精品解析：浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题

诸暨市2025年5月高三适应性考试试题 数学 注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上， 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（为虚数单位），，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中第三项的系数是（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆和双曲线的离心率分别为.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 设等差数列的公差是为的前项和，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 的大小不确定 7. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角的对边的长分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是的中点为，过点的平面记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 点和点到平面的距离相等 B. 二面角的正切值为 C. 平面截得的截面形状是五边形 D. 平面截得的截面面积为 11. 已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若成等比数列，则实数__________. 13. 从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________. 14. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）： 使用组 1 1 2 2 3 3 3 4 非使用组 0 0 1 1 2 3 （1）从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表： 低于 不低于 总计 使用组 非使用组 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知抛物线，点，直线交抛物线于两点，满足，点在直线上的投影点记为点. （1）当轴时，求的值； （2）当时，求点的轨迹方程. 18. 已知函数有两个极值点，满足. （1）求的取值范围； （2）判断并证明函数的对称性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 设矩形的周长为，记，把沿过的对角线向点方向折叠，直线折过去后交直线于点，并得到矩形，记这个过程为一次折叠操作.当两个矩形都在的同侧时，称为同侧操作（如图1）；否则称为异侧操作（如图2）.若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过的对角线向点折叠. （1）若点在线段上，求的最大面积及此时的值； （2）当时，若矩形是由矩形同侧折叠2025次所得，求的长度； （3）将矩形同侧折叠次得到矩形，再将矩形折叠次得到.若存在，使得成立.记满足条件的的取值集合为.定义集合的“长度”记为，例：证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨市2025年5月高三适应性考试试题 数学 注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上， 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（为虚数单位），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数的性质可化简，即可由交集的定义求解. 【详解】,故， 故选：D 2. 的展开式中第三项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求出答案. 【详解】的展开式中第三项为， 所以所求系数为. 故选：C 3. 设椭圆和双曲线的离心率分别为.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求两个曲线的离心率，再根据方程，即可求解. 【详解】椭圆的离心率，双曲线的离心率， 由题意可知，，且，得. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再将利用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 所以. 故选：B. 5. 设等差数列的公差是为的前项和，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法，结合等差数列的通项公式与求和公式的运用即可推得. 【详解】若，由，可得； 若，可得，解得， 即“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】可先分别根据圆柱和球的体积公式、表面积公式求出和的值，再比较和的大小. 【详解】设球的半径为，因为球的直径恰好与圆柱的高相等，所以圆柱的高， 又因为球是圆柱的内切球，所以圆柱底面半径. 根据圆柱体积公式，可得圆柱体积. 根据球的体积公式. 已知圆柱与球的体积之比为，则. 根据圆柱表面积公式，可得圆柱表面积. 根据球的表面积公式. 已知圆柱与球的表面积之比为，则. 所以. 故选：A. 7. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到在，和的切线斜率，在变化过程中，确定点的轨迹，最后根据弧长公式求解. 【详解】，， ，则， 故在处的切线方程为， ，， 故在处的切线方程为， ，， 故在处的切线方程为， 当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，此时两切线与圆的交点左边从到， 右边从到， 同理，当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，此时两切线与圆的交点左边从到， 右边从到， 故点的轨迹为劣弧和劣弧， 其中，故， 故其轨迹对应的圆心角为， 由弧长公式得. 故选：D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角的对边的长分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角差正弦公式及诱导公式计算判断A，B，特殊值计算判断C，应用单调性计算判断D. 【详解】取，得与不相等，A选项不正确； ，由正弦定理得，B选项正确； 若，则，则，C选项不正确； 若，则，又因为，所以，D选项正确； 故选：BD. 10. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是的中点为，过点的平面记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 点和点到平面的距离相等 B. 二面角的正切值为 C. 平面截得的截面形状是五边形 D. 平面截得的截面面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面，即可求解A,根据二面角的几何法可知为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解B，根据长方体及平面的基本性质作图画出平面截直四棱柱所得截面，即可求解C，分别求出各个边长，将五边形D1MEFN可分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，分别求面积即可求解D. 【详解】对于A：由于是的中点，所以,又，所以,平面，平面， 故平面，因此点和点到平面的距离相等，A正确， 对于B，过作于，则是的中点，连接, 由于平面，平面，故, 又，平面，所以平面， 平面，故,故为二面角的平面角， ,所以,B正确， 延长交直线于点，连接，交棱于点,连接，可得五边形为截面图形，故C正确， 对于D, 由平行线分线段成比例可得,故，则为等腰三角形.由相似三角形可知，，则， . 连接，则，因此五边形可分为等边三角形和等腰梯形. 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又，所以五边形的面积为，故D错误， 故选：ABC 11. 