专题01 三角形（考题猜想，十三大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题01 三角形（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等腰三角形的性质 · 题型二 等腰三角形的性质与判定（重点） · 题型三 等边三角形的性质 · 题型四 等边三角形的性质与判定（重点） · 题型五 等腰三角形常见的模型（重点） · 题型六 判定三角形是否为直角三角形 · 题型七 直角三角形的性质和判定综合（高频） · 题型八 利用勾股定理的逆定理求解（高频） · 题型九 垂直平分线的性质 · 题型十 垂直平分线的判定（重点） · 题型十一 角平分线的性质（高频） · 题型十二 角平分线的性质与判定（易错） · 题型十三 尺规作图-角平分线与垂直平分 【题型1】等腰三角形的性质 1．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）若等腰三角形底边上的中线等于底边的一半，则该等腰三角形底角为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为 ． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D、E在边BC上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． (1)若，求的度数； (2)当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【题型2】等腰三角形的性质与判定 10．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上的一点，过点D作，与的延长线交于点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)在上截取，连接，判断的数量关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题型3】等边三角形的性质 13．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 15．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 17．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 18.（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 【题型4】等边三角形的性质与判定 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 20．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【题型5】等腰三角形常见的模型 21．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 22．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 23．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 24．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 25．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知三角形是等边三角形． (1)如图1，若点在线段上，点在线段的延长线上，且，请猜想线段与的大小关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，，，请先在备用图中补全图形，然后求的长（请你直接写出结果）． 【题型6】判定三角形是否为直角三角形 26．（24-25八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6 【题型7】直角三角形的性质与判定综合 27．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 28．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图， ，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 31．（24-25八年级上·北京·期末）小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    【题型8】利用勾股定理的逆定理求解 32．（23-24八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 33．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？为什么？ 34．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 35．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 36．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 37．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点已知，，． (1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？ (2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以 的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？ 【题型9】垂直平分线的性质 38．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 41．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 【题型10】垂直平分线的判定 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 43．（24-25八年级上·福建厦门·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 44．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 45．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【题型11】角平分线的性质 46．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，平分，于点，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．5 C．6 D．10 48．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 49．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，平分交于，于．若，则 ． 【题型12】角平分线的性质与判定 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 51．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 52．（24-25八年级上·江西宜春·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接． (1)如图1，若，，求的面积： (2)如图2，求证： 平分； (3)如图3，过点作于，若，，，求的长． 53．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 54．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【题型13】尺规作图-角平分线与垂直平分线 55．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 56．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求点到边的距离． 57．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 58．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 59．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． $$专题01 三角形（十三大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等腰三角形的性质 · 题型二 等腰三角形的性质与判定（重点） · 题型三 等边三角形的性质 · 题型四 等边三角形的性质与判定（重点） · 题型五 等腰三角形常见的模型（重点） · 题型六 判定三角形是否为直角三角形 · 题型七 直角三角形的性质和判定综合（高频） · 题型八 利用勾股定理的逆定理求解（高频） · 题型九 垂直平分线的性质 · 题型十 垂直平分线的判定（重点） · 题型十一 角平分线的性质（高频） · 题型十二 角平分线的性质与判定（易错） · 题型十三 尺规作图-角平分线与垂直平分 【题型1】等腰三角形的性质 1．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分5是腰和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，能组成三角形， 周长， ②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，因为， 所以不能组成三角形， 故选B． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）若等腰三角形底边上的中线等于底边的一半，则该等腰三角形底角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意得，，，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分以下两种情况： ①当是顶角时，底角； ②当是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D、E在边BC上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由，得，由得到，那么，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ． 7．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)，45 (2)①15，60；②，理由见解析；③或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据勾股定理求得，根据“等角对等边”得出的值； （2）①根据，，得出，进一步得出结果； ②可证得，从而得出； ③分三种情形讨论：当时，可推出，从而得出，，进一步得出结果；当时，可得出，进一步得出结果；当时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，45； （2）解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：15，60； ②，理由如下： 由①知，， ∵，， ∴， ∴； ③分以下三种情况： 如图， 当时， 由②知，，， ∴， ∴，， ∴； 如图， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴，， ∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在， 综上所述：或3． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，． (1)若，求的度数； (2)当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】(1) (2)他们是会被垂直滴下的雨水淋到 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴他们是会被垂直滴下的雨水淋到． 【题型2】等腰三角形的性质与判定 10．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上的一点，过点D作，与的延长线交于点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)在上截取，连接，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到，即可得出结论； （2）根据平行线的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：， 理由：， ， ，由（1）知：， ， ，即， 在与中， ， ， ． 11．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；三角形的内角和定理的应用，熟记基础图形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先求解，证明，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， 在中，由三角形内角和定理，得 又， 的度数为． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可得证； （2）先利用等腰三角形的性质可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【题型3】等边三角形的性质 13．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是等边三角形，则，，又是的中点，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半得，，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 故选：． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律题，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质．根据为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，同理可得 ，然后根据线段的和差解题即可． 【详解】解：解：为等边三角形， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ∴， 故选: B． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 16．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，，，再证明得出，结合即可得出． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边中，， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：5． 18.（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．由在等边三角形中，平分交于点，由三线合一的性质，可求得的长，又由，可求得，则可求得的长，即可求得答案．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：是等边三角形， ，， 平分交于点， ， ， ， ． 故答案为：2． 【题型4】等边三角形的性质与判定 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)27 【分析】此题考查了等边三角形性质，含度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由是等边三角形和，求出，推出，即可得出等边三角形； （2）推出三个三角形全等．