7.1 条件概率与相关公式（教材解读）-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

【原卷版】 7.1 条件概率与相关公式 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念；由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；*7.2.3 贝叶斯公式； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 条件概率及条件概率公式 在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以，事件变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为 事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为； 一般地，设，为两个随机事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称：条件概率； 事实上，这等于是在一个样本空间为的随机试验中，求事件发生的概率， 即； 将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件发生的条件下，事件发生的概率是：；读作：发生的条件下发生的概率 【说明】1、前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况； 2、A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)·P(B)，则P(B|A)＝P(B)． 例1、判断下列几种概率哪些是条件概率： （1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； （2）掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； （3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率； 例2、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 例3、（1）现有甲、乙、丙、丁4人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则P(A|B)＝（ ） A． B． C． D． （2）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%；已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解读点002 概率的乘法公式 如果已知相应的条件概率，那么就可以计算两事件同时发生的概率：事件、同时发生的概率等于发生的概率与在发生的条件下发生的概率的乘积， 即这个公式称为概率的乘法公式； 例4、某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关；某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 例5、在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回； 求: （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解读点003 全概率公式 1、全概率公式的由来： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算； 2、全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是； （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 3、*贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，， 有，． 贝叶斯公式的推导： 【解析】由条件概率的定义，得P(Ωi|A)＝， 对上式的分子用概率的乘法公式、分母用全概率公式，得P(A∩Ωi)＝P(Ωi)P(A|Ωi)， P(A)＝(Ωk)P(A|Ωk)， P(Ωi|A)＝，i＝1,2，…，n， 结论得证． 例6、某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 例7、某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 例8、数学家贝叶斯发现了如下公式：，其中i＝1，2，…，n， ；根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果： 若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”， 则有，，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，则＝　 （精确到0.001） 【真题体验】 例9、（2023年全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　） A．0.8　 B．0.6 C．0.5　 D．0.4 例10、(2014课标Ⅱ理5，5分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【针对性即时练】 1、盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，则该球是E型玻璃球的概率是 2、在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________． 3、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为8}，则P(B|A)等于 4、已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于 5、篮子里装有3个红球、4个白球和5个黑球，球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ 6、有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 7、下面几种概率是条件概率的是（ ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 8、为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为2023年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出，两人都希望能抛出兔的图案朝上，寓意玉兔呈祥.2人各抛一次，则在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为(　　) A． B． C． D. 9、某校高二(3)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. （1）求选到的是第一组学生的概率； （2）已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率. 10、一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： ①第一次取得白球的概率； ②第一、第二次都取得白球的概率； ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 7.1 条件概率与相关公式 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念；由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；*7.2.3 贝叶斯公式； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 条件概率及条件概率公式 在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以，事件变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为 事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为； 一般地，设，为两个随机事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称：条件概率； 事实上，这等于是在一个样本空间为的随机试验中，求事件发生的概率， 即； 将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件发生的条件下，事件发生的概率是：；读作：发生的条件下发生的概率 【说明】1、前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况； 2、A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)·P(B)，则P(B|A)＝P(B)． 例1、判断下列几种概率哪些是条件概率： （1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； （2）掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； （3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率； 【解析】由条件概率定义可知（1）（3）是；（2）不是； 【说明】判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的； 例2、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 【提示】认真审题，明确完成事件的要求与结果； 【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件，“第2次抽到舞蹈节目”为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件； （1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数； 根据分步乘法计数原理，得， 所以：； （2）因为，所以 ； （3）方法一：　由（1）（2）， 得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率； 方法二：因为，， 所以 ； 【说明】本题题型是：利用定义求条件概率； 1、利用定义计算条件概率的步骤 （1）分别计算概率P(A∩B)和P(A). （2）将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中A∩B表示A，B同时发生； 2、求条件概率的常用方法 （1）定义法：P(B|A)＝； （2）样本点法：P(B|A)＝； （3）缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解； 例3、（1）现有甲、乙、丙、丁4人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则P(A|B)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】　C 【解析】由题意，4人去4个不同的景点，总样本点数为4×4×4×4＝256，事件B包含的样本点数为1×3×3×3＝27，则事件B发生的概率为P(B)＝，事件A与事件B的交事件A∩B为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”，事件A∩B包含的样本点数为1×P＝6， 则事件A∩B发生的概率为P(A∩B)＝＝，即P(A|B)＝＝＝； （2）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%；已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【解析】设事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝0.2; 所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2； 解读点002 概率的乘法公式 如果已知相应的条件概率，那么就可以计算两事件同时发生的概率：事件、同时发生的概率等于发生的概率与在发生的条件下发生的概率的乘积， 即这个公式称为概率的乘法公式； 例4、某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关；某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 【答案】0.4； 【解析】由题意，记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5， 所以 P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4. 