八年级期末测试卷-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

八年级期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   5．下列命题中正确的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 6．在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．对于一次函数，结论如下： ①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是 ③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到的图象； ④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为 ． 12．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 13．如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 14．若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为 ． 15．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ． 16．如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ．    17．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是 ． 18．如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；…，依次类推，则点的横坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 20．（6分）如图，，，求证：． 21．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 22．（8分）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点变换为点，点，分别是点，的对应点．    (1)请画出平移后的三角形．写出点，的坐标： ， ． (2)若三角形内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． (3)求三角形的面积． 23．（9分）某中学考察六年级学生的身体素质情况，体育老师从年级中抽出一个班的学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本按次数x多少分成以下四组：A组，B组，C组，D组．同时绘制出扇形统计图和部分频数分布直方图如下，请结合图中信息，完成下列问题： (1)体育老师调查的班级总人数是多少？ (2)请求出C组人数，并把频数分布直方图补充完整； (3)若该年级共有学生400人，请估计每分钟跳绳次数不少于120次的人数． 24．（9分）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 25．（10分）定义“点的阶点”：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的1阶点Q在y轴上，求x的值； (2)若点的3阶点为点，求点的坐标； (3)若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围． 26．（10分）问题背景 定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形． (1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由． (2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长． (3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 故选：D． 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 3．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键． 5．下列命题中正确的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；   B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称， ∴点A的坐标为（1，-2）， ∵点A与点关于轴对称， ∴点的坐标是（-1，﹣2）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 7．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移与轴对称，根据平移规则：上加下减横不变，以及关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度得到点， ∴， ∴点关于x轴的对称点的坐标为； 故选C． 8．关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 9．对于一次函数，结论如下： ①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是 ③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到的图象； ④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，解题的关键是根据一次函数的性质与的符号分别判断是否正确． 【详解】解：由可知，， 直线过一，二，四象限， 函数的图象不经过第三象限，故①正确； 当时，则，解得， 函数的图象与轴的交点坐标是；故②正确； 直线向下平移2个单位长度得，即，故③正确； ， 随的增大而减小， 两点，在该函数图象上，且， ，故④正确． 故选：D． 10．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，熟练掌握多边形的外角和及正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质可知正多边形的外角都相等，根据多边形的外角和为，即可求得答案． 【详解】正多边形的内角都相等， 正多边形的外角都相等， 又多边形的外角和为， 这个正多边形的边数为． 故答案为：12． 12．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：要使成为矩形，，需要添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 14．若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查两直线平行问题，根据直线平行于直线可设直线的解析式为，把点代入即可求出，可确定解析式．确定直线的一次项系数是解题的关键． 【详解】解：∵直线平行于直线， 即直线平移后与直线重合， 设直线的解析式为， ∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 15．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ． 【答案】96 【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解． 【详解】解：因为周长是40，所以边长是10． 如图所示：AB=10，AC=12． 根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6， ∴BO=8，BD=16． ∴面积S=AC×BD=12×16×=96． 故答案为96． 【点睛】考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键. 16．如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】结合函数图象写出在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于一次函数的值自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 17．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质等知识点，先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为，A点坐标为，则，再根据旋转的性质得，，，，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． 【详解】当时，，则B点坐标为； 当时，，解得，则A点坐标为， ∴， ∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，，， ∴轴，轴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 18．如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；…，依次类推，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案． 根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解． 【详解】解：，是等边三角形， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为1， 过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点， ， 的横坐标为2， 依此类推：的横坐标为 的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 20．（6分）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 21．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）4 【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答. 【详解】(1)证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质. 22．（8分）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点变换为点，点，分别是点，的对应点．    (1)请画出平移后的三角形．写出点，的坐标： ， ． (2)若三角形内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析，， (2) (3) 【分析】本题考查了作图平移变换，掌握平移的性质是解决本题的关键． （1）根据平移的性质即可画出，并写出点，的坐标； （2）结合（1）左移5个单位长度，下移3个单位长度即可得点的对应点的坐标； （3）根据网格即可求得三角形的面积． 【详解】（1）如图，即为所求；   、， 故答案为：，； （2）由（1）可知平移分式为：左移5个单位长度，下移3个单位长度， 的坐标为． 故答案为：． （3）依题意得：三角形的面积为：． 23．（9分）某中学考察六年级学生的身体素质情况，体育老师从年级中抽出一个班的学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本按次数x多少分成以下四组：A组，B组，C组，D组．同时绘制出扇形统计图和部分频数分布直方图如下，请结合图中信息，完成下列问题： (1)体育老师调查的班级总人数是多少？ (2)请求出C组人数，并把频数分布直方图补充完整； (3)若该年级共有学生400人，请估计每分钟跳绳次数不少于120次的人数． 【答案】(1) (2)，图见详解 (3) 【分析】此题考查了频率分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的图表是解本题的关键． （1）由条形统计图中组的人数除以扇形统计图中所占的百分比，即可求出体育老师调查的班级总人数； （2）由总人数减去、及中的人数求出组的人数，补全频数分布直方图即可； （3）找出组与组的人数和，求出所占总人数的百分比，即为400名学生每分钟跳绳次数不少于120次的人数所占的百分比，即可确定出所求的人数． 【详解】（1）解：根据题意得：（人）． 则体育老师调查的班级总人数是40人； （2）组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示： （3）样本中每分钟跳绳次数不少于120次的人数为， 所占的百分比为， 则400名学生中每分钟跳绳次数不少于120次的人数为（人． 24．（9分）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据待定系数法求出小强距甲地距离与之间的函数关系式，当小强到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小强同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 当时，点和在直线上，代入到中， 可得，解得， 即：当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 点和在直线上，代入到中， 可得，解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 ． 综上所述：小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为. （3）设小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小强同学骑自行车的速度为千米/小时，且点、在直线上， ∴，解得， 故小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小强到达乙地时，，代入解得：，解得：， 将代入到中，得：， 故（千米）， ∴当小强到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 25．（10分）定义“点的阶点”：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的1阶点Q在y轴上，求x的值； (2)若点的3阶点为点，求点的坐标； (3)若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了坐标与图形变化平移，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法等知识，理解好新定义是解题关键． （1）根据“点的阶点”的定义得到，解方程即可求得答案； （2）根据“点的阶点”的定义得到方程组，解方程组即可求解； （3）根据“点的阶点”的定义得到点的坐标为，进而得到点的坐标为，根据点在第一象限，得到，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：由题意点的1阶点Q的坐标为， ∵点Q在y轴上， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：由题意得点的坐标为，即， 将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点， 则点的坐标为， 点在第一象限， ， 解得， 的取值范围为． 26．（10分）问题背景 定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形． (1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由． (2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长． (3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 (3)或 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据互补三角形的定义即可判断； （2）根据互补三角形可得，设，则，利用勾股定理求解即可； （3）分四种情形：如图4-1中，当时，如图4-2中，当时，此时点F与D重合，如图4-3中，当时，如图4-4中，当时，F与点D重合，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2， 是等边三角形， 关于的互补三角形是； 故答案为：； （2）与是关于互补三角形， 在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， ，解得：， ； （3）如图，当时，设，连接， ， 在中， ，， ， ， 解得： ； 如图，当时，设， 同法可得， 在中，则有 ， 解得： ； 综上所述，满足条件的的值为或． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$