求出 ，进一步得出答案即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形； （2）由（1）可知：是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的周长为． 【题型5】等腰三角形常见的模型 21．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 22．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 23．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)，图见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握借助作辅助形构造全等三角形，利用全等三角形的判定与性质解决问题是解答的关键． （1）根据等边三角形的判定与性质即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质和平角定义即可证得结论；在上截取点M，使，连结，证得是等边三角形 ，进而可证明，根据全等三角形的性质可得，即可； （3）根据题意画出图形，仿照（1）（2）中解答方法解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解：成立，理由如下： 证明：在上截取点M，使，连结，如图所示， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）解：证明：补全图形，过D作，交延长线于M，连接，做出辅助线，如图所示， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由又，，，可得，，即可求解； （3）①过点C作，，垂足分别为，，则， 由全等的性质可得，再由可得，得到，从而得出是的平分线，求得，推导得出，即可求解； ②在线段上取一点G，使，连接，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，从而可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； （2）解：如图，设交于点O， 由（1）可知，， ， 又，，， ， ； （3）①证明：过点C作，，垂足分别为，， 则， 由（1）可知， ， 又， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， 解：②在线段上取一点G，使，连接， 由（2）可知，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，从而， 在和中， ， ， ， ，， ， 25．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知三角形是等边三角形． (1)如图1，若点在线段上，点在线段的延长线上，且，请猜想线段与的大小关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，，，请先在备用图中补全图形，然后求的长（请你直接写出结果）． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （2）过作交于，可证得是等边三角形，再证，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）猜想，理由如下： 过作交于， 等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， 即， （2）解：如图：过作交于， 且为等边三角形， ， ， ∴， 为等边三角形    又      即 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型6】判定三角形是否为直角三角形 26．（24-25八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】A 【分析】本题考查了用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题关键是掌握勾股定理的逆定理，将三个数据按照两个较小的数的平方和与最大的数的平方进行比较，选则相等的那个选项即可． 【详解】解：A、∵，能组成直角三角形，符合题意； B、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选： A． 【题型7】直角三角形的性质与判定综合 27．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）根据，得出，由，利用勾股定理即可求出，进而得到，由即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题意，运用“斜边直角边”即可求解； （2）根据题意，运用三角形的外角和性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图， ，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，． ∴ ， ∴的面积为10． 31．（24-25八年级上·北京·期末）小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 【题型8】利用勾股定理的逆定理求解 32．（23-24八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 33．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？为什么？ 【答案】(1)22.5 (2)是直角，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求网格中图形的面积， 对于（1），根据正方形的面积减去四个三角形和一个正方形的面积可解； 对于（2），根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据勾股定理，得，，， ， 是直角三角形， 即是直角． 34．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形. (2) 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【详解】（1）是直角三角形， 理由：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； （2）解： ； ， ， 四边形的面积为84． 35．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 36．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，根据勾股定理，得， 答：蔬菜区边的长为； （2）解：，， ，， ， 是直角三角形， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 37．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点已知，，． (1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？ (2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以 的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？ 【答案】(1)能欣赏到 (2)时间足够 【分析】此题考查了勾股定理逆定理及其逆定理的应用． （1）证明，根据面积法求出，进行解答即可； （2）求出 ，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，，，， 根据面积法可得，C到的距离 如图． 以C为圆心，250m长为半径，交于点G、H， 小斌一家在公路段行驶时能欣赏到景点 （2）由题意，结合（1）图可得，，且关于对称， ， 故小斌家在公路段欣赏景点C的时间足够． 【题型9】垂直平分线的性质 38．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 39．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， 则， ，， 的周长， 故选：B． 40．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 41．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在，两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 【题型10】垂直平分线的判定 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）先根据垂直平分线性质得出，再根据等角对等边得出，即可得出答案； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，得出即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 43．（24-25八年级上·福建厦门·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 44．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 【题型11】角平分线的性质 46．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，尺规作图作角平分线，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理逆定理可知为直角三角形，，通过证明可求出的长，设，即，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：C． 47．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，平分，于点，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作于点， ∵平分于点C， ∴， ∴的面积为； 故选：B． 48．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 49．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，平分交于，于．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，由角平分线的性质得，由直角三角形的性质得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型12】角平分线的性质与判定 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，平行线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）根据平分，平分，，由已知，可得，则，即可得出，进而得出； （3）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：∵平分，平分； ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即； （3）证明：， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 51．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的判定，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． （1）由是的中点，得，由于点，于点，得，而，即可根据“”证明，得，即可证明平分； （2）由，得，求得的长为． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：， ， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 52．（24-25八年级上·江西宜春·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接． (1)如图1，若，，求的面积： (2)如图2，求证： 平分； (3)如图3，过点作于，若，，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质， （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，， ； （2）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； （3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 53．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 54．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型13】尺规作图-角平分线与垂直平分线 55．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ； （2）证明：，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 56．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，求点到边的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)3 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质定理是解题关键． （1）先分别在上截取，使得，再分别以点为圆心、大于长为半径画弧，在内，两弧交于点，然后作射线，交于点，由此即可得； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据计算即可得． 【详解】（1）解：作的平分线交于点如图所示： （2）解：如图，过点作于点，则即为所求． ∵平分，，，即， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 所以点到边的距离为3． 57．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握作角平分线的方法以及角平分线的性质定理是解题的关键． （）首先以为圆心，适当长度为半径作圆弧，分别交边和于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径作圆弧，在内部交于一点，连接点与该点的射线，交边于点M，射段即为所作； （）过点M作于点D，根据角平分线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：如图，射段即为所求； （2）解：如图，过点M作于点D， 平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 58．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）以点为圆心，为半径作圆作弧，交于点，连接，作的平分线交于点P即可； （2）证明，推出，设，则，求得，得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； （2）解：由作图知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为． 59．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 方法：连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 依据：角平分线上的点到角的两边距离相等，线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． $$