即这个选手过关的概率为0.4； 例5、在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回； 求: （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 【提示】如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率；注意：对于（1）可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率； 【解析】解法1：设：“第1次抽到代数题”， ：“第2次抽到几何题”。 （1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件；从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即； 因为； ； （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率。显然，利用条件概率公式，得； 解法2：在缩小的样本空间上求； 已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道； 因此，事件发生的条件下，事件发生的概率为， 又，利用乘法公式可得； 【说明】综上可知，求条件概率有两种方法： 方法一：基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求； 方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为，求就是以为样本空间计算AB的概率。 解读点003 全概率公式 1、全概率公式的由来： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算； 2、全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是； （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 3、*贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，， 有，． 贝叶斯公式的推导： 【解析】由条件概率的定义，得P(Ωi|A)＝， 对上式的分子用概率的乘法公式、分母用全概率公式，得P(A∩Ωi)＝P(Ωi)P(A|Ωi)， P(A)＝(Ωk)P(A|Ωk)， P(Ωi|A)＝，i＝1,2，…，n， 结论得证． 例6、某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 【答案】B 【解析】设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%； 设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)·P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175. 【说明】本题属于全概率公式的应用；利用全概率公式的思路： （1）按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)． （2）求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)． （3）代入全概率公式计算． 例7、某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 【解析】如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 【说明】两个事件的全概率问题求解策略： （1）拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)； 例8、数学家贝叶斯发现了如下公式：，其中i＝1，2，…，n， ；根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果： 若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”， 则有，，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，则＝　 （精确到0.001） 【答案】0.087 【解析】因为，所以 ， 又因为 ，所以 ； 由贝叶斯公式可得 【真题体验】 例9、（2023年全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　） A．0.8　 B．0.6 C．0.5　 D．0.4 【提示】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解； 【答案】A； 【解析】（1）方法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为，故选A； 方法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（A∩B）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4， 所以 ，故选A； 【说明】求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求和，得； （2）借助古典概型概率公式，先求事件包含的样本点个数，再在事件发生的条件下求事件包含的样本点个数，即，得； 例10、(2014课标Ⅱ理5，5分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【答案】A 【解析】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”， 由题意可知，所以，故选A. 【针对性即时练】 1、盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，则该球是E型玻璃球的概率是 【答案】； 【解析】设事件A＝“取得蓝球”，B＝“取得蓝色E型玻璃球”； 由题设，P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以 P(B|A)＝＝＝； 2、在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________． 【答案】； 【解析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题， 则P(A)＝，P(A∩B)＝×＝，所以P(B|A)＝＝＝. 3、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为8}，则P(B|A)等于 【答案】 【解析】P(B|A)＝，其中A∩B表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故n(A∩B)＝2，而n(A)＝CC＝9，所以P(B|A)＝＝. 4、已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于 【答案】； 【解析】P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝； 5、篮子里装有3个红球、4个白球和5个黑球，球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ 【答案】； 【解析】方法一：（定义法）因为P(A)＝1－＝， P(A∩B)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. 方法二：（直接法）两个球颜色不同，则可能是一红一白，一红一黑或一白一黑，所以事件A中所包含样本点的个数为3×4＋3×5＋4×5＝47，其中两球一红一白所包含样本点的个数为3×4＝12， 所以P(B|A)＝. 6、有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 【答案】0.8； 【解析】报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8； 7、下面几种概率是条件概率的是（ ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 【答案】B 【解析】由条件概率的定义知B为条件概率； 8、为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为2023年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出，两人都希望能抛出兔的图案朝上，寓意玉兔呈祥.2人各抛一次，则在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为(　　) A． B． C． D. 【答案】A 【解析】设第一人抛出兔的图案的事件为A事件，第二人抛出兔的图案的事件为B事件， 则P(A)＝＝， P(A∩B)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝， 即在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为. 9、某校高二(3)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. （1）求选到的是第一组学生的概率； （2）已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率. 【解析】设A＝“选到第一组学生”，B＝“选到共青团员”. （1）由题意，P(A)＝＝. （2）方法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B). 不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择. 因此，P(A|B)＝. 方法二：P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝， 所以，P(A|B)＝＝. 10、一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： ①第一次取得白球的概率； ②第一、第二次都取得白球的概率； ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 【解析】设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”， 由题意，得： ①P(A)＝＝. ②P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×＝. ③P(∩B)＝P()P(B|)＝×＝. 【说明】应用乘法公式求概率的关注点 （1）功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． （2）推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(A∩B∩C)＝P(C|AB)P(A∩B)＝P(C|A∩B) P(B|A)P(A)． 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$