（易错讲义）第七单元 用方程解决问题（5个易错点+3个常考点+9个突破点）-2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第七单元 用方程解决问题 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：五大易错知识点 3 第二部分：三大常考易错点 3 易错点一：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 3 易错点二：解形如““ax±x=6”类型的方程合并含有x项时出错。 4 易错点三：整理合并含x项时,运算错误。（尤其出现在解决相遇问题中） 4 第三部分：九大易错题突破 4 突破题型一列方程解决和差倍问题 4 突破题型二列方程解决年龄问题 5 突破题型三列方程解决含有一个未知数的问题 7 突破题型四列方程解决含有两个未知数的问题 8 突破题型五列方程解决相遇问题（求速度） 9 突破题型六列方程解决相遇问题（求时间） 9 突破题型七列方程解决相遇问题（求距离或路程） 10 突破题型八列方程解复杂的行程问题 11 突破题型九列方程解复杂的实际问题 11 第一部分 五大易错知识点 1、列方程解决问题时，得数后面不能写名数。 2、不能正确运用等式的性质解方程。解方程时,应该在等式的两边同时加上一个数或者减去一个数,不能一边加一个数另一边减这个数。 3、x应看作1x，根据乘法分配律ax±x=(a±1)x。 4、只有两个量都含有x时，才能利用乘法分配律来解方程。 5、在利用方程解决问题时,没有明确方程中各个部分数量之间的关系。 列方程解决实际问题,要先用字母表示未知数,再根据题目中数量之间的关系,列出一个含有未知数的等式。在解决“和差”“和倍”或“差倍”问题时,常把其中一个量设为工,或把两个量设为,从而导致错误。解决此类问题,一般要把作为标准量的未知数设为,用含有x的式子表示另一个未知量。 第二部分 三大常考易错点 易错点一：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 已知鸡和兔的数量相同,两种动物的脚加起来共有48只。鸡和兔各有多少只? 【错误答案】 解:设鸡有x只,则兔也有2x只。 2x+8x=48 10x=48 X=4.8 答:鸡有4.8只,兔有9.6只。 【错解分析】题中的等量关系:鸡的脚数+兔的脚数=48只。设鸡和兔均有x只，一只鸡有2只脚,鸡的脚数应为2x只;一只兔有4只脚,兔的脚数就应为4x只。列出方程为2x十4x=48。本题错在找错数量关系。 【正确答案】 解:设鸡有x只,则兔也有x只。 2x+4x=48 6x=48 X=8 答:鸡有8只,兔有8只。 易错点二：解形如““ax±x=6”类型的方程合并含有x项时出错。 解方程：3x+x=18 【错误答案】3x+x=18 3x=18 x=6 【错解分析】我们在解形如“ax±x=b”类型的方程时,要把含有x的项合并在一起,这里3x+合并后为4x,不要误认为x是0个“x”,应为1个“x”。 【正确答案】3x+x=18 4x=18 x=4.5 易错点三：整理合并含x项时,运算错误。（尤其出现在解决相遇问题中） 计算:7x-36=3x 【错误答案】 解:7x+3x =36 10x=36 x=3.6 【错解分析】此题错在没有掌握等式中各部分数量之间的关系。可运用等式的性质进行整理解答。 【正确答案】 解:7x-36-3x+36=3x-3x+36 4x=36 x=9 第三部分 九种易错题型突破 突破题型一列方程解决和差倍问题 1．购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 2．水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 3．公园里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆数是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答） 4．乐乐家养白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，乐乐家养的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解决问题） 突破题型二列方程解决年龄问题 5．小聪今年多少岁？ 6．用方程解决问题：淘气和智慧老人今年分别多少岁？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 7．妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 8．小明和妈妈今年分别多少岁？（用方程解答） 突破题型三列方程解决含有一个未知数的问题 9．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？ 10．将下题中的等量关系表示出来，再列方程解决问题。 世界上体重最轻的鸟是蜂鸟。一只蜂鸟重2.1克，一只麻雀的体重减少1克，刚好是这只蜂鸟的50倍。这只麻雀重多少克？ 11．某小学学生参加植树活动，六年级植树168棵，比五年级植树棵数的3倍多72棵。五年级植树多少棵？（列方程解答） 12．六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分4个，那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？ 突破题型四列方程解决含有两个未知数的问题 13．学校购买防疫口罩和消毒液共花2.45万元，口罩的钱是消毒液的2.5倍，口罩和消毒液各花了多少钱？（用方程解） 14．依依去文具店买了一个日记本和一支新款钢笔，共花了20.4元。钢笔的价钱正好是日记本的3倍。依依买的日记本和钢笔分别是多少元？ 15．原来甲桶水比乙桶水多24千克，甲桶水用去8千克、乙桶水用去2千克后，甲桶水的质量是乙桶水的1.5倍，原来两桶水各重多少千克？ 16．有A、B两个无水的长方体容器，A容器底面是边长3厘米的正方形，B容器底面长是5厘米，宽3厘米。现在向这两个容器中注入同样多的水后，水面高度相差5厘米（水均无溢出）。这时A容器水面高度是多少厘米？ 突破题型五列方程解决相遇问题（求速度） 17．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 18．甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 19．南京到上海相距306千米，快车和慢车分别从这两地同时出发，相向而行，1.5小时后两车在途中相遇。已知快车每小时行驶110千米，慢车每小时行驶多少千米？ 突破题型六列方程解决相遇问题（求时间） 20．A、B两地相距615千米，甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，几小时后两车还相距15千米？ 21．甲、乙两人骑摩托车同时从相距190千米的两个城市出发，相向而行。甲的速度是36千米/时，乙的速度是40千米/时，经过多少小时两人相遇？（列方程解答） 22．甲、乙两队学生从相距17千米的两地出发，相向而行。如果甲队学生每小时走4.5千米，乙队学生每小时走4千米，两队学生多长时间后相遇？ （1）用自己喜欢的方式画一个示意图，表示数量关系。 （2）列式解答。 突破题型七列方程解决相遇问题（求距离或路程） 23．一辆客车和一辆货车分别从、甲、乙两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇。客车每小时行75千米，货车每小时行60千米，甲、乙两地相距多少千米？（用方程解答） 24．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 25．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 26．带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 突破题型八列方程解复杂的行程问题 27．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 突破题型九列方程解复杂的实际问题 28．小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 29．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 30．甲、乙、丙、丁四人手上各有一张写有一个数的卡片，已知四个数之和是835；若将甲手中卡片上的数减去15，乙卡片上的数加上20，丙卡片上的数增加0.5倍，丁卡片上的数减少一半，则四个数刚好相等。问甲、乙、丙、丁四人手中卡片上的数各是多少？ 31．