料] 将四项及四项以上的多项式进行因式分解,我们一般使用分组分解法.分组分解法有两种分法:一是“3+1”分组:二是“2+2”分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方,若可以构成完全平方,则采用”3+1”分组;若无法构成,则采用”2+2”“分组. 例如,x2+2x+1﹣4=(x2+2x+1)﹣4=(x+1)2﹣22=(x+1﹣2)(x+1+2)=(x﹣1)(x+3); am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n). [应用知识] (1)因式分解:a2﹣ab+bc﹣ac; (2)因式分解:﹣a2﹣6ab﹣9b2+9; [拓展应用] (3)已知一三角形的三边长分别是a,b,c,且满足,2a2=c(2a﹣c)+b(2a﹣b),试判断这个三角形的形状,并说明理由. 25.我们知道,对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式,例如,由图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题: (1)写出图2中所表示的数学等式 ; (2)利用(1)中所得到的结论,解决问题:已知a+b+c=11,a2+b2+c2=45,求ab+bc+ac的值; (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张宽和长分别为a和b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的长方形.请仿照图2,画出拼出的长方形并求出(z﹣x)y的值. (4)事实上,通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式.图4表示的是一个棱长为m的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图4中的数据以及图形的变化关系,写出一个数学等式 .(等式的两边均不用化简) 参考答案 1、 选择题(本大题共10小题,总分40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B A D B C A A 二、填空题(本大题共5小题,总分20分) 11.﹣2. 12.3a(a﹣3). 13.3(a+1)(a﹣3). 14.﹣6. 15. 6. 三、解答题(本大题共10小题,总分90分) 16.解:(1)3x2﹣6x+12xy =3x(x﹣2+4y); (2)(x﹣y)3+4x(x﹣y)2 =(x﹣y)2(x﹣y+4x) =(x﹣y)2(5x﹣y). 17.解:(1)ax2﹣12ax+36a =a(x2﹣12x+36) =a(x﹣6)2; (2)a2(x﹣y)+9b2(y﹣x) =a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y) =(x﹣y)(a2﹣9b2) =(x﹣y)(a+3b)(a﹣3b). 18.解:(1)由n2+8n+16=(n+4)2 得出运用了两数和的完全平方公式, 故答案为:完全平方公式. (2)该同学没有完成因式分解, (m2﹣4m+4)2=[(m﹣2)2]2=(m﹣2)4, (3)设x2﹣2x=y, 则原式=(y+4)(y﹣2)+9 =y2+2y+1 =(y+1)2 =(x2﹣2x+1)2 =(x﹣1)4. 19.解:(1)由题意知,,, ∴x+y,xy, 故答案为:,. (2); (3)∵,, ∴, 又∵(x+y)2=x2+2xy+y2, ∴, ∴, ∴x2+y2=7. 20.解:(1)因为13=22+32, 所以当M为13时,M是2和3的“连续平方和数”; 证明:(2)设两个连续整数分别为:x、(x+1), M=x2+(x+1)2 =x2+x2+2x+1 =2x2+2x+1 =2(x2+x)+1, 因为2(x2+x)是偶数, 所以2(x2+x)+1是奇数, 所以任意整数M(连续平方和数)为奇数. 21.解:(1)设另一个因式为x+a,得x2﹣px﹣6=(x﹣3)(x+a) 则x2﹣px﹣6=x2+(a﹣3)x﹣3a, ∴,解得a=2,p=1. 故答案为:1. (2)设另一个因式为(x+n),得2x2+3x﹣k=(2x+5)(x+n) 则2x2+3x﹣k=2x2+(2n+5)x+5n ∴, 解得n=﹣1,k=5, ∴另一个因式为(x﹣1),k的值为5. 22.解:(1)设x2+x﹣2=(x﹣1)(x+m)=x2+(m﹣1)x﹣m, 则m=2, 则x2+x﹣2=(x﹣1)(x+2), 故答案为:(x﹣1)(x+2); (2)设x2+mx﹣n=(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a, 则m=a﹣2,n=2a, 那么2m﹣n=2(a﹣2)﹣2a=2a﹣4﹣2a=﹣4; (3)∵(x+a)(x2+bx+c) =x3+bx2+cx+ax2+abx+ac =x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac =x3+2x2﹣3, ∴a+b=2,ab+c=0,ac=﹣3, 解得:a=﹣1,b=3,c=3. 23.解:(1)代数式的值与t的值取值无关系,与s的值取值有关系. ∵(s﹣2t)(s+2t+1)+4t(t) =s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t =s2+s, ∴代数式的值与t的值取值无关系,与s的值取值有关系. (2)(ax﹣b)(2x2﹣x+2) =2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b =2ax3﹣(a+2b)x2+(2a+b)x﹣2b, ∵积展开式中不含x的一次项,且常数项为﹣4, ∴2a+b=0,﹣2b=﹣4, ∴a=﹣1,b=2. ab=1. (3)设另一个因式为(x+m). 根据题意得,(x+m)(2x﹣5)=2x2+3x﹣k, x2﹣5x+2mx﹣5m=2x2+3x﹣k, x2+(2m﹣5)x﹣5m=2x2+3x﹣k, ∴2m﹣5=3,﹣k=﹣5m, ∴m=4,k=20, ∴另一个因式:(x+4),k是20. 24.解:(1)a2﹣ab+bc﹣ac =(a2﹣ab)+(bc﹣ac) =a(a﹣b)﹣c(a﹣b) =(a﹣b)(a﹣c); (2)﹣a2﹣6ab﹣9b2+9 =(﹣a2﹣6ab﹣9b2)+9 =9﹣(a2+6ab+9b2) =32﹣(a+3b)2 =(3+a+3b)(3﹣a﹣3b); (3)这个三角形是等边三角形,理由如下: ∵2a2=c(2a﹣c)+b(2a﹣b), ∴2a2=2ac﹣c2+2ab﹣b2, ∴2a2﹣2ac+c2﹣2ab+b2=0, (a2﹣2ac+c2)+(a2﹣2ab+b2)=0 (a﹣c)2+(a﹣b)2=0, ∴a﹣c=0,a﹣b=0, ∴a=c,a=b, ∴a=b=c, ∴这个三角形是等边三角形. 25.解:(1)图2中所表示的数学等式为: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. (2)∵a+b+c=11,a2+b2+c2=45, ∴ab+bc+ac=38, ∴ab+bc+ac的值为38; (3)∵边长为a的正方形面积为a2,边长为b的正方形面积为b2,宽、长分别为a、b的长方形纸片面积为ab, ∴需要边长为a的正方形纸片2张,边长为b的正方形纸片2张,宽、长分别为a、b的长方形纸片5张,如图, 即x=2,y=2,z=5, ∴(z﹣x)y=(5﹣2)2=9; (4)长为m的正方体挖去一个长方体后体积为:m3﹣mn2, 新长方体的长为(m+n),宽为m,高为(m﹣n),则体积为:m(m+n)(m﹣n), ∴可以得到的数学等式为m3﹣mn2=m(m+n)(m﹣n). 故答案为:m3﹣mn2=m(m+n)(m﹣n). 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$