专题01 平行相交四大类型分类训练-2024-2025学年人教版七年级数学下册【高分必刷】专练

同步高分必练专题01相交平行综合分类训练（原卷版） （4大类型精选60题） 类型一：命题真假判断 类型二：折叠问题专练 类型三：解答题证明过程填空 类型四：角度计算及平行线判断综合解答题 类型一：命题真假判断 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列句子中是命题且是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．互补的角是邻补角 C．若，则 D．同角的补角相等 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列4个命题：①两点之间，直线最短；②内错角相等；③等角的余角相等；④如果，那么．其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列命题是真命题的有（　　）个 ①“画线段”不是命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级下·山东淄博·期中）在下列命题中，①两条直线平行，内错角相等．②相等的角是对顶角．③等角的余角相等．④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（21-22七年级下·山东临沂·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①同位角相等；②两个无理数的和还是无理数；③一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做定理；④在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离一定是1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．所有的直角都是相等的 D．若，则 8．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）命题：①若，则；②互为相反数的两个有理数的平方相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；④一对对顶角的角平分线在同一直线上．对于以上命题有如下判断：I：①是真命题；II：只有一个假命题；III：②是真命题，④是假命题．其中判断正确的是（　　） A．I B．II C．I和II D．都正确 10．（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（    ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 12．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 13．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 15．（21-22七年级下·福建福州·期末）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 类型二：折叠问题专练 16．（20-21七年级下·江苏淮安·期末）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；； ；．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是一张长方形纸片，，将该纸片沿折叠，若，则的度数为 ． 20．（20-21七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（2025·上海·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则 ．（用a的代数式表示） 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 24．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ． 25．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    27．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图．已知．点E，F在边上．点G，H在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，，则的度数为 ，的度数为 ． 28．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 29．（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 类型三：解答题证明过程填空 31．（24-25七年级下·全国·期末）推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 32．（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）（1）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， ∴______（______）． ②（已知）， ____________（______）． ③（已知）， （______）． ④（已知）， ∴______（______）． （2）如图，已知平分平分． ①的度数为______； ②如果，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 33．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读并完成下列证明： 如图，已知．求证：． 证明：（ ） （ ） （ ） 又（已知）， （ ） （ ） （ ） 34．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）填空并完成以下证明： 已知：如图，于D，于F，点G、M在上，连接、，，．求证：． 证明：∵，， ∴， ∴__________， ∴__________，（__________） ∵， ∴，（等量代换） ∴，（_______________） ∵． ∴__________，（____________________） 又∵， ∴．（____________________） 35．（17-18七年级下·河南许昌·期末）完成说理过程并注明理由： 如图，已知，，求证： 证明：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴， ∴ （ ） ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ （ ） ∴ 36．（2025七年级下·贵州·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：因为（______）， （______）， 所以（______）． 因为平分， 所以______（______）． 因为平分， 所以______， 得（______）， 所以（______）． 37．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（_________ ）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________＝_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 38．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点分别在上，，于点，，求证：． 证明：（______）， （______），（______）， （已知），（______）， （已知），______（______） （______） （______）． 40．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，，，垂足分别为，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：（已知） _____（垂直的定义） （_____）    （_____） （已知） （_____）        __________（_____） （已知）    （_____） 41．（24-25七年级下·山西朔州·期中）问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 42．（24-25七年级下·北京·期中）已知，如图，，分别平分与，且．试说明：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：分别平分与， ，( ) ， ． ， （等量代换） ( ) 43．（24-25七年级下·北京·期中）完成下面的证明，并在括号内填写理由． 如图，，，试说明    解：∵ ∴（_________________） ∵ ∴（_________________） ∵ ∴， 即 ∴____ ∴（_________________）． 44．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）请补全下面的证明过程． 如图，平分平分，求证：． 证明：平分平分（已知）， （___________）． 又（已知）， ______________________． （已知）， ___________． （___________）． 45．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴______．（两直线平行，______） 又∵，（已知） ∴______－∠______＝______， 又∵， ∴______°． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 类型四：角度计算及平行线判断综合解答题 46．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 47．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 48．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知直线，点C，D在直线上，点E，F是直线外两点，连接，且，． (1)求证：； (2)的平分线交于点G．若，求的度数． 49．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，已知平分． (1)说明：； (2)求的度数． 50．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 51．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 52．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 53．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点，，． (1)若，试求的度数； (2)取线段的中点，连接．