清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+7个考点清单&9大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （7个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 清单07 一元一次不等式与一次函数 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【考点题型七】一元一次不等式组的应用（） 【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【变式7-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）我区某学校计划举办以“庆元旦，颂祖国”为主题的演讲比赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知2件甲种奖品和1件乙种奖品共需50元，3件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共30件，设购买两种奖品总费用为（元），甲种奖品（件），写出与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【变式7-3】（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【变式7-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【考点题型八】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【考点题型九】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例9】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （7个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 清单07 一元一次不等式与一次函数 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的运用，根据图示可得限高标志牌的意义是不超过5米，由此即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，限高标志牌的意义为不超过5米，即小于等于5米， ∴超过5米的不能通过， 故选： A． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质解题是本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】A．根据不等式的基本性质1，两边同时减，得，所以该选项错误，不符合题意；． B．依据不等式的基本性质2，两边同时除以4，得，该选项正确，符合题意； C．根据不等式的基本性质2，两边同时乘5，得，所以该选项错误，不符合题意； D．根据不等式的基本性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，所以该选项错误不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式的基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．利用不等式的性质分别判断得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，故A成立，符合题意； ∵，， ∴，故B不一定成立，不符合题意； ∵， ∴，故C不一定成立，不符合题意； ∵， ∴，故D不一定成立，不符合题意； 故选A． 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 且，所以故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 由，且得，，即故D选项符合题意． 故选：D． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可． 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【详解】解：某日我市最高气温是，最低气温是， 当天气温的变化范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． （1）根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，， ∴， 解得， ∴原不等式组的解集为． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； （2）去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：    （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：      【变式4-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 两个不等式的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，首先解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有3个整数解即可确定整数解，从而得到a的范围． 【详解】解：不等式组的解集是． 又∵不等式组有3个整数解， ∴整数解是0，1，2． ∴， 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，根据所给不等式组解得，，根据此不等式组的解集为，即可得；掌握解不等式组的方法是解题关键． 【详解】解： 解不等式①，得， 由不等式②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 【变式6-1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式6-3】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 【考点题型七】一元一次不等式组的应用（） 【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】(1)120 (2) (3)当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【详解】（1）解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； （3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 【变式7-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）我区某学校计划举办以“庆元旦，颂祖国”为主题的演讲比赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知2件甲种奖品和1件乙种奖品共需50元，3件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共30件，设购买两种奖品总费用为（元），甲种奖品（件），写出与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元 (2) (3)当购买甲种奖品10件，乙种奖品20件时，所需费用最少，最少费用为400元 【分析】（1）设甲种奖品的单价为a元，乙种奖品的单价为b元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，问题得解； （2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品件，根据总费用等于甲乙两种奖品费用之和得到y与x的函数关系式，化简即可； （3）根据乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，得到x的取值范围，结合一次函数的性质和x为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为a元，乙种奖品的单价为b元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元； （2）解：设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品件， 依题意，得：， 即y与x的函数关系式：； （3）解：由题意得 ， ∴且为整数， ∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵x是整数， ∴当时， （元），（件）， ∴当购买甲种奖品10件，乙种奖品20件时，所需费用最少，最少费用为400元． 【点睛】本题为二元一次方程组，不等式，一次函数应用题，理解题目中的数量关系，根据题意列出方程组和函数关系式，并熟知一次函数的性质是解题关键． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 【变式7-3】（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 【变式7-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)14 (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)应接或的开水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：根据题意得： 解得：， ∵x为整数， ∴或， 答：应接或的开水． 【考点题型八】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息． 直接从一次函数的图象上即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， ∴不等式的解集为． 故选：D． 【变式8-1】（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．看在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可以看出，x轴下方的函数图象所对应自变量的取值为， ∴不等式的解集是． 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．直接利用函数图象即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知：当时， 所以关于x的方程的解为， 故选：B． 【变式8-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 先找出两条直线的交点，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：当时，， 与相交于点， 由图象得： 不等式组的解集为：， 故选：A． 【变式8-4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，得到直线交轴于点为，结合可得到． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到直线交轴于点为， 由， 故． 故答案为：． 【考点题型九】根据两条直线的交点求不等式的解集（） 【例9】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 1 【变式9-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键先求出交点坐标，进而确定a的值． 先根据交点在上，求出，从而确定交点坐标，把代入，算出，然后代入不等式，即可求解． 【详解】∵函数和函数的交点为， ， ，             ， 把A点的坐标代入得， ， 把代入得， 解得： 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 1 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键先求出交点坐标，进而确定a的值． 先根据交点在上，求出，从而确定交点坐标，把代入，算出，然后代入不等式，即可求解． 【详解】∵函数和函数的交点为， ， ，             ， 把A点的坐标代入得， ， 把代入得， 解得： 故选：A． 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查函数与不等式的关系，解题的关键是熟知函数图象交点的几何含义．根据直线在直线的上方即可得出不等式的解集即可． 【详解】解： 观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴关于的不等式的解为， 故答案为： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$