专题2.3 不等式与一次函数的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.3 不等式与一次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段的长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 7．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 8．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ． 10．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 11．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 12．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论：①方程的解在和0之间；②关于x的不等式的解集为；③；④关于x的不等式的解集为时，．其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把、、三个数按照从小到大排列，最大的数记作，，，例如，，，若直线与函数 ，，的图象有至少有个交点，则的取值范围是 ． 16．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 17．（23-24八年级下·湖北·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. （1）求点的坐标； （2）点是直线上一点，求当时，点的坐标； （3）若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 19．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，求n的值； （3）在（2）的条件下，对于自变量x的每一个值，一次函数，和所对应的函数值分别记为，，．若当时，恒成立，请你直接写出m的取值范围． 20．（23-24八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． （1）求该一次函数的表达式； （2）当图象与轴有交点时，求的取值范围； （3）当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 21．（23-24八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，． （1）点的坐标为 　　，点的坐标为 　　（用含有的式子表示）； （2）若一次函数经过点，平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，．当时，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长；若变化，请说明理由． （3）若一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于，求的取值范围． 22．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：；；． （1）若，求的取值范围； （2）过轴上的动点，作平行于轴的直线，分别与函数的图象相交于、两点（点在点的左侧），若，求的值； （3）若一次函数图象与函数的图象相交于、两点，，求的取值范围． 23．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．    （1）求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． （2）将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． （3）若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． （1）关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． （2）关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； （3）关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 25．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究． （1）① 化简函数的表达式：当时， ，当时， ； ② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到； ① 当时，的取值范围是 ； ② 当时，x的取值范围是 ； ③ 当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n的值及m的取值范围． 26．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． （1）求点A的坐标； （2）若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 27．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． （1）求t、b的值； （2）若点在内部，直接写出q的取值范围_________； （3）若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． （4）如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）【问题提出】：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． 【知识迁移】 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． 【问题解决】 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 不等式与一次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段的长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【思路点拨】 先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可． 【解题过程】 解：当时，，即有点， 将点代入， 有，解得， 当，直线（）与直线平行，且在直线下方；    结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【思路点拨】 本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【解题过程】 解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 3．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【思路点拨】 本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【解题过程】 解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【解题过程】 解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可． 【解题过程】 解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵无论 取何值，始终有 ， ∴两直线平行，才会始终有 ， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 此时两条直线相交， 如图，    ∴且， 当时，如图，不符合题意；    故选：D 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 【思路点拨】 先求出m的值，再求出和的图象的交点，最后根据k值的取值范围，分类讨论，结合图象解决问题． 