清单01 三角形的证明（考点清单，知识导图+13个考点清单&13大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

清单01 三角形（13个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 等腰三角形 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 清单02 等腰三角形常见模型 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 清单03 直角三角形性质与判定 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 清单04 勾股定理 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 清单05 垂直平分线的性质与判定 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 清单06 角平分线的性质与判定 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 【考点题型一】等腰三角形的性质（） 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 【变式1-3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】等腰三角形的性质与判定（） 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，，点是高上一点，． (1)求证； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）如图，在中，，为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，，求的长． 【变式2-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）【问题背景】小明在解决数学题“在中，，，，求的长”时发现：可过点A作对边边上的高，交边于D点，进而将一般的锐角转化为了两个特殊角度的直角三角形，通过勾股定理即可求出的长． 【问题解决】在中，，，点D为平面内一点．如图，若点D在内部，，连接交于点E，， (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【考点题型三】等边三角形的性质（） 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在边上，，过点D作于点E，过点E作于点F，则的长是（　　） A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 【考点题型四】等边三角形的性质与判定（） 【例4】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． (1)判断△的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式4-1】（24-25八年级上·云南保山·期末）在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点为的中点时，求证：． (2)如图2，当点不是的中点时，过点作，与还相等吗？请说明理由 【变式4-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．恰为等边三角形． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若的周长为6，求的长． 【变式4-3】（24-25八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【考点题型五】等腰三角形常见的模型（） 【例5】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【变式5-2】（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【变式5-3】（24-25八年级上·广西玉林·期末）探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【考点题型六】直角三角形的性质与判定（） 【例6】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式6-3】（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，，是上的一点，且，．    (1)与全等吗？并说明理由； (2)若，求的长． 【考点题型七】判断三边能否构成直角三角形（） 【例7】（21-22八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【变式7-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．1，2，3 C．7，24，25 D．9，37，38 【变式7-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．， C． D．，， 【考点题型八】勾股定理的逆定理（） 【例8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【变式8-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． (1)求之间的距离； (2)求四边形的面积． 【变式8-2】（24-25八年级上·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式8-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【考点题型九】垂直平分线的性质（） 【例9】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式9-1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，若四边形的周长为18，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．15 【变式9-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】垂直平分线的性质与判定（） 【例10】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式10-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中， 于D， ， (1)若， 求的长度； (2)若，求的长度． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【变式10-3】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【考点题型十一】角平分线的性质（） 【例11】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【变式11-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（  ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【考点题型十二】角平分线的性质与判定（） 【例12】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【变式12-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【变式12-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【变式12-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 【变式12-4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【考点题型十三】尺规作图-角平分线与垂直平分线（） 【例13】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中． (1)尺规作图：在边上找到一点D，使得，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式13-1】（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，在等腰直角中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 【变式13-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求点到边的距离． 【变式13-3】（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 三角形（13个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 等腰三角形 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 清单02 等腰三角形常见模型 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 清单03 直角三角形性质与判定 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 清单04 勾股定理 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 清单05 垂直平分线的性质与判定 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 清单06 角平分线的性质与判定 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 【考点题型一】等腰三角形的性质（） 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【变式1-1】（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D，    中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系， 根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，再结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】解：等腰三角形的两条边长分别是2和4， 若三边长为2，2，4；因为，所以不符合题意； 若三边为2，4，4；根据三角形三边关系，符合题意， 则等腰三角形的周长为． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【考点题型二】等腰三角形的性质与判定（） 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，，点是高上一点，． (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识． （1）延长交于点D，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，则，由得到，则，即可证明结论； （2）设则，由勾股定理得到，由得到，得到，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵点是高上一点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设则， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式2-1】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）如图，在中，，为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据，得出，再根据，得出，再根据等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点是的中点，，得出，根据含直角三角形的性质，得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）【问题背景】小明在解决数学题“在中，，，，求的长”时发现：可过点A作对边边上的高，交边于D点，进而将一般的锐角转化为了两个特殊角度的直角三角形，通过勾股定理即可求出的长． 【问题解决】在中，，，点D为平面内一点．如图，若点D在内部，，连接交于点E，， (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等． （1）过点A作于点K，利用等腰三角形性质分别求出，，则可得，即可求得答案； （2）利用特殊直角三角形边的关系结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点K， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积是四边形的面积的2倍，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证，再通过全等三角形性质即可得证； （2）先通过全等性质得到，再通过中线基本性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：的面积是四边形的面积的2倍，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 【考点题型三】等边三角形的性质（） 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在边上，，过点D作于点E，过点E作于点F，则的长是（　　） A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握等边三角形面积公式．由图形得到，设直角三角形三边长为，由等边三角形面积等于边长的平方代入求解． 【详解】解：由图可知，，过点作于点， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 同理，，， ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出，，根据直角三角形性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式3-3】（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 【答案】2 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【考点题型四】等边三角形的性质与判定（） 【例4】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． (1)判断△的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：是等边三角形． 