已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】理解“一字集”的定义，根据该内涵对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项A： 任取两点在该单位圆内， 则线段的所有点均满足， 因此属于该集合，A正确. 对于选项B： 取特殊值进行排除，假设两点，令， 则它们的中点不满足，所以B错误. 对于选项C: 设，因为, 所以对于任意，满足. 又因为,所以对于任意，满足. 所以，所以.所以C正确. 对于选项D： 若,设，. 那么. 因为,所以. 则. 所以选项D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若成等比数列，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算公式，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 13. 从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有可能的抽取情况，再求出满足题意的情况，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】第一次抽取时，有3种可能的结果；因为是放回式抽取，所以第二次抽取时也有3种可能的结果. 所以共有9种情况. 满足第二次抽得的数字能被第一次抽得的数字整除的情况有5种： 第一次：1，第二次：1； 第一次：2，第二次：2； 第一次：3，第二次：3； 第一次：1，第二次：2； 第一次：1，第二次：3. 根据古典概型的概率计算满足题意的概率为： . 故答案为：. 14. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的解析式，作出与图象，设点是，与图象的连续相邻的三个交点，为的中点，求出、，分析可知，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示： 点是与图象的连续相邻的三个交点（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以， 由， 整理得，所以， 则，所以，， 则，所以， 要使为锐角三角形，，所以，， ，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 16. 为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）： 使用组 1 1 2 2 3 3 3 4 非使用组 0 0 1 1 2 3 （1）从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表： 低于 不低于 总计 使用组 非使用组 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （2）， 列联表如下： 低于 不低于 总计 使用组 2 8 10 非使用组 6 4 10 总计 8 12 20 （3）有【解析】 【分析】（1）利用组合数公式计算离散型随机变量取不同值的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算期望； （2）根据中位数的定义确定的值并列出列联表； （3）依据独立性检验的公式计算值，并与临界值比较，判断是否有把握认为两个变量有关联. 【小问1详解】 由题意知：的可能取值为， ， 的分布列为： 0 1 2 . 【小问2详解】 由题意知：20名学生成绩变化的中位数为. 列联表如下： 低于 不低于 总计 使用组 2 8 10 非使用组 6 4 10 总计 8 12 20 【小问3详解】零假设：认为使用DeepSeek与数学成绩变化无关， ，则不成立， 有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联. 17. 已知抛物线，点，直线交抛物线于两点，满足，点在直线上的投影点记为点. （1）当轴时，求的值； （2）当时，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设直线，与抛物线方程联立求点的坐标，根据，即可求，并求的值； （2）法一：首先设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，再联立直线和直线的方程，求点的坐标，并求的值，即可求解轨迹方程； 法二：首先设，通过齐次化构造方程，根据，求得，再联立直线和的方程，求点的坐标，反解，利用代入法，即可求解轨迹方程. 【小问1详解】 当且轴时， 设， 联立，得 ， 由，得，即， 化简得； 又，即. 【小问2详解】 法一： 设， 当时，，则， 联立，得， 由韦达定理得， ， ，即， 化简得， 代入可得； 联立，可得， ， 的轨迹方程为. 法二： 设直线，联立抛物线； 配齐次得， ，两边同时除以， 得， 表示和直线的斜率，设直线和直线的斜率分别为和， 得，即. 联立直线与直线， 解得，有，即， 代入至，解得的轨迹方程为：. 18. 已知函数有两个极值点，满足. （1）求的取值范围； （2）判断并证明函数的对称性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）有对称中心，无对称轴，证明如下： ，则对称性有关的横坐标：，且， 又， 有， 故有对称中心，无对称轴； （3） 【解析】 【分析】（1）由条件转化为函数在区间上有2个变号零点，且满足，转化为与的图象的交点问题，即可求解； （2）首先并计算，并结合函数对称性的关系式，即可判断； （3）法一：首先根据对称性可知，再找到不等式恒成立的必要条件，再证明充分性；法二：利用对称性，根据不等式恒成立，参变分离为，再构造函数，再根据导数求函数的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题意知： 有两个变号零点； 令，在上递减，上递增； ， 又，得，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一： 有， 故有； 当时，，故. 下证充分性： 有. 令， 则， 令，有， 故在上递减，又， 故存在，使得，故在上递增，在上递减. 又，故恒成立， 若，有， 由，故存在，使得，故不合题意. 综上，若恒成立，则实数. 法二： 有， 故有， 参变分离得， 令，有， 其中，令， 有在上成立，故在上递增， 又，故， 令， 有， 在上，且单调递减，且单调递增， 故在上单调递增，又，故， 故在上单调递减，又， 故存在使得. 故在上递减，在上递增， 又，故. 19. 设矩形的周长为，记，把沿过的对角线向点方向折叠，直线折过去后交直线于点，并得到矩形，记这个过程为一次折叠操作.当两个矩形都在的同侧时，称为同侧操作（如图1）；否则称为异侧操作（如图2）.若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过的对角线向点折叠. （1）若点在线段上，求的最大面积及此时的值； （2）当时，若矩形是由矩形同侧折叠2025次所得，求的长度； （3）将矩形同侧折叠次得到矩形，再将矩形折叠次得到.若存在，使得成立.记满足条件的的取值集合为.定义集合的“长度”记为，例：证明：. 【答案】（1）， （2） （3） 由题意得，则时， 其中. ，要使， 即， ①当时，. 若，则，无解；若，则，解得. 符合约束条件的的区间长度. ②当时，. 若，则，无解； 若，则，解得，故； 若，则，解得，故； 若，则，解得，故， 由于被时的覆盖， 故符合约束条件的的区间长度； ③当时，符合约束条件的的区间长度 即， 由， 故， 裂项得， 故. 综上. 【解析】 【分析】（1）先设值，设，有， 再在中，用勾股定理将用表示，最后列出三角形面积公式，用基本不等式求解； （2）按照题意，此时矩形为正方形，. 折叠一次可得即的角平分线，故，故，故. （3）首先理解的含义，然后分类讨论，看每种情况是否符合题意，最后进行总结即可. 【小问1详解】 解：设，有， 在中，，解得， 故（当且仅当时取等号），此时. 【小问2详解】 解：此时矩形为正方形，. 折叠一次可得即的角平分线，故，故，故. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：折叠的性质 1、折叠前后，图形的形状和大小不变； 2、折叠前后，对应边和对应角相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $