专题14 轴对称、平移与旋转的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题14 轴对称、平移与旋转的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、轴对称中的折叠问题 9 类型四、利用平移的性质求解 12 类型五、平移与平行线的综合问题 15 类型六、旋转与平行线的综合问题 19 压轴能力测评（18题） 26 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 3.旋转 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 类型三、轴对称中的折叠问题 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 类型四、利用平移的性质求解 例题：（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 类型五、平移与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知锐角三角形中，，，将线段沿直线平移得到线段，连接． (1)当时， ①如图，，请说明． ②如图，点在线段上，先请补全图形，再求当时的度数． (2)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数（用含的代数式表示）．（直接写出答案） 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 类型六、旋转与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2025·山西太原·一模）花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．（江苏省无锡市东林集团2024-2025学年下学期八年级数学期中学业质量测试）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，D为线段上的一个动点（点D不与A，C重合），连接在，将沿着进行折叠，C点的对应点为，当与中的一条边垂直时，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 17．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 轴对称、平移与旋转的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、轴对称中的折叠问题 9 类型四、利用平移的性质求解 12 类型五、平移与平行线的综合问题 15 类型六、旋转与平行线的综合问题 19 压轴能力测评（18题） 26 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 3.旋转 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵直线为对称轴，点与点是对称点， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵点在对称轴上，点与点是对称点， ∴， ∴是等腰三角形，该选项正确，不合题意； 、∵点与点，点与点关于直线对称， ∴如果直线与有交点，那么交点在直线上，该选项正确，不合题意； 、∵点与点关于直线对称，点在对称轴上， 当点在同一条直线上时，，即；当点不在同一条直线上时，，该选项错误，符合题意； 故选：． 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据和关于直线对称，确定对称三角形，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据和关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴． 又∵， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解轴对称的含义是解本题的关键； （1）根据四边形与四边形关于直线对称，可得对应边相等，从而可得答案； （2）先求解，再根据轴对称的性质可得答案； （3）根据对称轴垂直平分对称点的连线，可得答案； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形关于直线对称．， ∴； （2）解：∵， ∴， 由轴对称的性质可得： ； （3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线垂直平分． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 【详解】（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 类型三、轴对称中的折叠问题 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【答案】10 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，点落在点的位置，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同旁内角互补，得出，再根据折叠性质得，，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸带，， ∴， ∴， ∵将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键． （1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解； ②结合①的计算得到，，则，有即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴； ②根据上述过程可得，， ， ∵， ∴， 解得，， ∴． 类型四、利用平移的性质求解 例题：（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ∴， ∴， ∴， 条件不足，不能得到； 综上，只有B选项不一定正确； 故选B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质，平行四边形的面积公式即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知，且，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 当，，则边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意； 四边形的周长为， 三角形的周长为， 由平移可知，， ∴， ∴，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故选：C 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 【答案】4 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：∵将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，， ∴，，，，，， ∴，四边形的周长．， ∴， ∴， 即结论正确的有4个． 故答案为：． 类型五、平移与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知锐角三角形中，，，将线段沿直线平移得到线段，连接． (1)当时， ①如图，，请说明． ②如图，点在线段上，先请补全图形，再求当时的度数． (2)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数（用含的代数式表示）．（直接写出答案） 【答案】(1)①证明见解析；②补图见解析， (2)或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（）①由平移得，即得，进而得，即可求证；②由三角形内角和定理得，进而由平行线的性质可得，即得，得到，再根据角的和差即可求解； （）分和两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①由平移得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②补图如下： ∵，， ∴， 由平移得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，如图，设垂足为点，则， ∵， ∴， 由平移得，， ∴； 当时，如图，则， ∵，， ∴， 由平移得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 类型六、旋转与平行线的综合问题 例题：（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)42 (2) (3)①或；②有，°或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果； （3）①分类讨论，当时，点在的右侧，或当时，点在的左侧，得到答案；②利用①的结论，进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：42． （2）解：设旋转的角度，， ∵是的平分线， ， ， ， 即． （3）解：①旋转的角度， 当时，点在的右侧， ； 当时，点在的左侧， ， 或， 故答案为：或； ②满足， , ，或， 解得或， ∴的度数或． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)秒 (3)①  ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果； ②由的度数列出方程，得到结果； （2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果； （3）①由的内角和得到方程，求得结果， ②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果. 【详解】（1）解：①， ， 故答案为： ； ②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，过点时，旋转了， ∴此时， ， ， 故答案为：； （2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴设， ， ， 又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，旋转了 即： ， ， ， ∴此时对应的旋转时间的值是秒； （3）解：① ∵根据题意有：， ， 在中，， ， ； ②∵的旋转速度要比的旋转速度快， ∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即：， ， ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或5.5或11.5 【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． （1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可； （2）按照（1）的思路即可解答； （3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， ，， ， 设， ， ， ， 平分，平分， ，， 如图，过点作， ，， ， ， ， ; （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则可得，， 设，， 根据上述原理可得，， ，， ， 即； （3）解：如图，当时， 设交于， ， ，， ， 由题意可得， ， ， ，即， ， 如图，当时， 同理可得：， ， 如图，当时， 设的延长线交于， ，， ， ， ， 由，得， ， 综上所述：或5.5或11.5． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2025·山西太原·一模）花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（江苏省无锡市东林集团2024-2025学年下学期八年级数学期中学业质量测试）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，分三种情况，分别画出图形，结合平移的性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数不可能为， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查折叠性质，平行线性质，三角形的内角和定理等知识，分时和时两种情况计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，， 当时，如图，则， ， 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 综上，的度数为或或， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【答案】15 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， ， ． 故答案为：15． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 【答案】或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或． 故答案为或． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，D为线段上的一个动点（点D不与A，C重合），连接在，将沿着进行折叠，C点的对应点为，当与中的一条边垂直时，则 ． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，利用分类讨论的思想分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：当时，如下图： ， ， ； 当时，如下图： ， ， ； 当时，如下图： ， ， ， ， 故答案为：或或． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质和角的和差关系可求出的度数，进而可求出的度数，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【知识点】根据旋转的性质求解、求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解； （2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：沿着方向平移得到， ，，，， ，， ， ， ， ， ． （2）平移， ， ， 　， ， ，， ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】多边形内角和问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，将的周长转变为的长． （2）由的度数得出的度数之和，再根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：点与点关于对称，点与点关于对称， ，，，， ． （2）解：， ． 又，， ， ． 17．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 【答案】（）作图见解析；（）；（）；（）或． 【知识点】角平分线的有关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作平分，直线即为所求； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （）在内部，当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：（）如图中，直线即为所求； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）在内部，如图， ∵，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在外部， ∵， ∴射线在射线的上面，如图， ∵，关于的边对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， 当时，，当时， ①当时，如图，设直线分别交于点，过点作 ∵ ∴ ∴ 又∵，则 ∵ ∴ ∴ 解得： ②当时，如图， ∵， ∴ 当时，， ∴ 解得： ③当时，如图， 当时，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或或 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$