理由： 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级上·云南保山·期末）在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点为的中点时，求证：． (2)如图2，当点不是的中点时，过点作，与还相等吗？请说明理由 【答案】(1)证明见解析； (2)相等，见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质得出，再由是的中点，，证出，得出； （2）先证明是等边三角形，得到，再得到，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 又是的中点， ， ； （2）解：与相等，理由如下： ， ， ∴是等边三角形， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．恰为等边三角形． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若的周长为6，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，再由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得，则，同理可得，据此可得结论； （2）可证明，同理可得，由三角形周长计算公式可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）可得， ∴， 同理可得， ∵的周长为6， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ∵， ， ； （3）解：∵为等边三角形，， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 【考点题型五】等腰三角形常见的模型（） 【例5】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）4． 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，再证明，可得为等边三角形，从而，即可求解． 【详解】解：（1）①解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 【变式5-2】（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级上·广西玉林·期末）探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）方法一：设与交于点，在上截取，证明，得出，根据等边三角形性质得出，即可证明． 方法二：证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】证明：（1）和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （3）线段，与之间存在的数量关系是：，证明如下： 方法一：设与交于点，在上截取，如图所示： 和都是等边三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 方法二：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 【考点题型六】直角三角形的性质与判定（） 【例6】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）根据，得出，由，利用勾股定理即可求出，进而得到，由即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定求出，根据等腰三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，，是上的一点，且，．    (1)与全等吗？并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键． （1）根据证明和全等解答即可； （2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：∵， ∴， ∵， 在和中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴． 【考点题型七】判断三边能否构成直角三角形（） 【例7】（21-22八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．1，2，3 C．7，24，25 D．9，37，38 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，由此解答即可． 【详解】解：A、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，这三条线段长能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“”判定三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符题意； C、设，则，能构成直角三角形，不符题意； D、，能构成直角三角形，不符题意； 故选：A． 【考点题型八】勾股定理的逆定理（） 【例8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 【变式8-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． (1)求之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)之间的距离为； (2)四边形的面积为． 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； （2）∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 【变式8-2】（24-25八年级上·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【详解】（1）解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （2）解：当 时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【变式8-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 【考点题型九】垂直平分线的性质（） 【例9】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 【变式9-1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，若四边形的周长为18，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质； 根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据周长求出，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形的周长为18， ∴， ∴， 故选：B． 【变式9-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式9-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， 故选：． 【考点题型十】垂直平分线的性质与判定（） 【例10】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余得出，再根据垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，最后根据求解即可； （2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，即． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式10-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中， 于D， ， (1)若， 求的长度； (2)若，求的长度． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）根据， ，得到，利用直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取一点，使得，连接，利用线段的垂直平分线判定和性质，等腰三角形的判定和性质，结合线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：∵    ∴， ∴ ， 在中，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． （2）解：如图：在上截取一点，使得，连接 ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质的应用，线段的和差，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，外角性质是解题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据垂直平分线的判定即可得出证明； （2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （3）根据进行计算即可． 【详解】（1）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 则线段和线段的位置关系是 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴； （3）∵ ∴ ∴“筝形”的面积为：． 【变式10-3】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【考点题型十一】角平分线的性质（） 【例11】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，尺规作图作角平分线，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理逆定理可知为直角三角形，，通过证明可求出的长，设，即，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式11-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．过点作于点，由作图过程可知，为的平分线，可得．由含30度角的直角三角形的性质可得．由题意得，则的面积为． 【详解】解：过点作于点， 由作图过程可知，为的平分线， ， ． 在中，， ． 的面积为8， ， ． 的面积是． 故选：C． 【变式11-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（  ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处， 故选：． 【考点题型十二】角平分线的性质与判定（） 【例12】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式12-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17.5 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式12-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）在上截取，连接，根据等边对等角，三角形的内角和定理可求出，，则，由（2）的结论得，根据三角形外角是性质求出，根据等角对等边得出，然后根据线段的和差即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）解：成立， 理由：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由角平分线的性质定理可得，再根据“”证明，即可得到结论； （2）证明，得到，再根据线段的和差，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式12-4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点题型十三】尺规作图-角平分线与垂直平分线（） 【例13】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中． (1)尺规作图：在边上找到一点D，使得，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接即可； （2）由，推出，可得，由，推出，再利用三角形内角和定理求出． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）由作图可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式13-1】（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，在等腰直角中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质与判定，三角形 的面积公式； （1）根据题意过点作直线的垂线，垂足为，则线段即为所求； （2）根据三线合一得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求 （2）解：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴的面积为 【变式13-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求点到边的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)3 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质定理是解题关键． （1）先分别在上截取，使得，再分别以点为圆心、大于长为半径画弧，在内，两弧交于点，然后作射线，交于点，由此即可得； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据计算即可得． 【详解】（1）解：作的平分线交于点如图所示： （2）解：如图，过点作于点，则即为所求． ∵平分，，，即， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 所以点到边的距离为3． 【变式13-3】（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——尺规作图，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，点E在的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，由此利用尺规作图即可求解，熟练掌握角平分线的作法与垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点E为所求． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$