精品解析：2025年内蒙古自治区呼和浩特市中考二模数学试题

2025年呼和浩特市初中学业水平考试模拟测试数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 某蓄水池标准水位记为，如果表示高于标准水位，那么表示（　　） A. 高于标准水位 B. 低于标准水位 C. 高于标准水位 D. 低于标准水位 2. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，小丽裁出一块面积为正方形画布，则这块画布的边长为（　　） A. B. C. D. 5. 下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两个平面镜平行放置，入射光线经两个平面镜反射后与其反射光线平行，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A. B. C. D. 8. 点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元一次方程的解是_____． 10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 11. 如图，兴康社区附近有、、三个快递中转站：站在站南偏西方向上，站在站的东北方向上，站在站的北偏东方向上且距离站处，则站到站的距离为______（精确到）.（、、、在同一平面内，参考数据：，，，，，） 12. 如图，已知，、分别平分和交、于点和点，与交于点.连接，在延长线上取一点，使，与交于点，已知，，则_____. 三、解答题（共6小题，共64分） 13 （1）计算：； （2）解方程：． 14. 我国“双碳”目标是2030年前“碳达峰”和2060年前实现“碳中和”.要实现目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人也需做出贡献.某市为了解居民日常生活基本需求的核心消费领域一衣、食、住、行的碳排放量，通过简单随机抽样调查，获得50个家庭一个月的碳排放量（单位：kg）数据，进行整理和描述，绘制如下统计图表 组别 月碳排放量 组中值 频数（个数） 500 2 10 900 20 1100 15 1300 3 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求出统计表中值，若以各组组中值代表各组的实际数据，直接写出样本的众数； （2）样本数据的中位数在哪一组，若该市某个家庭的月碳排放量是，请你用样本数据的中位数推测该家庭月碳排放量在全市处于什么水平？并为其提供一条推动“双碳”目标实现的合理化建议； （3）若从组和组中随机选出2个家庭，为某社区做日常生活“减碳”的宣传，计算这2个家庭同时在组的概率. 15. 内蒙古不仅是全国重要的牲畜产品供应基地和乳业核心产区，更是维护北方生态安全、传承民族文化的战略支柱.某牧场主为大力发展优势特色产业，计划合理规划牧场资源，以下是需要解决的两个问题. 问题1：牲畜数量与饲料分配.牧场计划增加牛和羊两种牲畜的数量共110，已知每头牛每天消耗10公斤草料，每只羊每天消耗2公斤草料.若牧场每天供给新增牛、羊草料的总量为500公斤，则牛和羊的数量各增加多少？ 问题2：牧场扩建，牧场主计划用总长为200米的围栏扩建一个矩形牧场，靠墙（墙足够长）的一边不设围栏.设垂直于墙面的一条边的长为米，其面积为平方米，写出关于的函数解析式，并求出的最大值. 16. 中，，是其外接圆，是圆上的动点． （1）当时（如图1）求证：； （2）当平分时，过点作交的延长线于点．（如图2） ①求证：是的切线； ②已知，，求的长． 17. 问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】 将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】 将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记. （1）如图3，求证：； （2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧） （1）请求出该二次函数对称轴和顶点坐标： （2）①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； ②将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线与原抛物线交于点.直线与原抛物线交于点，与新抛物线交于点.为线段上的动点，过点作轴，垂足为，连接，，当在①中的取值范围内，取得最大值时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年呼和浩特市初中学业水平考试模拟测试数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 某蓄水池标准水位记为，如果表示高于标准水位，那么表示（　　） A. 高于标准水位 B. 低于标准水位 C. 高于标准水位 D. 低于标准水位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 【详解】解：∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 2. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则，逐一进行计算后，判断即可 【详解】解：A．与不是同类项，不能直接合并．所以，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，故该选项计算正确错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图，小丽裁出一块面积为的正方形画布，则这块画布的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用．根据正方形的面积公式和算术平方根的意义结合二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵正方形画布的面积为，且正方形的面积边长， ∴正方形画布的边长为． 故选：C． 5. 下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【详解】解：A、是、平方的和，不能用平方差公式分解因式； B、括号内是平方和，不能用平方差公式分解因式； C、是与的平方的差，能用平方差公式分解因式； D、不是平方项，不能用平方差公式分解因式． 故选：C． 6. 如图，两个平面镜平行放置，入射光线经两个平面镜反射后与其反射光线平行，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平行线性质求角的度数．