若，．求证：平分． 54．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 55．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 56．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 57．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，E为上一点，F为上一点，连接、，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 58．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 59．（17-18七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 60．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同步高分必练专题01相交平行综合分类训练（解析版） （4大类型精选60题） 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列句子中是命题且是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．互补的角是邻补角 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、同(等)角的余(补)角相等的应用、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题主要考查了真假命题的识别、同位角、补角、平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据同位角的知识、邻补角的定义、平方根概念、补角的知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意； B. 互补的角不一定是邻补角，故原命题是假命题，不符合题意； C. 若，则，故原命题是假命题，不符合题意； D. 同角的补角相等，是真命题，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列4个命题：①两点之间，直线最短；②内错角相等；③等角的余角相等；④如果，那么．其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、与余角、补角有关的计算、两直线平行内错角相等、判断命题真假 【分析】根据线段性质即可判断①；根据平行线性质即可判断②； 根据余角性质即可判断③；根据绝对值性质即可判断④．. 【详解】解：①两点之间，线段最短，故①错误，为假命题； ②两直线平行，内错角相等，故②错误，为假命题； ③等角的余角相等，故③正确，为真命题； ④如果，那么，故④正确，为真命题． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了判断命题真假，线段性质，平行线性质，余角性质，绝对值性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列命题是真命题的有（　　）个 ①“画线段”不是命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对顶角相等、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：①“画线段”不是命题；是真命题，符合题意； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；是假命题，不符合题意； ③“对顶角相等”的逆命题是假命题，不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·山东淄博·期中）在下列命题中，①两条直线平行，内错角相等．②相等的角是对顶角．③等角的余角相等．④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、判断命题真假、同(等)角的余(补)角相等的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，对顶角，余角的性质，平行线的判断，逐一进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，内错角相等，为真命题，符合题意； ②对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题，不符合题意； ③等角的余角相等，为真命题，符合题意； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，为真命题，符合题意； 故选：C． 5．（21-22七年级下·山东临沂·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①同位角相等；②两个无理数的和还是无理数；③一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做定理；④在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离一定是1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数、点到直线的距离、平行公理的应用、两直线平行同位角相等 【分析】由平行线的性质、无理数的定义、定理的概念、平行线公理、点到直线的距离定义，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：两直线平行，同位角相等；故①说法错误； 互为相反数的两个无理数的和是有理数；故②说法错误； 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明；故③说法错误； 在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；故④说法正确； P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离不一定是1．故⑤说法错误； ∴正确的说法只有1个； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线的性质、无理数的定义、定理的概念、平行线公理、点到直线的距离定义，解题的关键是熟记所学的定义进行判断． 6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假 【分析】本题考查了命题的真假，根据垂线的性质、点到直线距离、垂直的定义、平行线的判定逐项判断即可求解，掌握有关定义和性质是解题的关键． 【详解】解：一条直线的垂线有无数条，故是假命题； 在同一平面内，从一点到某直线的垂线段的长度叫这点到这条直线的距离，故是假命题； 如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等，故是真命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故是真命题； ∴假命题有，一共个， 故选：． 7．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．所有的直角都是相等的 D．若，则 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、同位角相等两直线平行、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及逆命题、平行线的判定、对顶角相等、垂直定义、绝对值的性质等知识，根据相关知识逐项判断即可．熟知掌握相关知识是解答的关键． 【详解】A、交换命题的题设和结论的新命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、交换命题的题设和结论的新命题为：相等的两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； C、交换命题的题设和结论的新命题为：所有相等的角都是直角，是假命题，不符合题意； D、交换命题的题设和结论的新命题为：若，则，是假命题，不符合题意； 故选：A． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行同位角相等、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）命题：①若，则；②互为相反数的两个有理数的平方相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；④一对对顶角的角平分线在同一直线上．对于以上命题有如下判断：I：①是真命题；II：只有一个假命题；III：②是真命题，④是假命题．其中判断正确的是（　　） A．I B．II C．I和II D．都正确 【答案】A 【知识点】对顶角相等、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假、等式的性质1 【分析】本题考查了判断真假命题；根据等式的性质，有理数的乘方，平行线的判定，对等角，角平分线的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①若，则，是真命题； ②互为相反数的两个有理数的平方相等，是真命题； ③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行是真命题； ④一对对顶角的角平分线在同一直线上，是真命题； 故选：A． 10．（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（    ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、判断命题真假、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了真假命题的判断，掌握锐角、钝角、直角、钝角的定义、平行线的判定定理，以及等量代换是解决此题的关键． 根据锐角、钝角、直角、钝角的定义、平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①两个锐角之和一定是钝角，，不是钝角，该命题为假命题； ②直角小于钝角，该命题为真命题； ③同位角相等，两直线平行，该命题为真命题； ④内错角互补，两直线平行；应该是内错角相等，两直线平行，该命题为假命题； ⑤如果，，那么，该命题为真命题． 综上所述，真命题的个数为3个， 故选：C． 11．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 12．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【知识点】垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 13．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题； ②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题； ③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题； 综上，真命题的个数有2个， 故选：B． 14．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【知识点】垂线段最短、同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 15．（21-22七年级下·福建福州·期末）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出． 【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 命题二：如图，已知①③，求证：②． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 命题三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①． 【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换． 16．（20-21七年级下·江苏淮安·期末）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ， ， ， 故选：C． 17．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；； ；．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】此题考查折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质，平行线的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握性质． 【详解】∵，， ∴ ，故正确； ∵，， ∴，故正确； ，， ∴ ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 则说法正确的有个， 故选：． 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是一张长方形纸片，，将该纸片沿折叠，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据折叠的性质求出，根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故答案为：． 20．（20-21七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片 ∴， ∴， 由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 21．（2025·上海·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则 ．（用a的代数式表示） 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质及平行线的性质．由平行线的性质得，，由折叠即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴． 故选：B． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠，解题关键是根据平行线的性质和折叠得出角之间的关系，然后利用已知角求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ． 【答案】76 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先由折叠的性质和平角的定义得到，再由折叠的性质和平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带对边平行， ∴， ∵折叠，彩带对边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确的作出图形，运用分类思想是解题的关键．当点Q在平行线之间时，设，由折叠可得根据平行线的性质即可得到结论；当点Q在的下方时，设，由得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当点Q在平行线之间时， 设，由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点Q在的下方时， 设，由得，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质，由折叠性质可得，根据三角形内角和求出的度数，利用平行线性质求出，等量代换可得即可求出结果． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 27．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图．已知．点E，F在边上．点G，H在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，，则的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，正确理解翻折的性质是解题的关键． 由平行和折叠得到，，，，则，代入即可求解，由求出度数，再由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ，， 由折痕，得到，， ∴， ， ， ， 故答案为：；． 28．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 【答案】/128度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 根据，得出，根据折叠得出，，，，求出，，根据平行线的性质得出，求出． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵长方形纸片中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【答案】/72度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（24-25七年级下·全国·期末）推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用角平分线的定义可得∠1=∠5，从而可得∠3=∠5，进而可得CD∥AB，然后利用平行线的性质可得∠4=∠2，即可解答．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵AD是的平分线， ∴（角平分线的定义）． ∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 32．（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）（1）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， ∴______（______）． ②（已知）， ____________（______）． ③（已知）， （______）． ④（已知）， ∴______（______）． （2）如图，已知平分平分． ①的度数为______； ②如果，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1），内错角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；，同位角相等，两直线平行；（2）①② 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角的计算，余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． （2）①利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系可得，从而进行计算即可解答； ②利用角的和差关系可得，从而可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）①（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ②（已知）， （同位角相等，两直线平行）． ③（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． ④（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；，同位角相等，两直线平行； （2）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读并完成下列证明： 如图，已知．求证：． 证明：（ ） （ ） （ ） 又（已知）， （ ） （ ） （ ） 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 34．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）填空并完成以下证明： 已知：如图，于D，于F，点G、M在上，连接、，，．求证：． 证明：∵，， ∴， ∴__________， ∴__________，（__________） ∵， ∴，（等量代换） ∴，（_______________） ∵． ∴__________，（____________________） 又∵， ∴．（____________________） 【答案】；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的各种判定方法是解决此题的关键，根据证明步骤一步一步看运用哪个判定即可解决问题； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵． ∴，（同旁内角互补，两直线平行） 又∵， ∴．（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 35．（17-18七年级下·河南许昌·期末）完成说理过程并注明理由： 如图，已知，，求证： 证明：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴， ∴ （ ） ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ （ ） ∴ 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；对顶角相等 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、等量代换等知识，欲证明，只需推知即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（ 两直线平行，内错角相等）． ∵（已知） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等） ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；对顶角相等． 36．（2025七年级下·贵州·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：因为（______）， （______）， 所以（______）． 因为平分， 所以______（______）． 因为平分， 所以______， 得（______）， 所以（______）． 【答案】已知；邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、邻补角的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了同角的补角相等、角平分线的定义、平行线的判定；熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平角的定义可得，根据同角的补角相等可得，根据角平分线的定义可得，，推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：因为（ 　已知　 ）， （ 　邻补角的定义　 ）， 所以（ 　同角的补角相等　 ）． 因为平分， 所以（ 　角平分线的定义　 ）． 因为平分， 所以， 得（ 　等量代换　 ）， 所以（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 37．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（_________ ）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________＝_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】已知；；垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解 【分析】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 38．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点分别在上，，于点，，求证：． 证明：（______）， （______），（______）， （已知），（______）， （已知），______（______） （______） （______）． 【答案】已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解 【分析】先证明，进而证明，由平行线的性质得到，则，即可证明． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义），（直角三角形的两个锐角互余）， （已知），（同角的余角相等）， （已知），（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键． 40．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，，，垂足分别为，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：（已知） _____（垂直的定义） （_____）    （_____） （已知） （_____）        __________（_____） （已知）    （_____） 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等解答即可． 【详解】解：（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （已知） （平行于同一条直线的两条直线平行） 41．（24-25七年级下·山西朔州·期中）问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 42．（24-25七年级下·北京·期中）已知，如图，，分别平分与，且．试说明：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：分别平分与， ，( ) ， ． ， （等量代换） ( ) 【答案】角平分线定义；1；2；∠3；内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，继而得到，得出，即可得到． 【详解】证明：分别平分与， ，(角平分线定义) ， ． ， （等量代换） (内错角相等，两直线平行)， 故答案为：角平分线定义；1；2；∠3；内错角相等，两直线平行． 43．（24-25七年级下·北京·期中）完成下面的证明，并在括号内填写理由． 如图，，，试说明    解：∵ ∴（_________________） ∵ ∴（_________________） ∵ ∴， 即 ∴____ ∴（_________________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据“两直线平行，同位角相等”得，推出，进一步推出，再根据平行线的判定即可得出结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∵， ∴， 即， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 44．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）请补全下面的证明过程． 如图，平分平分，求证：． 证明：平分平分（已知）， （___________）． 又（已知）， ______________________． （已知）， ___________． （___________）． 【答案】角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，根据平行线的判定定理及已知条件逐步推导论证即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：平分平分（已知）， （角平分线的定义）． 又（已知）， ． （已知）， ． （同位角相等，两直线平行）． 45．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴______．（两直线平行，______） 又∵，（已知） ∴______－∠______＝______， 又∵， ∴______°． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 【答案】，内错角相等，，，50，180，，同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由两直线平行，内错角相等可得，求出，再由，即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵，（已知） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴， 又∵， ∴． ∴与的位置关系是．（判定依据：同旁内角互补，两直线平行）． 46．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 47．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ． 48．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知直线，点C，D在直线上，点E，F是直线外两点，连接，且，． (1)求证：； (2)的平分线交于点G．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)25度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． 49．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，已知平分． (1)说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题． （1）由知，可得； （2）由（1）利用平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，，然后利用已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ， 平分， ， 则． ， ． 50．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键． （1）根据平分得到，再由等量代换推出，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 51．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用． （1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 52．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 【点睛】 53．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点，，． (1)若，试求的度数； (2)取线段的中点，连接．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质； （1）先证明，可得结论； （2）证明 ，可得， ，证明，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）证明：如图，取线段的中点，连接， ∵， ∴  ， 又∵， ∴ ， ∴， ∴ ， 又∵，， ∴， 即平分  ． 54．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 55．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2）解：， ， 平分， ， ． ． 56．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 57．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，E为上一点，F为上一点，连接、，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的判定和性质证明即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 58．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解∶由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 59．（17-18七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与平行，证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）过点C作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵，， ， ， ∵， ， ∴． （2）如图，过点C作， ∵， ， ， ， 由（1）已证：， ， ． 60．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$