专题17【真题演练】长方体和正方体

多学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 【真题演练·专题17】长方体和正方体 基础题 1.一个长方体，棱长总和是128分米，长、宽、高的比是5：2：1。这个长方体的体积是多 少立方分米？ 2.将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原 来的( )倍。 3.小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是 4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 4cm 8cm 4.2cm bcm 15cm 第一步 第二步 第三步 (1)圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ (2)圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 4.介休有琉璃之乡的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的侧首推介 1 多学斛同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库“，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆“。目前 介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长 15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43 立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 5.长方体过同一顶点的三个面的面积分别是3、6、18，则这个长方体的体积是()。 A.324 B.36 C.12 D.18 6.将图甲围成图形乙的正方体，则在面①CDH正；②BCEF:③ABFG;④ADHG中，图甲中 的标志)所在的正方形是正方体中的面( )。(填序号》 图甲 图乙 7.一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这 种汽车玩具盒，每箱装18盒。 6cm 12cm 20cm (1)请你设计一种符合要求的包装箱。 (2)与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 2 备学科同，粗子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 8.一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么 这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 中等题 9.如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸 盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( 平方厘米，体积是( 立方厘米。 图1 图2 10.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6 厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）。如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘 米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 11.张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米， 现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出 需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 3 多学科同·艇子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 12.如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水 槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注 水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 10 40 (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 13.一个装有水的长方体容器长13厘米，宽10厘米，把一个圆柱和一个圆锥都放入容器中， 水面上升了2厘米。已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥完全浸入水中，圆柱有二的高露出水面， 则圆柱的体积是多少立方厘米？ 14.一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插 入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢 出水) 4 多学科网·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 15.一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是14厘米，水的 高度8厘米，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了12厘 米，刚好没过圆锥高的；，圆锥的底面积是多少？ 12cm 8cm 4cm 4cm 4cm 14cm (图) (图2) 16.一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆柱体容器中装有5厘米深的水。将一个长方体 铁块垂直放入水中，这时水的高度上升到7厘米，且刚好有：的铁块漫没于水中。 (1)放入铁块后，容器侧面与水的接触面增加了多少平方厘米？ (2)这个铁块的体积是多少立方厘米？ 17.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正 方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立 方厘米？ 5 金学科网·服子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 困难题 18.如图所示，Sa=32平方分米，S=8平方分米，h=5分米。现在要把A处的铁块熔到B处。 使A、B处同样高，这时B处比原来升高了多少分米？ B 19.如图所示，正方体棱长8厘米，P为棱FG上一点，PG=3cm。经过BC棱画A,P的最 短连线AQP;经过BF棱画A,P的最短连线ARP。求BQ与BR的长。 20.如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25平方 厘米、10平方厘米、5平方厘米，C的容积是容器容积的：（容器各面的厚度忽略不计）。现 在以速度ⅴ（单位：立方厘米秒）均匀地向容器注水，直至注满为止，图2是注水全过程中容 器的水面高度h(单位：cm)与注水时间t(单位：s)的函数图象。问题： h 12 1018 图1 图2 (1)在注水过程中，注满A所用的时间为()秒 6 备学科网·照子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 (2)求A的高度hA及注水的速度v: (3)求所注满容器所需时间及容器的高度。 21.