根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵两个平面镜平行放置，经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选：D． 7. 往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作交于点C交于D，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：连接，过点O作交于点C交于D， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为． 故选：A． 8. 点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称轴以及点到对称轴的距离来判断函数值的大小． 先确定二次函数的对称轴，再根据已知条件判断点、到对称轴距离的大小关系，最后依据二次函数的增减性确定与的大小关系． 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， i， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴，即点离对称轴更远， 由于抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小， 因此． 答案：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元一次方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把方程两边同时乘以2，再按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以2得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案：． 10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m， ∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5=Fl， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 11. 如图，兴康社区附近有、、三个快递中转站：站在站南偏西方向上，站在站的东北方向上，站在站的北偏东方向上且距离站处，则站到站的距离为______（精确到）.（、、、在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点F，作于点E，，证明四边形是矩形，则，，求出，米，设，根据，列式计算即可求解即可． 【详解】解：过点C作于点F，作于点E，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 即站到站的距离为． 12. 如图，已知，、分别平分和交、于点和点，与交于点.连接，在的延长线上取一点，使，与交于点，已知，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键. 过点O作交于点M，证明四边形是菱形，得到，，，则，可设，则，证明,证明，得到，证明，即可得到. 【详解】解：过点O作交于点M， ∵， ∴ ∵、分别平分和交、于点和点， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴可设，则， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 故答案为： 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和计算负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 14. 我国“双碳”目标是2030年前“碳达峰”和2060年前实现“碳中和”.要实现目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人也需做出贡献.某市为了解居民日常生活基本需求的核心消费领域一衣、食、住、行的碳排放量，通过简单随机抽样调查，获得50个家庭一个月的碳排放量（单位：kg）数据，进行整理和描述，绘制如下统计图表 组别 月碳排放量 组中值 频数（个数） 500 2 10 900 20 1100 15 1300 3 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求出统计表中的值，若以各组组中值代表各组的实际数据，直接写出样本的众数； （2）样本数据的中位数在哪一组，若该市某个家庭的月碳排放量是，请你用样本数据的中位数推测该家庭月碳排放量在全市处于什么水平？并为其提供一条推动“双碳”目标实现的合理化建议； （3）若从组和组中随机选出2个家庭，为某社区做日常生活“减碳”的宣传，计算这2个家庭同时在组的概率. 【答案】（1），众数 （2）样本数据的中位数在组；根据得到的样本数据的中位数，可以估计，大约有一半家庭的月碳排放量高于，有一半家庭的月碳排放量低于．该家庭的月碳排放量为，高于中位数，可以推测这个家庭的月碳排放量大约高于全市一半以上家庭的月碳排放量；建议见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和条形统计图相结合，平均数，众数，中位数，利用中位数分析数据，利用树状图或者列表格进行简单概率的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）利用平均数和众数的概念求解即可； （2）利用中位数的概念进行求解，利用中位数进行分析该组数据； （3）画出树状图，然后利用简单概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得； 在样本组成的数据中，出现次数最多的是900，故众数为900； 【小问2详解】 解：该组数据中一共有50个数据，按照从小到大的顺序排列，中位数取第25位和26位数据的平均数，组数据是从第13个数开始到第32个数，故中位数在组； 根据得到的样本数据的中位数，可以估计，大约有一半家庭的月碳排放量高于900kg，有一半家庭的月碳排放量低于900kg．该家庭的月碳排放量为1050kg，高于中位数，可以推测这个家庭的月碳排放量大约高于全市一半以上家庭的月碳排放量可以从衣、食、住、行四个方面提出合理化建议： 衣：选择环保面料制成的衣物，减少购买频繁更新的流行服饰，延长服装使用寿命． 食：适当增加蔬菜消费，优先选择本地、当季食材，减少食物浪费． 住：选择节能电器，合理设置空调温度，随手关灯，节约用水． 