7.1.1 条件概率同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.1.1 条件概率 【附录】相关考点 考点一 条件概率 一般地，设，为两个随机事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称：条件概率；记为； 考点二 条件概率公式 事实上，这等于是在一个样本空间为的随机试验中，求事件发生的概率，即； 将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件发生的条件下，事件发生的概率是：；读作：发生的条件下发生的概率 考点三 概率的乘法公式 如果已知相应的条件概率，那么就可以计算两事件同时发生的概率：事件、同时发生的概率等于发生的概率与在发生的条件下发生的概率的乘积， 即这个公式称为概率的乘法公式； 说明： 1、公式适用于古典概率模型，公式适用于所有的情况； 2、A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)·P(B)，则P(B|A)＝P(B)； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、已知盒子里有10个球(除颜色外其他属性都相同)，其中4个红球，6个白球．甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 2、某地区气象台统计，该地下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮风，那么P(A|B)＝（ ） A．　　　　B． C．　　　　D． 3、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于（ ） A． B． C． D． 4、近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为（ ） A．0.324 B．0.39 C．0.4 D．0.54 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(A∩B)的值是 6、已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A|B)等于 7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于 （用分数表示） 8、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求： （1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率． 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则P(A|B)＝（ ） A． B． C． D． 10、一个盒子中有4个白球，m个红球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，已知第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为，则m＝________. 11、在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 12、从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，7； （1）求第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率； （2）记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率． ①证明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)； ②求P(A3)； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.1.1 条件概率 【附录】相关考点 考点一 条件概率 一般地，设，为两个随机事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称：条件概率；记为； 考点二 条件概率公式 事实上，这等于是在一个样本空间为的随机试验中，求事件发生的概率，即； 将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件发生的条件下，事件发生的概率是：；读作：发生的条件下发生的概率 考点三 概率的乘法公式 如果已知相应的条件概率，那么就可以计算两事件同时发生的概率：事件、同时发生的概率等于发生的概率与在发生的条件下发生的概率的乘积， 即这个公式称为概率的乘法公式； 说明： 1、公式适用于古典概率模型，公式适用于所有的情况； 2、A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)·P(B)，则P(B|A)＝P(B)； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、已知盒子里有10个球(除颜色外其他属性都相同)，其中4个红球，6个白球．甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有4×9＝36种摸法， 其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有4×3＝12种摸法， 所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为＝； 【说明】计算条件概率的两种方法 （1）在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝. （2）在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)． 2、某地区气象台统计，该地下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮风，那么P(A|B)＝（ ） A．　　　　B． C．　　　　D． 【答案】B； 【解析】由题意，可知P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，利用条件概率的计算公式， 可得P(A|B)＝＝＝. 3、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝＝＝； 4、近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为（ ） A．0.324 B．0.39 C．0.4 D．0.54 【答案】C； 【解析】设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”， 则P(A)＝90%＝0.9，P(A∩B)＝36%＝0.36， 所以若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电， 则他的车能够达到充放电1 000次的概率为P(B|A)＝＝＝0.4. 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(A∩B)的值是 【答案】 6、已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A|B)等于 【答案】 【解析】由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝所以P(B|A)＝＝＝；. 7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于 （用分数表示） 【答案】； 【解析】由题意得P(A)＝， 事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”， 若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况； 若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况， 故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点， 则P(A∩B)＝＝， 由条件概率的定义，得P(B|A)＝＝; 8、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求： （1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率． 【解析】记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B. （1）P(A)＝. （2）P(B)＝＝. （3）方法一：因为P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 方法二：因为n(A)＝3×4＝12，n(A∩B)＝3×2＝6， 所以P(B|A)＝＝＝. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则P(A|B)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为4×4×4×4＝256，事件B的情况数为1×3×3×3＝27， 则事件B发生的概率为P(B)＝， 事件A与事件B的交事件A∩B为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”， 事件A∩B的情况数为1×A＝6，则事件A∩B发生的概率为P(A∩B)＝＝， 即P(A|B)＝＝＝；故选C； 10、一个盒子中有4个白球，m个红球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，已知第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为，则m＝________. 【答案】6； 【解析】由题知，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B， P(A)＝，P(B)＝·＋·＝， P(A∩B)＝·＝，P(A|B)＝＝＝＝， 所以，m＝6或m＝0（舍）； 11、在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 【提示】分别求出第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球和第二个球是黑球的概率．再用互斥事件概率公式得概率，也可用古典概型求概率； 【解析】方法一（定义法）(：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝，P(A∩B)＝＝， P(AC)＝＝. 所以P(B|A)＝＝÷＝， P(C|A)＝＝÷＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 所以所求的条件概率为; 方法二（直接法）：因为n(A)＝1×C＝9，n(A∩B∪A∩C)＝1×C＋1×C＝5， 所以P(B∪C|A)＝.所以所求的条件概率为； 12、从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，7； （1）求第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率； （2）记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率． ①证明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)； ②求P(A3)； 【解析】（1）由条件概率公式可得P(A2|)＝＝＝; 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为l （2）①证明：由条件概率乘法公式P(A3|A1A2)＝， 可得P(A1A2A3)＝P(A1A2)P(A3|A1A2)，由P(A2|A1)＝，可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)， 所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)； ②由①可得P(A3)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3)＋P(A1A3)＋P(A3) ＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)＋P()P(A2|)P(A3|A2)＋P(A1)P(|A1)P(A3|A1) ＋P()·P(|)P(A3|)＝××＋××＋××＋××＝， 所以，P(A3)＝； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$