养鱼密度不能太高，否则由于高密度的饲养会让水中溶解氧不足，鱼缸里的鱼儿就容易出 问题。水族界有个比较公认的算法，那就是一升水大约能养1厘米长的一条鱼，比如10升水 就大约能养10厘米长的一条鱼或者养1厘米长的10条鱼小红码妈买了一个长米宽米。 高0.4米的鱼缸，最多能养多少条18厘米长的锦鲤？ 22.小明在一个内侧（从里面量）棱长为20厘米的正方体容器内装满水，然后将容器倾斜放 置（如下图），流出来的水恰好是1升，线段BC与线段AB的长度比是( )。 (从正面看) 金学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 23.有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的面 对角线长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为6，那么三棱 柱的体积为多少？ 24.如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请 问：（圆柱竖立放置）》 (1)将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？ (2)如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ (3)如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ 25.有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图所示的形状.已知相邻的积木颜 色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色.图中共有黑色积木 多少块？ A 8备学科同，租子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 【真题演练·专题17】长方体和正方体 答案解析 1.640立方分米 2.9 27 3.(1)18立方厘米(2)13.5平方厘米 4.能装得进去 5.D 6.④ 7.(1)包装箱的长180厘米；宽12厘米；高12厘米（答案不唯一） (2)包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米 8.最小22厘米；最大34厘米 9.700 1000 10.7厘米 11.先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平 方厘米 12.(1)60升(2)7.5分钟 13.240立方厘米 14.0.6分米 15.112平方厘米 16.(1)37.68平方厘米(2)226.08立方厘米 17.11:12,2立方厘米 18.4分米 19.BQ:2.5厘米，BR: 皆* 20.(1)10(2)4厘米：10立方厘米秒(3)24秒：24厘米 21.6条 22.3:1 23.324立方单位 1 金学科网·服子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 24.(1)9.9分米(2)10.89分米(3)12分米 25.17块 1.640立方分米 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和=（长+宽+高）×4；长+宽+高=棱长总和 ÷4,据此代入数据，求出长方体长、宽、高的和；长、宽、高的比是5：2：1，即把长、宽、 高的和分成了5+2+1=8份，用长、宽、高的和÷8，求出1份是多少，进而求出长、宽、高 的长度；再根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】5+2+1 =7+1 =8(份) 128÷4=32(分米) 长： 32÷8×5 =4×5 =20（分米) 宽 32÷8×2 =4×2 =8(分米) 高： 32÷8×1 =4×1 =4(分米) 体积： 20×8×4 =160×4 =640(立方分米) 2 备学科同·艇子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 答：这个长方体的体积是640立方分米。 2. 9 27 【分析】正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，假设原来正 方体的棱长为a,则扩大后的棱长为3a;分别求出变化前后的表面积、体积，进而得出表面积、 体积的变化情况；据此解答。 【详解】假设原来正方体的棱长为a,则扩大后的棱长为3a 原来的表面积：a×a×6=6a 现在的表面积：3a×3a×6=54a 原来的体积：a×aXa=a 现在的体积：3a×3a×3a=27a 54a÷6a=9 27a÷a2=27 表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 3.(1)18立方厘米(2)13.5平方厘米 【分析】(1)由题意可知，上升的水的体积就是圆锥的体积，已知上升的水呈长方体，长是 15厘米，宽是6厘米，高是(4.2-4)厘米，根据长方体的体积=长宽高，代入数据计 算即可。 (2)根据圆锥的体积=底面积高×的逆运算，用圆锥体积除以上再除以高， 即可得圆 锥的底面积。 【详解】(1)15×6×(4.2-4) =15×6×0.2 =18(立方厘米) 答：圆锥铁块的体积是18立方厘米。 (2)18+1+4 3 =18×3÷4 =13.5(平方厘米) 3 备学科同·短子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 答：圆锥铁块的底面积是13.5平方厘米。 4.能装得进去 【分析】由题意可知，要知道这个工艺品是否能装进长方体内，就要去对比这个工艺品和长方 体的长、宽、高，已知长方体的容积是2.43立方分米，根据长方体的体积=长×宽×高可变 形为高=长方体体积÷长÷宽，求出这个长方体的高，最后再比较长宽高：最长的棱长和最长 的棱长相比，中等长度的棱长和中等长度的棱长相比，最短的棱长和最短的棱长相比，据此解 答即可。 【详解】能装得进去： 理由如下： 2.43立方分米=2430立方厘米 2430÷18÷15 =135÷15 =9(厘米) 18>15,9>8,15>12 答：能装得进去。 【点睛】能不能装的下，我们不能简单的比较体积大小，要根据实际情况来分析。 5.D 【分析】根据题意可知，长方体过同一顶点的三个面的面积分别等于长×宽、长×高、宽×高， 据此可知，长×宽×高×长×宽×高=3×6×18；因为长方体的体积=长×宽×高，所以长方 体体积的平方=3×6×18，据此算出3×6×18，再推出哪两个相同数相乘，即可得出长方体 的体积。 【详解】根据分析可知，长方体体积的平方=3×6×18 3×6×18=18×18 所以长方体体积为18。 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是明确长方体的每个面面积和长方体体积之间的关系。 6.④ 【分析】分析题意，根据正方体展开图的11种特征来分析；此展开图属于“141”结构，上、 下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面， 多学科同·酸子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对；再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形 的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案。 【详解】据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： △EE 因此，可知标志在正方形ADHG上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④。 【点睛】本题考查了正方体的展开图，关键是根据上面、底面，弄清围成后前、后、左、右四 个面的位置，再确定标志所在的面。 