行：优先选择步行、骑行或公共交通出行，减少燃油车使用，提倡使用新能源汽车； 【小问3详解】 解：根据题意，对两组成员进行编号，列树状图如下： 从组和组中随机选出2个家庭的所有等可能的结果共20种，2个家庭同时在组的结果有2种，所以（同时在组）． 15. 内蒙古不仅是全国重要的牲畜产品供应基地和乳业核心产区，更是维护北方生态安全、传承民族文化的战略支柱.某牧场主为大力发展优势特色产业，计划合理规划牧场资源，以下是需要解决的两个问题. 问题1：牲畜数量与饲料分配.牧场计划增加牛和羊两种牲畜的数量共110，已知每头牛每天消耗10公斤草料，每只羊每天消耗2公斤草料.若牧场每天供给新增牛、羊草料的总量为500公斤，则牛和羊的数量各增加多少？ 问题2：牧场扩建，牧场主计划用总长为200米的围栏扩建一个矩形牧场，靠墙（墙足够长）的一边不设围栏.设垂直于墙面的一条边的长为米，其面积为平方米，写出关于的函数解析式，并求出的最大值. 【答案】问题1：新增牛的数量为35头，新增羊的数量为75只；问题2：，最大值 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程和二次函数的应用，根据题意正确列方程组和二次函数解析式是解题的关键. （1）设新增牛的数量为x头，新增羊的数量为y只，根据题意列出方程组冰洁方程组即可； （2）根据题意列出二次函数解析式，求出自变量取值范围，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】问题1：解：设新增牛的数量为头，新增羊的数量为y只，根据题意可列方程 解得： 答：新增牛的数量为35头，新增羊的数量为75只 问题2：根据题意可得 ∵ ∴ ∵ ∴当时，S取最大值为 16. 中，，是其外接圆，是圆上的动点． （1）当时（如图1）求证：； （2）当平分时，过点作交的延长线于点．（如图2） ①求证：是的切线； ②已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）明确两个三角形中相等的边和角．根据全等三角形判定定理得出结论． （2）①利用角平分线和圆的性质求出相关角度关系．根据平行线的性质和角度关系得出，进而可得结论． ②利用勾股定理求出的长度．证明，根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ． 【小问2详解】 ①连接， 平分， ， ，即． ， ， ． 是的切线． ②解：过点A作，垂足为M， ， ， 四边形是正方形， 在中，，根据勾股定理， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：的长为． 17. 问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】 将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 拓展运用】 将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记. （1）如图3，求证：； （2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 【答案】实验猜想：3；拓展应用：（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 实验猜想：由正方形的性质可得，证明可得； （1）方法同实验猜想中的求解方法； （2）过点P作交于点E，于点M，于点N，证明，得出，证明，得，设，则，设，则，由相似三角形的性质列式得出结论． 【详解】解：实验猜想： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴, ∴； 拓展运用： （1）证明：过点P作，，垂足分别为点M和点N， ∵点P在正方形的对角线上， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴ （2）过点P作交于点E，于点M，于点N， ，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∵， ，则， ∵， ， 解得：， 则， ． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧） （1）请求出该二次函数的对称轴和顶点坐标： （2）①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； ②将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线与原抛物线交于点.直线与原抛物线交于点，与新抛物线交于点.为线段上的动点，过点作轴，垂足为，连接，，当在①中的取值范围内，取得最大值时，求的最小值. 【答案】（1）对称轴，顶点 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质先求出对称轴，再求出顶点坐标即可； （2）①先根据抛物线的顶点坐标式得出当时，有最小值，为，再结合题意求出最大值为；代入求出时，抛物线上点的横坐标，即可求解； ②根据抛物线的顶点坐标式和平移规律求出新抛物线为，联立方程求出点的坐标，再解方程求出抛物线与轴的交点，得出点的坐标，设，则，得出，得出当时，取得最大值，推得点和点的坐标；结合平行四边形的判断与性质与两点之间，线段最短确定取最小值时，点与点的位置，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 二次函数的对称轴为直线， 当时，． 即顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①∵， 即函数开口向上，对称轴为直线， 即当时，有最小值，为； 当时，； ∵最大值与最小值的差是，最小值是， ∴最大值为； 当时，， 解得：，， ∴． ②∵， 故将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线为； 当时， 解得， ∴． 当时， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 由①得，当时，取得最大值， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 将点向左平移个单位长度得，连接，与轴交于点，作交于点，连接； 过点作轴，交于点，如图： ∵，， ∴是平行四边形， ∴， 故，此时有最小值； ∵，，轴， ∴， 故，， ∴， 故， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，平行四边形的判断与性质，最短路径问题，勾股定理等，熟练掌握最短路径问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $