专题03 相交线与平行线压轴题分类训练（4种类型40道）-【暑期培优】2024-2025学年七年级下册数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

专题03 相交线与平行线压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 存在性问题】 1 【题型2 定值问题】 5 【题型3 探究数量关系】 10 【题型4 动点求角度】 14 【题型1 存在性问题】 1．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 2．同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． 如图1，已知直线，将直角三角尺的直角顶点放在直线上，，，． (1)在图中，若，则的度数为___________ (2)如图，把直线向上平移，并改变的位置，发现，请说明理由； (3)在（2）的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时与又存在怎样的数量关系，请说明理由． 3．已知两直线a，b，且，在直角三角板中，，，三角板的顶点 B在直线b上． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线a交于D，E 两点，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，F为直线b上一点，绕点B 旋转直角三角板，点A 始终在直线a的上方， 若存在， 求的度数． 4．已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 5．直线和被直线所截，如图1，平分，平分．当时，小明证明的过程如下： 平分，平分．（已知）， ，（①）． ，（已知）， （②）． （③） 请你参考上述证明过程解决下列问题： (1)请写出理由：①______；②______；③______， (2)如图2，平分，平分，与满足什么条件时，？说明理由； (3)如图3，若，平分，平分，则与存在何种数量关系？说明理由． 6．已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 7．【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 8．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 9．如图1，中，点D为线段延长线上一点，，过点B作交直线于点E，连接，． (1)求证：平分． (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，分别在线段、上各取一点M、N，连接、．若满足，，则在直线上是否存在一点P，使得，如果存在，请通过作图找出点P；如果不存在，请说明理由． 10．如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【题型2 定值问题】 11．【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 12．玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 13．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 14．已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 15．如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 16．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 17．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 18．如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 19．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 20．直线与直线、分别相交于点、，与互补 (1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH． (3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【题型3 探究数量关系】 21．已知，点E是，之间的一点，连接，． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，求，，之间的数量关系； (3)如图3，若，，平分，平分，，相交于点E．求的度数． 22．如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 23．如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 24．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 25．如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 26．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 27．如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 28．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 29．已知，平分，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且时，试求的值； (3)如图3，若是射线上一动点（不与重合），平分，并探究出与的数量关系． 30．某同学把一块含角的直角三角尺与两条平行线、进行摆放探究． (1)如图，若三角形的角的顶点放在上，且，求的度数； (2)如图，把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，且直角顶点在平行线和之间．请你找出与间的数量关系，并说明理由： (3)如图，将三角尺位置进行变换，把三角尺的直角顶点放在上，顶点在上，若，请求出与的数量关系． 【题型4 动点求角度】 31．已知：，． (1)如图1，设，，直接写出α、β之间的数量关系： ； (2)如图2，的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 32．如题图1，，被直线所截，点D在线段上，过点D作，过点B作． (1)求证：； (2)如题图2，若，点P为直线上一动点（点P不与点B，D重合），过点P在直线的下方作线段，使得，． ①若，求的度数； ②若的平分线和的平分线交于点Q，其中，请用表示的度数． 33．已知，在四边形中，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长交于点，过点作，垂足为，与的外角平分线交于点，与交于点，求证：． (3)如图3，在第（1）问成立的条件下，若平分，是直线上一动点（不与点重合），平分交直线于点．设，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 34．【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    35．已知，点E，F分别是上的动点，，垂足为点M，和的角平分线交于点N，． (1)如图1，当点E在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，点E在上移动过程中，若．求的度数； (3)如图3，当点M在直线上方时，的角平分线的反向延长线交于点N．请直接写出的度数（用含的式子表示）． 36．综合与探究：如图，平面内线段，M为平面内的动点，且点M不在线段和上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当点M在线段上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，，求的大小． (3)如图3，当点M在线段上方时，交于点G，交于点H，若，，请直接写出的度数． 37．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和．分别交射线于点、． (1)当时，_____； (2)当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)在（1）的条件下，当时，求的度数． 38．如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 39．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 40．如图①，过直线外一点C作，连接，． (1)求的度数； (2)如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相交线与平行线压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 存在性问题】 1 【题型2 定值问题】 24 【题型3 探究数量关系】 44 【题型4 动点求角度】 63 【题型1 存在性问题】 1．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 2．同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． 如图1，已知直线，将直角三角尺的直角顶点放在直线上，，，． (1)在图中，若，则的度数为___________ (2)如图，把直线向上平移，并改变的位置，发现，请说明理由； (3)在（2）的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时与又存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】1）根据、及的和为可求出，再根据平行线的性质即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，结合图形即可推出结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线定义、平行线的性质，平行公理的推论，解题的关键是掌握平行线的性质． 3．已知两直线a，b，且，在直角三角板中，，，三角板的顶点 B在直线b上． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线a交于D，E 两点，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，F为直线b上一点，绕点B 旋转直角三角板，点A 始终在直线a的上方， 若存在， 求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）过点C作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况：当在直线b的上方时；当在直线b的下方时；根据平行线的性质列出一元一次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：如解图①，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由如下：如解图②，取和，     由（1）可得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理，得； （3）解：①当在直线b的上方时，如解图③，     设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当在直线b的下方时，如解图④， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 4．已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 【答案】(1)①85；②见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）①先根据平行线的性质得到，进而，再根据角平分线的定义求得即可； ②设，则，利用平行线的性质可得到，，再利用角平分线的定义可得，进而求得即可求解； （2）设，同理，利用平行线的性质和角平分线的定义推导出可求得 ， ，进而可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：85； ②补全图形如图所示： 设， ∵平分， ∴，则 ∵， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 证明：如图： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 5．直线和被直线所截，如图1，平分，平分．当时，小明证明的过程如下： 平分，平分．（已知）， ，（①）． ，（已知）， （②）． （③） 请你参考上述证明过程解决下列问题： (1)请写出理由：①______；②______；③______， (2)如图2，平分，平分，与满足什么条件时，？说明理由； (3)如图3，若，平分，平分，则与存在何种数量关系？说明理由． 【答案】(1)①角平分线的定义 ②等量代换 ③同位角相等，两直线平行 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是掌握对平行线的判定条件与性质． （1）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可； （2）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可； （3）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵平分， 平分(已知)。 ∴， (角平分线定义)， ∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(同位角相等，两直线平行)； 故答案为：角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行 （2）解：当时，， 理由如下： ∵平分， 平分， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：与互余， 理由如下： ∵， ， ， ∵平分，平分， ， ， 即， 故与 互余． 6．已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 【答案】(1)的度数为； (2)与的数量关系为，证明过程见解析； (3)与的数量关系为． 【分析】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可求得的度数； （2）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系； （3）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：的度数为． （2）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：与的数量关系为． （3）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：与的数量关系为． 7．【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】【知识回顾】：平行，理由见解析；【问题推广】：存在，；【拓展提升】存在，或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 知识回顾：由，得到，即可判断； 问题推广：设射线、交点为，过点作，得到，推出，，结合，可得，即可求解； 拓展提升：分两种情况：①当射线，在直线不同侧时，②当射线，在直线同侧时，根据平行线的性质和旋转的特点列方程，即可求解． 【详解】解：【知识回顾】，理由如下： ，， ， ； 【问题推广】解：设射线、交点为，过点作， ，， ， ，， ， ， ， 解得：； 【拓展提升】①当射线，在直线不同侧时， ，， ，， ， ， ， 解得：； ②当射线，在直线同侧时， ，， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为或． 8．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①不变，②与之间的数量关系是：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数； （2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论； ②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：延长到E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到E，如图2所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： （ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 9．如图1，中，点D为线段延长线上一点，，过点B作交直线于点E，连接，． (1)求证：平分． (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，分别在线段、上各取一点M、N，连接、．若满足，，则在直线上是否存在一点P，使得，如果存在，请通过作图找出点P；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据平行得，结合已知即可得，那么有平分； （2）根据垂直得，求得，结合，利用平行线的判定即可； （3）设，则，，则，有，则，有，可判定，则，结合垂线段最短，故直线BE上不存在一点P使得成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则平分； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：不存在，理由如下， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 则， 根据垂线段最短，故直线BE上不存在一点P使得． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，垂线段最短，余角的性质，角的和差关系等知识，正确识图掌握平行线的性质和判定是本题的关键． 10．如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 【题型2 定值问题】 11．【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；②的大小不变，其度数为 (2)当，的度数为定值，这个定值为 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握三个结论，是解题的关键： （1）①根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图1的结论进行求解即可； ②设，根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图3的结论进行求解即可； （2）设，利用图2的结论和平行线的性质，推出，根据的度数为定值，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 由图1的结论可知：． ②设． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， 由图3的结论可知：， ∴， ∴的大小不变，其度数为． （2）设． ∵， ∴， 由图2的结论可知：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的度数为定值， ∴，， ∴当，的度数为定值，这个定值为． 12．玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 13．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 14．已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 15．如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 16．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 18．如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1），得到，，，得到，，角的和差关系，得到，角平分线得到，再利用三角形的内角和定理，求解即可； （2）先证明，得到，得到，得到，平分，得到，即可得出结论； （3）根据（2）的结论以及已知条件，分别求出，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：60； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）是定值： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠EGF＝90° (2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析 (3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​ 【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解． 【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∵， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°， ∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°， ∴∠EGF＝90°． （2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°， 过点G作， ∵， ∴， ∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β， ∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF， ∴∠EGF＋∠EHF＝180°． （3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵， ∴∠MEF＝∠EFD＝2β， ∵MH⊥EF， ∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β， ∵MG平分∠BMH， ∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME， ∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90°−2β)＝45°−β， ∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°， ∴∠MGF＝45°， ∴∠MGF的度数是为定值． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 20．直线与直线、分别相交于点、，与互补 (1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH． (3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【答案】(1)平行；理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PFGH； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数． 【详解】（1）解：结论：ABCD；理由如下： ∵∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF， ∴∠AEF与∠CFM互补， ∴ABCD． （2）∵EG平分∠BEF， ∴∠PEF=∠BEF， 又∵FP平分∠EFD， ∴∠EFP=∠EFD， 由（1）知ABCD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∴∠PEF+∠EFP=90°， ∴∠EPF=90°， 又∵GH⊥EG， ∴∠HGP=90°， ∴∠EPF=∠HGP， ∴PFGH． （3）证明：∵， ∴， ∵∠PHK=∠HPK， ∴， ∴， ∵PQ平分∠EPK， ∴， ∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK =∠EPK-∠FPK =（∠EPK-∠FPK） =∠EPF =×90° =45° 即∠HPQ的大小是定值． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 【题型3 探究数量关系】 21．已知，点E是，之间的一点，连接，． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，求，，之间的数量关系； (3)如图3，若，，平分，平分，，相交于点E．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点E作，则，由平行线的性质得到，，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质可得，，据此可得结论； （3）过点E作，则，由平行线的性质可得，．由角平分线的定义可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点E作． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点E作． ∵， ∴， ∴，． ∵平分，平分，，， ∴，， ∴，， ∴． 22．如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，结合已知，可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）①根据题意补全图形，即可求解； ②设，，则，根据平行线的性质，以及垂直的定义，分别表示出与，即可求解． 【详解】（1）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴ ∴， （2）①补全图形如图， ②， ∵平分， ∴， 设，，则， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，已知，线段分别与、相交于点、，在直线上有一点，连接． (1)如图①，点在线段上，当，时，求的度数； (2)如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)不成立，新关系为：，证明见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：， 证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，即可解答． （2）先求出，再根据，即可解答． （3）过点C，作，易证，可得，继而求出，代入化简，即可解答． 【详解】解：（1）∵ ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) ，理由如下： 过点C，作，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算． （1）根据角平分新的定义得到，，然后过点F作， 即可得到，根据内错角相等得到，，然后根据角的和差解答即可； （2）过点E作，由（1）即可得到，根据角平分线得到，，然后过点F作，得到，然后解答即可． 【详解】（1）解：∵的角平分线与的角平分线交于点，，， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由为： 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 26．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，t值为秒或秒． (3)与的数量关系发生变化，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解． （2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可． （3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ 故答案为：； ②如图： ∵ ∴ ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ 解得：； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵，， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵ ∴ 解得：； 综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒． （3）解：与的数量关系要发生变化． 理由：当时，射线与射线交于点，如图， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴与的数量关系要随着t的发生而变化． 27．如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、解决本题的关键是作辅助线构造两直线平行，利用两直线平行得到的角之间的关系求解． 比它的补角的多，可得等式，解方程可得； 延长交延长线于点，过点作，根据平行线的性质可证，从而可证，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 因为点为直线上的一动点，所以应分三种情况求解，当点在延长线上时；延长交直线于点，当点在上时；当点在的延长线上时． 【详解】（1）解：比它的补角的多， ， 解得：， 答：； （2）证明：如下图报增，延长交延长线于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或， 理由如下： 如下图所示，当点在延长线上时， ， ， ， ， 即； 如下图所示，延长交直线于点，当点在上时， 过点作， ， ， 则， 又， ， 则， 即； 如下图所示，当点在的延长线上时， ，且， ， ， ． 综上，或或． 28．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． （1）利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得，再利用周角的定义即可解答； （3）利用两直线平行，内错角相等可得，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 29．已知，平分，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且时，试求的值； (3)如图3，若是射线上一动点（不与重合），平分，并探究出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（）要证，通过作辅助线，利用平行线的传递性得，再结合平行线的性质（两直线平行，内错角相等 ）以及角平分线定义，将转化为，由知，从而证得． （2）先设，根据表示出，作辅助线、，利用平行线性质分别表示出和，最后计算的值． （3）当点在左侧时，利用平行线性质（两直线平行，内错角相等 ）以及角平分线定义，将用相关角表示，进而得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）可知，， 由，设，则， 过作平行于，如图，则有， ∴ 过作平行于，则有， ∴， ∴ ∴； （3）解：当点在点的左侧时，如图所示，．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 ）、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，灵活作辅助线构建平行关系是解题的关键． 30．某同学把一块含角的直角三角尺与两条平行线、进行摆放探究． (1)如图，若三角形的角的顶点放在上，且，求的度数； (2)如图，把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，且直角顶点在平行线和之间．请你找出与间的数量关系，并说明理由： (3)如图，将三角尺位置进行变换，把三角尺的直角顶点放在上，顶点在上，若，请求出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）由平行线的性质得，即得，进而根据即可求解； （）由平行线的性质得，即得，进而根据即可求解； （）过点作，可得，又由平行公理的推论得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， 又， ， ； （2）解：，理由如下： ， ∴， 即， 又， ； （3）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即． 【题型4 动点求角度】 31．已知：，． (1)如图1，设，，直接写出α、β之间的数量关系： ； (2)如图2，的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质． （1）过点C作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：不发生变化，． 由②可得，， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， 过点P作，则， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 分以下两种情况： 当点F在点P的左侧时，如图， 则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 32．如题图1，，被直线所截，点D在线段上，过点D作，过点B作． (1)求证：； (2)如题图2，若，点P为直线上一动点（点P不与点B，D重合），过点P在直线的下方作线段，使得，． ①若，求的度数； ②若的平分线和的平分线交于点Q，其中，请用表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图所示，延长到点F，由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①如图所示，过点D作，由平行线的性质得到，然后求出，然后由平行线得到； ②如图所示，过点Q作，由角平分线得到，，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长到点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）①如图所示，过点D作 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，过点Q作 ∵， ∵的平分线和的平分线交于点Q ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 33．已知，在四边形中，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长交于点，过点作，垂足为，与的外角平分线交于点，与交于点，求证：． (3)如图3，在第（1）问成立的条件下，若平分，是直线上一动点（不与点重合），平分交直线于点．设，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得，根据两直线平行，同位角相等得，继而得到，即可得证； （2）如图，过点作，过点作，在的延长线上取点，根据平行线的性质及垂直的定义得，由平行公理的推论得，继而得到，，，，根据角平分线的定义得，推出，即，进一步得到，即可得证； （3）设，则，分三种情况：①若在的左侧，如图；②若在的右侧，且点在点的左侧，如图； ③若在的右侧，且点在点的右侧，如图，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作，过点作，在的延长线上取点， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ①若在的左侧，如图， ∵，平分， ∴在的右侧，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②若在的右侧，且点在点的左侧，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③若在的右侧，且点在点的右侧，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 34．【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 35．已知，点E，F分别是上的动点，，垂足为点M，和的角平分线交于点N，． (1)如图1，当点E在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，点E在上移动过程中，若．求的度数； (3)如图3，当点M在直线上方时，的角平分线的反向延长线交于点N．请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，则，由平行线的性质可得，，结合，即可求解； （2）同（1）作，由角平分线的定义得，，由平行线的性质可得，，则，即可求解； （3）作，则，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作， 和的角平分线交于点N， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， （2）解：如图，作， 和的角平分线交于点N， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，作，则， 同上可得，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是添加辅助线构造平行． 36．综合与探究：如图，平面内线段，M为平面内的动点，且点M不在线段和上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当点M在线段上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，，求的大小． (3)如图3，当点M在线段上方时，交于点G，交于点H，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）由得到，然后由角平分线得到，，进而得到，即可得到； （2）过点M作，则，首先求出，然后结合平行线的性质求解即可； （3）如图，过点H作，首先求出，．由得到，进而求解即可． 【详解】（1）． 理由如下：，点M在线段上， ． 平分，平分． ，， ， ． （2）如图，过点M作，则． 平分，， ． ， ． ， ． ， ． 平分， ； （3）如图，过点H作． ，，平分，平分， ，． ， ． ， ，， ． 37．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和．分别交射线于点、． (1)当时，_____； (2)当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)在（1）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （3）由得，当时，有，得，根据角平分线的定义可得，最后根据两直线平行同旁内角互补得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）解： ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：， ，， ， ， ，即； 又平分，平分， ，， ， ，， ． 38．如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出； （3）由角平分线的定义可得出，．根据平行线的性质可得出，从而得出，结合（1）的结论可求得． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， .∵平分，平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 39．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的读数为或 40．如图①，过直线外一点C作，连接，． (1)求的度数； (2)如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理和角的和差关系结合已知条件证明，即可得到； （3）根据平行线的性质和已知条件求出；则可表示出，，过点P作，则，可得，设（k为常数），则，进而得到，再由的度数与时间t无关，推出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得，， ∴，， 如图所示，过点P作，则， ∴， ∴， 设（k为常数），则， ∴， ∵的度数与时间t无关， ∴， ∴， ∴． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$