7.(1)包装箱的长180厘米，宽12厘米；高12厘米（答案不唯一） (2)包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米 【分析】 (1)如图 二 可以设计 一种能放下2层汽车玩具盒的包装箱，包装箱的长=汽车玩具盒的长×9，包装箱的宽=汽车 玩具盒的宽，包装箱的高=汽车玩具盒的高×2，据此分析，答案不唯一。 (2)要想用料最少，尽可能的将玩具盒较大较多的面拼起来，如图 二二二二 6×3=18(厘米) 6×6=36(厘米) 12×3=36(厘米) 20×2=40(厘米) 12×3=36(厘米) 20厘米 5 备学科同·超子学 www.zxxk.com 让学习更离效 6×2=12(厘米) 12×3=36(厘米) 20×3=60(厘米) 三种拼法，根据长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，分别计算出表面积，比较 即可。 【详解】(1)20×9=180（厘米） 6×2=12(厘米) 答：可以设计一种长180厘米，宽12厘米，高12厘米的包装箱。 (2)长：20厘米 宽：12×3=36（厘米） 高：6×6=36（厘米） (20×36+20×36+36×36)×2 =(720+720+1296)×2 =2736×2 =5472(平方厘米) 长：20×2=40（厘米） 宽：12×3=36（厘米） 高：6×3=18（厘米） (40×36+40×18+36×18)×2 =(1440+720+648)×2 =2808×2 =5616(平方厘米) 长：20×3=60（厘米） 宽：12×3=36（厘米） 高：6×2=12（厘米） (60×36+60×12+36×12)×2 =(2160+720+432)×2 6 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 =3312×2 =6624(平方厘米) 66245616>5472 答：当包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米时用料最少，最少是5472平方厘米。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 8.最小22厘米；最大34厘米 【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2 厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是(3×1+2×2+1×4)×2厘米： 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫 色)，1条高1厘米（绿色），那么周长最大是(3×4+2×2+1×1)×2厘米。 【详解】 图1 图2 周长最小： (3×1+2×2+1×4)×2 =(3+4+4)×2 =11×2 =22(厘米) 周长最大： (3×4+2×2+1×1)×2 =(12+4+1)×2 =17×2 =34(厘米) 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 多学斛同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法， 要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的 长度就要尽量的大。 9. 700 1000 【分析】看图可知，正方形纸板的边长包含2条高和2条宽，宽是高的2倍，根据和倍问题的 解题方法，正方形边长÷(1+1+2+2)=高，高×2=宽，正方边长-高×2=长，据此确 定长方体的长、宽、高。根据长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积 =长×宽×高，列式计算即可。 【详解】高：30÷（1+1+2+2) =30÷6 =5(厘米) 宽：5×2=10（厘米） 长：30-5×2 =30-10 =20(厘米) 表面积：(20×10+20×5+10×5)×2 =(200+100+50)×2 =350×2 =700(平方厘米) 体积：20×10×5=1000（立方厘米） 它的表面积是700平方厘米，体积是1000立方厘米。 【点睛】关键是掌握和倍问题的解题方法，先确定长、宽、高，再灵活运用长方体表面积和体 积公式。 10.7厘米 【分析】从图中可以看出，铁块分成两部分，一部分在水里面，一部分在由里面。 根据长方体的体积=长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；铁块进入水的部分，水的 体积没有发生变化，底面积发生了改变，底面积水槽的长方形底面积一铁块的底面积，则水现 在的高度=原来水槽中水的体积÷放入铁块后水所占的底面积，即高度为9厘米。 所以仍然有3厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高。 【详解】16×12×6=1152（立方厘米） 16×12-8×8 =192-64 =128(立方厘米) 1152÷128=9(厘米) 8×8×(12-9) =64×3 =192(立方厘米) 192÷(16×12) =192÷192 =1(厘米) 1+6=7(厘米) 答：油层的层高是7厘米。 【点睛】注意，铁块是要分成两部分的，一部分在水里面，一部分在油里面。得出不同部分的 体积。 11.先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平 方厘米 【分析】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米， 宽是10厘米，高是6×2=12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让 长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2=20厘米，高是 12厘米的大长方体，如图： 再根据长方体的表面积公式：表面积=（长 ×宽+长×高+宽×高)×2，代入数据，即可解答。 【详解】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2=20（厘米），高是6×2=12（厘米）。 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 (15×20+15×12+20×12)×2 =(300+180+240)×2 =(480+240)×2 =720×2 =1440(平方厘米) 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼 在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 12.(1)60升(2)7.5分钟 【分析】(1)设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后， 右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注 入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a=V÷b÷h,求 出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 (2)用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】(1)解：设右边每分钟注水x升。 3×2+1.5×(2+x)=3x 6+1.5×2+1.5x=3x 6+3+1.5x=3x 9=3x-1.5x 1.5x=9 x=9÷1.5 x=6 3×6=18(升) 18升=18000立方厘米 18000÷6÷40 =3000÷40 =75(厘米) 75×2=150(厘米) 150×40×10 10