清单03 图形的平移与旋转（考点清单，知识导图+3个考点清单&11大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

清单03 图形的平移与旋转 （3个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-1】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 【答案】A 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、瓶装饮料在传送带上移动，是平移，符合题意； B、小朋友荡秋千不是平移，不符合题意； C、骑自行车时的轮胎滚动不是平移，不符合题意； D、“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动不是平移，不符合题意； 故选A． 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的概念即可求解，正确掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段可表示平移距离， 故选：． 【变式1-3】（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲乙；②甲乙；③甲乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键．将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：②③的路线平移如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，沿着方向平移至，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质，由平移的性质得，于是得出，，再根据三角形内角和定理即可求出的度数，从而得出的度数． 【详解】解：由平移的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： =， 绿化区的面积是， 故选：B． 【变式2-4】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式3-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．让点的横坐标减5，纵坐标加4即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：将点向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点，则点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 向右平移m个单位，得到点的坐标为， 由题意，点落在轴上， 解得． 故答案为：． 【变式3-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 【答案】7 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 【变式4-1】（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 【变式4-2】（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到．    (1)请画出并写出点，，的坐标； (2)若点P在 y 轴上，且的面积是1，请直接写出点P的坐标 【答案】(1)见解析，，， (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据题意得到向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到三角形，即可在坐标系中画出，并可以写出点，，的坐标； （2）设点P的坐标为，根据三角形面积公式得到，求出，即可得到点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵中任意一点经平移后对应点为， ∴向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到三角形，如图所示，即为所求；    此时，，；    （2）解：∵点P在轴上， ∴设点P的坐标为， ∵的面积是1， ∴， ∴， ∴ ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了利用平移变换再坐标系中作图，熟练掌握图形再坐标系中的平移规律是解题关键，注意作图时首先要找到图形的关键点，第（2）步注意m的值是两种情况，不要漏解． 【变式4-3】（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 【变式5-1】（19-20九年级上·河北石家庄·期末）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点C恰好落在边上的点处，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，旋转得到，，等边对等角结合三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到，点C恰好落在边上的点处， ∴，， ∴； 故选D． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，由，即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∵点恰好在边上， ∴， 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    【答案】/25度 【分析】本题考查了图形的旋转性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转性质得到对应角相等，并结合直角三角形的性质求解． 【详解】由旋转的性质可得，、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题， 先求出各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，找到A点的坐标循环的规律是解题的关键． 根据旋转的性质分别求出第、、、、…时，点A的对应点、、、、…的坐标，找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ∵，叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：C． 【变式6-2】（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点逆时针旋转， 第4次旋转后回到初始位置， 又， 当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点与点重合， 点， 点 转动2025次后，点的坐标为． 故选：B． 【变式6-3】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 【变式6-4】（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故答案为：． 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由是： 如图2，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 同理得：， ， 中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式7-1】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出旋转角，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据得出，根据，即可求解． 【详解】（1）， 由旋转得， 点在同一条直线上， ， ， 旋转角的度数是，即， 的值为120． （2）， ， 由（1）知， ， ， 的长为6． 【变式7-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转，当点A，B，M三点共线时，若，，求出线段的长； (3)如图3，将绕点O继续逆时针旋转，若点A恰好落在边上时，与交点为C，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1），，，即可证明； （2）证明，则，，得到，，则 ，得到，在中，，，则，得到，即可得到答案； （3）在上取点E，使得，连接，证明，进一步得到，由，又，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图1， ，都是等腰直角三角形， ， （2）如图， ， 又， ， 在中， ， 在中，，. ， （3）如图，在上取点E，使得，连接， ， 又， 又 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． (1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． (2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①等式性质1，② (2)①，证明见解析；② (3)或 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴（ ）， 故答案为：等式性质1，； （2）解：①． 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ， ∴； （3）解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（24-25九年级上·广西河池·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项符合题意； 故选：． 【变式8-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（   ） A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 厨余垃圾，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 可回收物，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 其他垃圾，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 有害垃圾，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 【变式8-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形， 故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形， 故此选项合题意； C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形， 故此选项合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故此选项不符合题意； 故选：C． 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，， ∴A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 【变式10-1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点关于原点对称，则n的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 故选：D． 【变式10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）若点，关于原点对称，则 【答案】 【分析】根据原点对称的两个点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，解答即可． 本题考查了点的对称，熟练掌握对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据点，关于原点对称， 得， 故． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）点关于原点对称的点的坐标为，那么 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点，根据两点关于原点的对称，横纵坐标互为相反数，即可得出的值． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴． 故答案为：． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键. （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，，． （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 故答案为：． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，写出顶点C的对应顶点的坐标； (2)若和关于原点O成中心对称图形，写出顶点C的对应顶点的坐标； (3)将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、成中心对称的图形的性质． （1）由点A平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为：先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，根据顶点C的坐标即可得出答案； （2）由中心对称的性质即可得出答案； （3）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：平移后对应的点的坐标为， 平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ， 的坐标为，即； （2）解：和关于原点O成中心对称图形，， 的坐标为； （3）解：如图，即为所求． 【变式11-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，则的坐标为（ ， ）； (2)将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出的坐标为（ ， ）； (3)若点P为y轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)图见解析；，3 (2)图见解析；1， (3) 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； 故答案为：，3； （2）解：如图，即为所求；   的坐标为； 故答案为：1，； （3）如图，连接交y轴于点P，则， ∴的最小值． 【变式11-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，三个顶点坐标分别为，请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出； (2)画出关于坐标原点O成中心对称的； (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为________． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)． 【分析】本题考查作图一旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则点P为旋转中心，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解∶如图，即为所求； （3）解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可看作是由绕点P顺时针旋转得来，由图可知，旋转中心P的坐标为． 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的平移与旋转 （3个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式1-3】（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲乙；②甲乙；③甲乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，沿着方向平移至，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 【变式3-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【变式4-1】（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【变式4-2】（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到．    (1)请画出并写出点，，的坐标； (2)若点P在 y 轴上，且的面积是1，请直接写出点P的坐标 【变式4-3】（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（19-20九年级上·河北石家庄·期末）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点C恰好落在边上的点处，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【变式6-1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期末）（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【变式7-1】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 【变式7-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转，当点A，B，M三点共线时，若，，求出线段的长； (3)如图3，将绕点O继续逆时针旋转，若点A恰好落在边上时，与交点为C，求证：． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． (1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． (2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（24-25九年级上·广西河池·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（   ） A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾 【变式8-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式9-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点关于原点对称，则n的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【变式10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）若点，关于原点对称，则 【变式10-3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）点关于原点对称的点的坐标为，那么 ； 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点A的对应点的坐标为，写出顶点C的对应顶点的坐标； (2)若和关于原点O成中心对称图形，写出顶点C的对应顶点的坐标； (3)将绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到，画出． 【变式11-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，则的坐标为（ ， ）； (2)将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出的坐标为（ ， ）； (3)若点P为y轴上一动点，求的最小值． 【变式11-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，三个顶点坐标分别为，请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出； (2)画出关于坐标原点O成中心对称的； (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$