某小区摆放的A（有害垃圾）、B（可回收垃圾）、C（餐厨垃圾）、D（其它垃圾）四个垃圾桶都有显示重量﹐已知四桶垃圾总重是915千克；经物业保洁再仔细分类，将有害垃圾桶加了15千克，可回收垃圾减去20千克，餐厨垃圾增加0.5倍，其它垃圾减少一半，结果发现四桶垃圾重量刚好相等，问原来A、B、C、D四垃圾桶的重量各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第七单元 用方程解决问题 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：五大易错知识点 3 第二部分：三大常考易错点 3 易错点一：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 3 易错点二：解形如““ax±x=6”类型的方程合并含有x项时出错。 4 易错点三：整理合并含x项时,运算错误。（尤其出现在解决相遇问题中） 4 第三部分：九大易错题突破 4 突破题型一列方程解决和差倍问题 4 突破题型二列方程解决年龄问题 6 突破题型三列方程解决含有一个未知数的问题 9 突破题型四列方程解决含有两个未知数的问题 11 突破题型五列方程解决相遇问题（求速度） 14 突破题型六列方程解决相遇问题（求时间） 15 突破题型七列方程解决相遇问题（求距离或路程） 17 突破题型八列方程解复杂的行程问题 19 突破题型九列方程解复杂的实际问题 19 第一部分 五大易错知识点 1、列方程解决问题时，得数后面不能写名数。 2、不能正确运用等式的性质解方程。解方程时,应该在等式的两边同时加上一个数或者减去一个数,不能一边加一个数另一边减这个数。 3、x应看作1x，根据乘法分配律ax±x=(a±1)x。 4、只有两个量都含有x时，才能利用乘法分配律来解方程。 5、在利用方程解决问题时,没有明确方程中各个部分数量之间的关系。 列方程解决实际问题,要先用字母表示未知数,再根据题目中数量之间的关系,列出一个含有未知数的等式。在解决“和差”“和倍”或“差倍”问题时,常把其中一个量设为工,或把两个量设为,从而导致错误。解决此类问题,一般要把作为标准量的未知数设为,用含有x的式子表示另一个未知量。 第二部分 三大常考易错点 易错点一：不理解题意,找错等量关系,导致列出错误的方程。 已知鸡和兔的数量相同,两种动物的脚加起来共有48只。鸡和兔各有多少只? 【错误答案】 解:设鸡有x只,则兔也有2x只。 2x+8x=48 10x=48 X=4.8 答:鸡有4.8只,兔有9.6只。 【错解分析】题中的等量关系:鸡的脚数+兔的脚数=48只。设鸡和兔均有x只，一只鸡有2只脚,鸡的脚数应为2x只;一只兔有4只脚,兔的脚数就应为4x只。列出方程为2x十4x=48。本题错在找错数量关系。 【正确答案】 解:设鸡有x只,则兔也有x只。 2x+4x=48 6x=48 X=8 答:鸡有8只,兔有8只。 易错点二：解形如““ax±x=6”类型的方程合并含有x项时出错。 解方程：3x+x=18 【错误答案】3x+x=18 3x=18 x=6 【错解分析】我们在解形如“ax±x=b”类型的方程时,要把含有x的项合并在一起,这里3x+合并后为4x,不要误认为x是0个“x”,应为1个“x”。 【正确答案】3x+x=18 4x=18 x=4.5 易错点三：整理合并含x项时,运算错误。（尤其出现在解决相遇问题中） 计算:7x-36=3x 【错误答案】 解:7x+3x =36 10x=36 x=3.6 【错解分析】此题错在没有掌握等式中各部分数量之间的关系。可运用等式的性质进行整理解答。 【正确答案】 解:7x-36-3x+36=3x-3x+36 4x=36 x=9 第三部分 九种易错题型突破 突破题型一列方程解决和差倍问题 1．购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 【答案】56元 【分析】根据题意可知，椅子的价格×3＝桌子的价格，桌子的价格＋椅子的价格＝桌椅的价格，据此设椅子为x元，然后列方程为，再解出方程即可。 【解答】解：设一把椅子x元。 答：一把椅子56元。 2．水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 【答案】苹果：150千克；香蕉：100千克 【分析】由题意可知：香蕉的质量是1倍量，设香蕉的质量是x千克，则苹果的质量是1.5x千克。根据等量关系“苹果的质量＋香蕉的质量＝250”列出方程并解方程即可求出香蕉的质量；再用250千克减去香蕉的质量可求出苹果的质量。 【解答】解：设香蕉的质量是x千克。 1.5x＋x＝250 2.5x＝250 2.5x÷2.5＝250÷2.5 x＝100 250－100＝150（千克） 答：运进苹果150千克，运进香蕉100千克。 3．公园里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆数是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答） 【答案】70盆 【分析】根据题意，将月季花的盆数设为x盆，菊花的盆数是月季花的7倍，则菊花的盆数可以表示为7x盆，列出等量关系：月季花的盆数＋菊花的盆数＝560盆，据此列方程解答即可。 【解答】由分析可得： 解：设月季花的盆数为x盆， x＋7x＝560 8x＝560 8x÷8＝560÷8 x＝70 答：月季花有70盆。 【点评】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 4．乐乐家养白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，乐乐家养的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解决问题） 【答案】白兔有154只，灰兔有146只。 【分析】根据题意可知，可设灰兔数量为x只，则白兔可以表示为（x＋8）只，根据白兔数量＋灰兔数量＝乐乐家养兔子的总数量设方程为：x＋（x＋8）＝300，解方程即可。 【解答】解：设灰兔数量为x只。 x＋（x＋8）＝300 2x＋8＝300 2x＋8－8＝300－8 2x＝292 2x÷2＝292÷2 x＝146 可得灰兔有146只，则白兔有：146＋8＝154（只） 答：白兔有154只，灰兔有146只。 【点评】解答此题的关键是根据题干找到本题的等量关系，再根据等量关系列出方程求解即可。 突破题型二列方程解决年龄问题 5．小聪今年多少岁？ 【答案】8岁 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法，假设小聪的年龄是x岁，则爸爸年龄是5x岁，根据爸爸比小聪大32岁，列方程解答。 【解答】解：设小聪今年x岁，则爸爸年龄是5x岁。 5x－x＝32 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：小聪今年8岁。 6．用方程解决问题：淘气和智慧老人今年分别多少岁？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 【答案】线段图见详解； 淘气今年的年龄＋智慧老人今年的年龄＝77岁 淘气：11岁；智慧老人：66岁 【分析】淘气今年的年龄＋智慧老人今年的年龄＝77岁，智慧老人的年龄是淘气的6倍，则淘气今年的年龄＋淘气今年的年龄×6＝77岁；据此画图线段图；可以设淘气的年龄是x岁，则智慧老人的年龄是6x岁，根据等量关系列方程，解方程即可。 【解答】 淘气今年年龄＋智慧老人今年年龄＝77岁 解：设淘气今年年龄是x岁，则智慧老人今年的年龄是6x岁。 x＋6x＝77 7x＝77 x＝77÷7 x＝11 智慧老人：11×6＝66（岁） 答：淘气今年年龄是11岁，智慧老人今年年龄是66岁。 【点评】本题考查方程的实际应用，利用淘气今年的年龄与智慧老人今年的年龄关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 7．妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【答案】11岁 【分析】（1）根据倍数关系，先用37减去4求出小丽年龄的3倍是多少，然后再除以3即可； （2）根据题意可得等量关系式：小丽年龄的年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，列出方程解答即可。 【解答】作图如下： （1）（37－4）÷3 ＝33÷3 ＝11（岁） （2）解：设小丽今年x岁。 3x＋4＝37 3x＋4－4＝37－4 3x÷3＝33÷3 x＝11 答：小丽今年11岁。 【点评】解答本题关键是理解算法的多样性，理解数量之间的互逆关系。 8．小明和妈妈今年分别多少岁？（用方程解答） 【答案】小明今年10岁，妈妈今年30岁。 【分析】分析题目，根据妈妈今年的年龄是小明的3倍，可设小明今年的年龄是x岁，则妈妈今年的年龄是3x岁，再根据妈妈今年的年龄＋小明今年的年龄＝40列出方程，进一步根据等式的基本性质解方程，求出的x即为小明今年的年龄，用小明今年的年龄乘3即可得到妈妈今年的年龄。 【解答】解：设小明今年的年龄是x岁，则今年妈妈的年龄是3x岁。 x＋3x＝40 4x＝40 x＝40÷4 x＝10 3×10＝30（岁） 答：小明今年10岁，妈妈今年30岁。 【点评】准确的找出等量关系并列出方程是解答本题的关键。 突破题型三列方程解决含有一个未知数的问题 9．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？ 【答案】4万千米 【分析】根据题意可得出等量关系：地球赤道的周长×7＋2＝光的速度，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设地球赤道的周长大约万千米。 7＋2＝30 7＋2－2＝30－2 7＝28 7÷7＝28÷7 ＝4 答：地球赤道的周长大约4万千米。 10．将下题中的等量关系表示出来，再列方程解决问题。 世界上体重最轻的鸟是蜂鸟。一只蜂鸟重2.1克，一只麻雀的体重减少1克，刚好是这只蜂鸟的50倍。这只麻雀重多少克？ 【答案】106克 【分析】根据题意，用一只麻雀的体重减去1克，正好等于一只蜂鸟体重的50倍，据此得出等量关系，并列出方程，求出方程的解。 【解答】等量关系：麻雀的体重－1＝蜂鸟的体重×50 解：设这只麻雀重克。 －1＝2.1×50 －1＝105 －1＋1＝105＋1 ＝106 答：这只麻雀重106克。 11．某小学学生参加植树活动，六年级植树168棵，比五年级植树棵数的3倍多72棵。五年级植树多少棵？（列方程解答） 【答案】32棵 【分析】根据题意可得出等量关系：五年级植树棵数×3＋72＝六年级植树棵数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设五年级植树棵。 3＋72＝168 3＋72－72＝168－72 3＝96 3÷3＝96÷3 ＝32 答：五年级植树32棵。 12．六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分4个，那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？ 【答案】15名 【分析】设有x名小朋友。如果每名小朋友分4个，还剩10个，则x名小朋友一共分了4x个，加上剩下的10个，可得这袋糖果一共有（4x＋10）个；如果每名小朋友分5个，一共分了5x个，再减去差的5个，可知这袋糖果一共有（5x－5）个。糖果的总个数不变，据此列出方程：4x＋10＝5x－5，根据等式的性质解出方程即可。 【解答】解：设有x名小朋友。 4x＋10＝5x－5 10＝5x－5－4x 10＝x－5 10＋5＝x x＝15 答：有15名小朋友。 突破题型四列方程解决含有两个未知数的问题 13．学校购买防疫口罩和消毒液共花2.45万元，口罩的钱是消毒液的2.5倍，口罩和消毒液各花了多少钱？（用方程解） 【答案】消毒液花了0.7万元，则口罩的价钱为1.75万元 【分析】由题意可知，设消毒液的价钱为x万元，则口罩的价钱为2.5x万元，再根据等量关系：口罩的钱数＋消毒液的钱数＝2.45，据此列方程解答即可。 【解答】解：设消毒液花了x万元，则口罩的价钱为2.5x万元。 3.5x＝2.45 3.5x÷3.5＝2.45÷3.5 0.7×2.5＝1.75（万元） 答：消毒液花了0.7万元，则口罩的价钱为1.75万元。 14．依依去文具店买了一个日记本和一支新款钢笔，共花了20.4元。钢笔的价钱正好是日记本的3倍。依依买的日记本和钢笔分别是多少元？ 【答案】日记本5.1元；钢笔15.3元 【分析】设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元，根据日记本价格＋钢笔价格＝总钱数，列出方程求出x的值是日记本价格，日记本价格×3＝钢笔价格。 【解答】解：设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元。 x＋3x＝20.4    4x＝20.4 4x÷4＝20.4÷4 x＝5.1    5.1×3＝15.3（元） 答：依依买的日记本是5.1元，钢笔是15.3元。 15．原来甲桶水比乙桶水多24千克，甲桶水用去8千克、乙桶水用去2千克后，甲桶水的质量是乙桶水的1.5倍，原来两桶水各重多少千克？ 【答案】甲桶水：62千克；乙桶水：38千克 【分析】设甲桶水重x千克，甲桶水比乙用水多24千克，则乙桶水为（x－24）千克，甲桶水用去8千克，还剩（x－8）千克，乙桶水用去2千克，乙桶水还剩（x－24－2）千克，甲桶水的质量是乙桶水的1.5倍，即甲桶水用去8千克后剩下的水的质量＝乙水桶用去2千克后×1.5，列方程：x－8＝（x－24－2）×1.5，解方程，即可解答。 【解答】解：设甲水桶重x千克，则乙水桶重x－24千克。 x－8＝（x－24－2）×1.5 x－8＝1.5x－24×1.5－2×1.5 1.5x－x＝24×1.5＋2×1.5－8 0.5x＝36＋3－8 0.5x＝39－8 0.5x＝31 x＝31÷0.5 x＝62 乙桶水重：62－24＝38（千克） 答：甲桶水重62千克，乙桶水重38千克。 【点评】本题考查方程的实际应用，利用甲桶水的质量与乙桶水质量之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 16．有A、B两个无水的长方体容器，A容器底面是边长3厘米的正方形，B容器底面长是5厘米，宽3厘米。现在向这两个容器中注入同样多的水后，水面高度相差5厘米（水均无溢出）。这时A容器水面高度是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】根据“水面高度相差5厘米”可知，A容器中水的高度比B容器的高5厘米，可以设这时A容器水面高度是厘米，则B容器水面高度是（－5）厘米； 根据“向这两个容器中注入同样多的水”可知，A、B容器中水的体积相等；由长方体的体积＝长×宽×高，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设这时A容器水面高度是厘米，则B容器水面高度是（－5）厘米。 3×3×＝5×3×（－5） 9＝15（－5） 9＝15－75 9＋75＝15－75＋75 9＋75＝15 9＋75－9＝15－9 75＝6 6÷6＝75÷6 ＝12.5 答：这时A容器水面高度是12.5厘米。 突破题型五列方程解决相遇问题（求速度） 17．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。 【解答】解：设轿车每时行驶多少千米。 30＋60×2＋2＝300 30＋120＋2＝300 150＋2＝300 150＋2－150＝300－150 2＝150 2÷2＝150÷2 ＝75 答：轿车每时行驶75千米。 18．甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【解答】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 19．南京到上海相距306千米，快车和慢车分别从这两地同时出发，相向而行，1.5小时后两车在途中相遇。已知快车每小时行驶110千米，慢车每小时行驶多少千米？ 【答案】94千米 【分析】根据题意可得出等量关系：（快车的速度＋慢车的速度）×相遇时间＝南京到上海的路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设慢车每小时行驶x千米。 （110＋x）×1.5＝306 （110＋x）×1.5÷1.5＝306÷1.5 110＋x＝204 110＋x－110＝204－110 x＝94 答：慢车每小时行驶94千米。 突破题型六列方程解决相遇问题（求时间） 20．A、B两地相距615千米，甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，几小时后两车还相距15千米？ 【答案】6小时 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：甲车的速度×行驶时间＋乙车的速度×行驶时间＋两车相距的距离＝A、B两地的距离，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设小时后两车还相距15千米。 60＋40＋15＝615 100＋15＝615 100＋15－15＝615－15 100＝600 100÷100＝600÷100 ＝6 答：6小时后两车还相距15千米。 21．甲、乙两人骑摩托车同时从相距190千米的两个城市出发，相向而行。甲的速度是36千米/时，乙的速度是40千米/时，经过多少小时两人相遇？（列方程解答） 【答案】2.5小时 【分析】已知两个城市相距的距离和相向而行的甲、乙两人骑摩托车的速度，根据“速度和×相遇时间＝路程”，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设经过小时相遇。   （36＋40）＝190   76＝190 76÷76＝190÷76 ＝2.5 答：经过2.5小时两人相遇。 22．甲、乙两队学生从相距17千米的两地出发，相向而行。如果甲队学生每小时走4.5千米，乙队学生每小时走4千米，两队学生多长时间后相遇？ （1）用自己喜欢的方式画一个示意图，表示数量关系。 （2）列式解答。 【答案】（1）示意图见详解 数量关系：甲队行驶的路程＋乙队行驶的路程＝17千米 （2）2小时 【分析】（1）根据题目给出的条件，画出示意图。画一条线段，两端标注甲队和乙队，表示两地相距17千米，然后两个箭头指向对方表示相向而行，分别标出各自的速度。要清楚的表示出甲、乙两队的速度和总路程还有相遇点；数量关系是：甲队行驶的路程＋乙队行驶的路程＝17千米。 （2）甲队的速度是每小时4.5千米，乙队的速度是每小时4千米，两队是相向而行，初始距离为17千米。我们设经过��小时两队相遇。那么在��小时内，甲队所走的路程就是甲队速度乘时间，即4.5��千米；乙队所走的路程就是乙队速度乘时间，即4��千米。由于两队相遇时，他们所走的路程之和刚好等于两地的距离17千米。 【解答】（1）根据分析，如下图所示： 数量关系：甲队行驶的路程＋乙队行驶的路程＝17千米 （2）解：设两队学生��小时间后相遇。 （4.5＋4）��＝17 8.5��＝17 8.5��÷8.5＝17÷8.5 ��＝2 答：两队学生2小时后相遇。 突破题型七列方程解决相遇问题（求距离或路程） 23．一辆客车和一辆货车分别从、甲、乙两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇。客车每小时行75千米，货车每小时行60千米，甲、乙两地相距多少千米？（用方程解答） 【答案】810千米 【分析】路程和÷相遇时间＝速度和，设甲、乙两地相距x千米，根据速度和－客车速度＝货车速度，列出方程解答即可。 【解答】解：设甲、乙两地相距x千米。 x÷6－75＝60 x÷6－75＋75＝60＋75 x÷6＝135 x÷6×6＝135×6 x＝810 答：甲、乙两地相距810千米。 24．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】540千米 【分析】两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。 【解答】解：设经过x小时两车相遇。 60x－48x＝30×2 12x＝60 x＝60÷12 x＝5 （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：A、B两地间的距离是540千米。 25．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 26．带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【答案】2400米 【分析】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。 【解答】解：设小明和小兵x分相遇。 （55＋65）x＝1200 120x＝1200 120x÷120＝1200÷120 x＝10 240×10＝2400（米） 答：小狗一共跑了2400米。 突破题型八列方程解复杂的行程问题 27．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 【答案】6小时 【分析】设出发经过x小时，丙在甲、乙之间；甲x小时行6.5x千米，乙x小时行5.5x千米，丙x小时行4.5x千米；丙在甲、乙中间，用杭州到绍兴的路程减去乙和丙行驶的路程和，等于甲比乙多行驶的路程的一半，列方程：63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2，列方程，即可解答。 【解答】解：设出发后经过x小时，丙在甲、乙的中间。 63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2 63－10x＝x÷2 63－10x＝0.5x 10x＋0.5x＝63 10.5x＝63 x＝63÷10.5 x＝6 答：出发后经过6小时，丙在甲、乙的中间。 【点评】本题考查方程的实际的应用，根据三人的速度各不相同，以及行驶的路程，利用三人行驶的路程之间的关系，设出未知数，找出相关的量。列方程，解方程。 突破题型九列方程解复杂的实际问题 28．小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【答案】小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 【分析】设小刚收集的邮票数为枚，小勇是小刚的2倍就是枚，小明是小勇的3倍，，就是枚，由题意可知，小明的邮票枚数＋小勇邮标枚数＋小刚的邮票枚数＝360，据此列方程求解，可得小刚的邮票数，再用小刚的邮票数乘2得小勇的邮票数，最后用小勇的邮票数乘3得小明的邮票数。 