【解题过程】 解：由题知，点在的图象上， 则，． 故交点坐标为． 又得图象关于坐标原点中心对称， 且和的图象也关于坐标原点中心对称． ∴和的图象交点坐标为． 则将点代入得 ． ∴， （1）当时，如下图所示， 如图所示，图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （2）当，即时， 如图所示 图象在直线右侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （3）当时． 如图所示 图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． 综上所述 x的取值范围是： 当且时，． 故答选：D． 7．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【思路点拨】 根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点 代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【解题过程】 解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 8．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【思路点拨】 本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【解题过程】 解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的图象与性质．因为一次函数当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，所以可以得到关于的不等式或，解不等式求出的取值范围即可． 【解题过程】 解：是一次函数， 当时，随的增大而减小， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 当时，随的增大而增大， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或． 故答案为： 或． 10．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【解题过程】 解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 11．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 【思路点拨】 本题主要考查直线与不等式，求出两直线的交点是解题的关键．先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论． 【解题过程】 解：直线与直线的交点的横坐标为， ， 直线与直线的交点坐标为， ， 解得，， ， 当时，， 与轴的交点坐标为， 不等式组 的解集为， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．先求出点，可得一次函数解析式为，进而得到直线与x轴交于点，然后观察图象可得当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方，或两直线相交，即可求解． 【解题过程】 解：∵函数和的图象相交于点， ∴，解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴直线与x轴交于点， 观察图象得：当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方或两直线相交， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象找到所求的解集．解法一：观察图象即可求解．解法二：将、两点代入一次函数，解得，，解得一次函数解析式；将点代入正比例函数，解得，易得正比例函数的解析式，再运用解一元一次不等式的过程解出的取值范围． 【解题过程】 解：解法一： ∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2 由图象可得：当时，则 ∴不等式的解集为， 解法二：将，代入 得： 解得： 一次函数的解析式为： 把代入 解得： 点的坐标为 把代入得： 正比例函数的解析式为： 不等式的解集即为的解集 ∴ 故答案为：． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论：①方程的解在和0之间；②关于x的不等式的解集为；③；④关于x的不等式的解集为时，．其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【思路点拨】 本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【解题过程】 解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把、、三个数按照从小到大排列，最大的数记作，，，例如，，，若直线与函数 ，，的图象有至少有个交点，则的取值范围是 ． 【思路点拨】 根据题意画出三条直线解析式，根据新定义，求得函数图象，结合图象，即可得出的取值范围 【解题过程】 解：如图所示，      ∵， 当时，，则直线过定点， 依题意，函数 ，，的图象由射线和线段组成， 联立 解得： ∴， 设直线的解析式为, ∴ 解得： ∴直线的解析式为, ∴当时，两个函数图像至少有一个交点， 当时，时，与平行，无交点 ∴时，两个函数图像至少有一个交点， 综上所述，或． 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 【思路点拨】 本题考查了两直线相交与二元一次方程组解的关系，一次函数与求不等式解集，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用． （1）关于x的方程解从形来说，就是直线与交点横坐标，由此即可求解； （2）由直线过点A，则可求得其函数解析式，从而求得点B的坐标；画出图形，结合图形即可求得不等式的解集． 【解题过程】 解：（1）∵一次函数与交于点， ∴关于x的方程解为； 故答案为：． （2）由题意知，直线过点A，则有， 解得：； 即； 设函数沿y轴向下平移后得到函数解析式， ∵图象与图象交于点B，点B的纵坐标为1， ∴， 即， ∴； 由图象知，当时，解集为；当时，解集为， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 17．（23-24八年级下·湖北·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【思路点拨】 画出草图，再根据选项逐一解答进行排除即可． 【解题过程】 解：：如图，    由题意可知，当时，，∴点 当时，由得，，解得：， 由得，，解得：， 则， ∴， 故正确； ：由得，与图像交点为和， 当时，总有， ∴，解得：， 故正确； ：当时，则，如图，    由，解得：， 由，解得：， ∴解集为：， 故正确； ：如图，    当与的图象只有一个公共点时，或，故不正确； 故选：． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. （1）求点的坐标； （2）点是直线上一点，求当时，点的坐标； （3）若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 【思路点拨】 本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可； （2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可； （3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可． 【解题过程】 （1）解：将点代入，得，解得. . 解方程组，解得. 点的坐标为； （2）直线与轴的交点，设点，. 当时，有或，解得或. 则点或点； （3）解：由题可知直线是绕原点旋转的直线， 当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，， ∴此时的取值范围为； 当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即， ∴此时的取值范围为； 综上所述的取值范围为． 19．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，求n的值； （3）在（2）的条件下，对于自变量x的每一个值，一次函数，和所对应的函数值分别记为，，．若当时，恒成立，请你直接写出m的取值范围． 【思路点拨】 （1）求出一次函数的图象与x轴交点，与y轴交点即可； （2）根据平移得出，把代入求出n的值即可； （3）根据一次函数的增减性，分或两种情况讨论，分别列出不等式组，求出m的取值范围即可． 【解题过程】 （1）解：把代入得：， 解得：， ∴A点的坐标为， 把代入得：， ∴B点的坐标为； （2）解：∵将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴平移后的函数解析式为， ∴将一次函数的图象向下平移3个单位得到一次函数， ∴n的值为3； （3）解：∵函数与中，随的增大而增大， ∴在的范围内，，， 当时，函数中随的增大而增大， ∴在的范围内，， ∵在的范围内，恒成立， ∴ 解得：， ∴此时； 当时，函数中随的增大而减小， ∴在的范围内，， ∵在的范围内，恒成立， ∴ 解得：， ∴此时； 综上分析可知，当或时，在的范围内，恒成立． 20．（23-24八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． （1）求该一次函数的表达式； （2）当图象与轴有交点时，求的取值范围； （3）当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【思路点拨】 本题考查是一次函数综合题， （1）将点代入求出的值即可； （2）求出当时，的值即可得； （3）先求出点的纵坐标，再根据图像最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可得； （4）分点在点的上方，点在点的下方两种情况，分别建立关于的不等式组，求解即可； 根据的坐标并结合正方形的性质得到四点坐标是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得： ∴该一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得： ∴当图像与轴有交点时，， ∴m的取值范围为； （3）解：当时，，即， ∵，图像最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （4）解：如图，由题意可知，点在直线上， ∵以点为对称中心构造正方形，轴， ∴点也在直线上，，， ∵点在一次函数的图像上，其横坐标为， ∴， 当点在点的上方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当点在点的下方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ①若点在第一象限，则 ， 该不等式组的解集为空集； ②若点在第一象限，则 ， 解得：； 综上所述，的取值范围是或． 21．（23-24八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，． （1）点的坐标为 　　，点的坐标为 　　（用含有的式子表示）； （2）若一次函数经过点，平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，．当时，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长；若变化，请说明理由． （3）若一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据图象上点的坐标特征求得即可； （2）将点代入得，则，，，利用勾股定理即可得解； （3）求得时，点的坐标为或，代入求得的值，结合图像即可求得的取值范围． 【解题过程】 （1）解：∵一次函数的图象分别交轴、轴于点，， ∴， 当时，得；当时，得； ∴，； 故答案为：；； （2）不发生变化，理由如下： ∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴此一次函数解析式为， ∵平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，，且 平行于x轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n，且， ∴，， ∴， ∴当时，线段的长度不发生变化，的长为； （3）设一次函数图象与函数图象的交点为，设点的纵坐标为， ∵， ∴一次函数图象过定点， ∴， 当时， 得：，即， 解得：或， ∵点在函数的图象上， ∴点P的坐标为或， 把代入，解得：， 把代入，解得：， ∵一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于， ∴的取值范围是：或且． 22．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：；；． （1）若，求的取值范围； （2）过轴上的动点，作平行于轴的直线，分别与函数的图象相交于、两点（点在点的左侧），若，求的值； （3）若一次函数图象与函数的图象相交于、两点，，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据新定义的意义即可得到结论； （2）根据新定义的意义分类讨论，再表示出、的坐标，由，得到，即可或； （3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图象与函数的图象相交于、两点，把点代入求得的值，利用图象可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：当时，解得， ； 当时，时， ； 过轴上的动点，作平行于轴的直线， ，， ， ， 解得或； （3）解：画出函数的图象如图，    一次函数图象与函数的图象相交于、两点， ，， 解得，， 设，， ， ，， ， ， ， 把点代入得，， 一次函数图象与函数的图象相交于、两点， ， ． 23．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知与x成正比例，且当 时，．直线．    （1）求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． （2）将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． （3）若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 【思路点拨】 （1）先用待定系数法求得函数解析式，然后再描点画出图像即可； （2）先根据平移确定平移后的解析式，然后再确定A、B两点坐标，然后再分三种情况分别根据中心对称的特点解答即可； （3）先求出时m的临界值，再求出直线与图象平行时m的临界值，然后再结合函数图像即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当 时，， ∴，解得， ∴，即； 画出图象如图所示：    （2）解：∵， ∴直线， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线：， ∵图象，直线 分别与x轴交于点A，B， ∴， ∵三个点中的两个点关于另一个点中心对称， ∴①当点关于点B中心对称时，则，解得：； ②当点关于点A中心对称时，则，解得：； ③当点关于点O中心对称时， ∵，解得不合题意舍去， ∴此种情况不存在． 综上，a的值为或1． （3）解：当时，对于x的每一个值都有， ∴当时，令，有，即， 解得； 当直线与图象平行时，则，此时直线在图象的下方， 综上所述，在时，对于x的每一个值都有，m 的取值范围是． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． （1）关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． （2）关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； （3）关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 【思路点拨】 （1）根据变函数的定义即可解决问题； （2）转化为方程组解决问题即可； （3）①根据变函数的定义，求出特殊点的函数值即可解决问题；②利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【解题过程】 （1）解：根据变函数定义，关于的一次函数的2变函数为： ， 时，， 故答案为：3； （2）解：根据定义得：，， 求交点坐标：①， 解得； ②， 解得； ①，无解； ②，无解； 综上所述函数和函数的交点坐标为和； （3）解：①由题意：， 时，，时，， 时，， 故答案为． ②由题意：，， 同理，解得两个函数的交点为，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究． （1）① 化简函数的表达式：当时， ，当时， ； ② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到； ① 当时，的取值范围是 ； ② 当时，x的取值范围是 ； ③ 当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n的值及m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质， （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可；②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； （2）①根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围进行计算判断即可；②根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和函数的取值范围进行计算判断即可；③根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围及函数的取值范围进行计算判断即可； 熟练掌握其性质及数形结合思想是解决此题的关键． 【解题过程】 解：（1）①函数， 当时，； 当时，． 故答案为：． ②当时，；当时，；当时，， 图象过三点， |如图示： （2）平移后的图象如图所示：    ①当时，函数；当时，函数， 由图象知，函数图象最低点为， ∴的最小值为， 结合图象知当，的取值范围是， 故答案为：， ②时，或，当时或， 结合图象知，x的取值范围是或， 故答案为：或 ③当时，，当时，， 结合图象知，当x的取值范围是时， ∴m的取值范围,n的值4． 26．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． （1）求点A的坐标； （2）若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【思路点拨】 （1）把代入求出点A的坐标即可； （2）①先根据的面积是5，求出点C的纵坐标即可，再代入求出点C的横坐标即可； ②根据函数图象，写出不等式组的解集即可； ③根据平移特点，分两种情况，当沿x轴向右平移时，当沿x轴向左平移，求出m的值即可． 【解题过程】 （1）解：把代入得： ， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：①∵，， ∴， ∵，点C在第二象限， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②由图象即可知：不等式组的解集为：； ③连接，如图所示： 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， ∴当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上分析可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 27．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． （1）求t、b的值； （2）若点在内部，直接写出q的取值范围_________； （3）若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． （4）如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 【思路点拨】 （1）把点代入函数，即可求出t的值，把点代入函数，即可求出b的值； （2）内部的点应满足，根据点P是内部的点，由此可得关于q的不等式组，求解即可； （3）①根据题意得出，过点C作轴于点E，进而可得，，，根据，即可求解； ②分别表示出，分，两种情况，求得m的值； （4）分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，则点M在线段上运动，点H的运动路径长为线段的长，根据对称性可得，点的运动路径长也为线段的长，从而解决问题． 【解题过程】 （1）∵直线经过点， ∴， ∴点C的坐标为， ∵直线经过点， ∴， ∴； （2）∵点在内部， ∴， 解得：． 故答案为： （3）①∵ ∴直线， 当时，则，代入函数，得 ∴ ∴，则， 如图所示，过点C作轴于点E，    ∵ ∴， ∴， ∴ ； ②∵在上， ∴， ∵点N在上， ∴， 则，， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴， 解得：， 综上所述，点M是线段的三等分点，则或． （4）∵点在直线上， ∴，即， ∴ 把代入函数，得 ，解得， ∴ 分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，    则点M在线段上运动，点H的运动路径为线段，根据对称性可得，点的运动路径长为线段的长． ∵，， ∴， ∴点的运动路径长为5． 故答案为：5 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）【问题提出】：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． 【知识迁移】 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． 【问题解决】 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． 【问题提出】：根据函数图象可得答案； 【知识迁移】：先求解的值，再根据函数图象可得答案； 【问题解决】：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【解题过程】 解：【问题提出】，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 【知识迁移】，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 【问题解决】（1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$