10.1.2 立方根 (课件)2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

10.1 平方根和立方根 第10章 数的开方 10.1.2 立方根 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 立方根 立方根的性质 用计算器求一个数的立方根 知识点 立方根 知1－讲 1 1. 定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根. 表示方法：一个数a 的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数. 特别警示：中的根指数3 不能省略. 若省略了3， a表示非负数a 的算术平方根而非a 的立方根. 知1－讲 2. 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 特别解读：立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算. 知1－讲 特别提醒 立方根与平方根的区别： 1. 被开方数：前者可为任何数，后者为非负数； 2. 根指数：前者不能省略，后者可省略不写； 3. 个数：立方根只有一个，平方根有两个(特殊情况：0 的平方根是0) 例 1 解题秘方：根据立方根的定义，用立方法求解. 知1－练 知1－练 如果被开方数为带分数，一般先将带分数化为假分数，然后再求其立方根. ~~~~~~ 知1－练 变式训练 1-1. 求下列各数的立方根： (1)-27； (2)； (3)0. 216； 解：因为(－3)3＝－27，所以－27的立方根是－3. 解：因为0. 63＝0. 216，所以0. 216的立方根是0. 6. 知1－练 (4)-5； (5)4. 已知x-2 的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，求 x2+y2 的算术平方根. 例 2 解题秘方：一个数等于它的平方根的平方，等于它的立方根的立方. 知1－练 知1－练 解：因为x-2 的平方根是±2，所以x-2 =4. 所以x= 6. 因为2 x+y+7 的立方根是3，所以2 x+y+7=2 7. 把x= 6 代入2 x+y+7=2 7，解得y=8， 所以x2 +y2 = 62 +8 2 =10 0. 所以x2 +y2 的算术平方根为10. 知1－练 变式训练 2-1. 已知一个正数的两个平方根分别是a-3和a-11，a+2b-3 的立方根是2， 求2a+b 的算术平方根. 知2－讲 知识点 立方根的性质 2 1. 性质 (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0 的立方根是0； (4) =-； (5)()3 =a. 知2－讲 2. 平方根与立方根的区别 平方根 立方根 定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根 知2－讲 平方根 立方根 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数 负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数 表示法 ± (a≥0) (a 为任意数) 知2－讲 特别提醒 1. 立方根是它本身的数只有0 和±1. 2. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即 =-. 利用“=-”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. 3. ()3= =a. 例 3 求下列各式的值： (1)- ； (2)； (3)- ÷+. 解题秘方：根据立方根和平方根的性质进行化简计算. 知2－练 知2－练 解：(1)- =-7. (2) ==-. (3)-÷+=2÷+1=. 知2－练 变式训练 3-1. 求下列各式的值： (1)- ； (2) ； (3) . 已知和互为相反数，且x ≠ 0，y ≠ 0，求的值. 例 4 解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，建立x 与y 之间的等量关系求解. 知2－练 知2－练 解：因为和互为相反数， 所以3y-1 和1-2 x 互为相反数， 即(3y-1)+(1-2 x)= 0，化简，得3y =2x. 又因为x ≠ 0，y ≠ 0，所以=. 知2－练 变式训练 4-1. 若与互为相反数, 求的值(y ≠ 0). 知3－讲 知识点 用计算器求一个数的立方根 3 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的根指数键不同. 步骤：根指数→按键 →被开方数→ EXE →根据显示结果写出立方根. 或者按键 →根指数→按键 →被开方数 → EXE →根据显示结果写出立方根. 知3－讲 特别提醒 是 键的第二功能，启用第二功能，需要先按 键. 例 5 用计算器求下列各数的立方根： (1)343； (2)10 0(精确到0. 01)； (3)-13. 27(精确到0. 0 01). 解题秘方：根据用计算器求立方根的步骤进行按键操作. 知3－练 知3－练 解：(1)依次按键 ，显示：7. 所以=7. (2)依次按键 ，显示：4. 641 588 834. 所以≈4. 64. (3)依次按键 ，显示：2. 367 501 744. 所以≈2. 368. 所以≈-2. 368. 知3－练 变式训练 5-1. 用计算器计算下列各式的值(精确到0. 01). ≈ ________；≈ ________ ； ≈ ________ ；≈ ________ ； ±≈ ________ ；- ≈ ________ 1. 82 1. 17 8. 02 9. 15 ±15. 63 －0. 67 知3－练 5-2. 利用计算器计算(精确到 0. 01)： +≈ __________. 6. 06 比较下列各组数的大小： (1) 与； (2)- 与 -3. 4； (3) 与 2. 例 6 解题秘方：可以用计算器求出各个数的近似数进行比较，也可以借助中间值进行比较. 知3－练 知3－练 解：(1)(中间值法)因为 2 =< ，2 => ，所以 > . (2)(计算器求值法)因为≈3. 476>3. 4，所以 –<-3. 4. (3)(立方法)因为( )3 = 6，23 =8，6<8，所以 <2. 知3－练 变式训练 6-1. 比较下列各组数的大小： (1) 与 3； (2) 与. 立方根 正数的立方根是正数 立方根 定义 性质 0 的立方根是0 负数的立方根是负数 求下列各数的立方根： (1)-343； (2)2；(3)-1. 解：因为(-7)3 =-3 43，所以-3 43 的立方根是-7，即=-7. (2)因为2=，而()3=，所以2的立方根是，即=. (3)因为(-1)3 =-1，所以-1 的立方根是-1，即 =-1. 解：因为＝，所以的立方根是. 解：－5的立方根是－. 解：因为4＝，＝， 所以4的立方根是. 解：由题意得(a－3)＋(a－11)＝0，所以2a＝14，即a＝7. 因为a＋2b－3的立方根是2， 所以a＋2b－3＝23＝8，即a＋2b＝11. 因为a＝7，所以b＝2. 所以2a＋b＝16. 所以2a＋b的算术平方根是＝4. 解：－＝－＝. 解：＝＝. 解：＝＝60. 解：因为与互为相反数， 所以1－2x与5y－2互为相反数， 所以(1－2x)＋(5y－2)＝0，整理，得2x＋1＝5y. 所以＝＝5. 解：因为25<27，所以<，即<3. 解：因为8<20，所以2<. 所以－1>1. 所以＞. $$