【解答】解：设小刚收集的邮票数为枚。 （枚） （枚） 答：小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 29．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 【答案】小品8人；朗诵12人；合唱21人 【分析】根据“参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人”，可以设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人； 已知参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，即参加小品的同学人数是参加朗诵的同学人数的，因为参加朗诵的同学有人，那么参加小品的同学有人。 根据“六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目”可得出等量关系：参加小品的同学人数＋参加朗诵的同学人数＋参加合唱的同学人数＝参加节目的总人数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人，参加小品的同学有人。 ＋＋2－3＝41 －3＝41 －3＋3＝41＋3 ＝44 ÷＝44÷ ＝44× ＝12 合唱：12×2－3 ＝24－3 ＝21（人） 小品：12×＝8（人） 答：参加小品的同学有8人，参加朗诵的同学有12人，参加合唱的同学有21人。 30．甲、乙、丙、丁四人手上各有一张写有一个数的卡片，已知四个数之和是835；若将甲手中卡片上的数减去15，乙卡片上的数加上20，丙卡片上的数增加0.5倍，丁卡片上的数减少一半，则四个数刚好相等。问甲、乙、丙、丁四人手中卡片上的数各是多少？ 【答案】195；160；120；360。 【分析】解决几个未知数的问题，可以通过转化的方法转化为一个未知数的问题。 可以设丙数为x，丙卡片上的数增加0.5倍，现在的丙数是原来的（1＋0.5）倍，即现在的丙数是1.5x；最后的四个数的结果是相等的。 即甲数是减去15后为1.5x，则原来的甲数是1.5x加上15； 乙数加上20后为1.5x，则原来的乙数是1.5x减去20； 丁数减少一半，也就是除以2为1.5x，则原来的丙数是1.5x乘2； 最后将四个数都是用x来表示，相加得和是835，解方程得出x，再分别得出其他的数。 【解答】解：设丙手中卡片上的数是x。 甲－15＝1.5x，则甲＝1.5x＋15 乙＋20＝1.5x，则乙＝1.5x－20 丁÷2＝1.5x，则丁＝3x 1.5x＋15＋1.5x－20＋x＋3x＝835 解：1.5x＋1.5x＋3x＋x＋15－20＝835 7x－5＝835 7x＝835＋5 7x＝840 x＝840÷7 x＝120 甲：1.5×120＋15 ＝180＋15 ＝195 乙：1.5×120－20 ＝180－20 ＝160 丁：3×120＝360 答：甲、乙、丙、丁手中卡片上的数分别是195、160、120、360。 31．某小区摆放的A（有害垃圾）、B（可回收垃圾）、C（餐厨垃圾）、D（其它垃圾）四个垃圾桶都有显示重量﹐已知四桶垃圾总重是915千克；经物业保洁再仔细分类，将有害垃圾桶加了15千克，可回收垃圾减去20千克，餐厨垃圾增加0.5倍，其它垃圾减少一半，结果发现四桶垃圾重量刚好相等，问原来A、B、C、D四垃圾桶的重量各是多少？ 【答案】A桶180千克、B桶215千克、C桶130千克、D桶390千克 【分析】假设餐厨垃圾有x千克，增加0.5倍后是1.5x千克，则有害垃圾有（1.5x－15）千克，可回收垃圾有（1.5x＋20）千克，其它垃圾有（1.5x×2）千克，由于“有害垃圾＋可回收垃圾＋餐厨垃圾＋其它垃圾＝915千克”，根据等量关系式列方程即可解答。 【解答】解：设C桶重量的数是x千克，则A桶重量为（1.5x－15）千克，可回收垃圾有（1.5x＋20）千克，其它垃圾有（1.5x×2）千克。 1.5x－15＋1.5x＋20＋x＋1.5x×2＝915 4x＋3x＋5＝915 7x＝910 x＝130 1.5×130－15 ＝195－15 ＝180（千克） 1.5×130＋20 ＝195＋20 ＝215（千克） 1.5×130×2 ＝195×2 ＝390（千克） 答：A、B、C、D桶的重量分别是180千克、215千克、130千克、390千克。 【点评】分析清楚A桶、B桶、D桶与C桶之间的关系，找出等量关系是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$