7.1.1 条件概率（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

7.1.1条件概率 第七章 概率初步（续） 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 结合古典概型，了解条件概率及概率的乘法公式，掌握条件概率的求法 能够利用条件概率公式解决实际问题 3 通过学习及应用条件概率，提升数学抽象及逻辑推理素养 1 章前导读 1 章前导读 春节期间，妈妈带着小明去一个朋友家做客， 闲谈时正巧碰到她的女儿回家，这时女人介绍说： “这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢”， 在回家的路上妈妈告诉小明：“这家有两个孩子， 只知道有一个是女孩，另一个不太清楚．” 于是小明在想，另一个孩子也是女孩的可能性有 多大呢？是50%的概率吗？你能帮助小明分析一 下吗？ 2 新知探究 问题1 上述情景中的概率问题是属于哪种类型的概率？小明猜想的概率是否正确？ 小明猜想的概率不正确，这是一个条件概率问题，学习完本节课后我们就能准确地求解此概率类型． 3 举例分析 例1 某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示，在班级随机选择一人做代表： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 （1）选到男 生的概率是多大？ 分析：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.B表示事件“选到男生”，由上表可知，n(Ω)=45，n(B)=25，根据古典概型知识可知，选到男生的概率为：  3 举例分析 例1 某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示，在班级随机选择一人做代表： （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 分析：用A表示事件“选到团员”，在选到团员的条件下，选到男生的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件A∩B，包含的样本点数n(A∩B)=16，根据古典概型知识可知， 3 举例分析 例2 我们来看看导读中的问题 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么： 分析：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”， B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则A={bg,gb,gg}，B={gg} 3 举例分析 例2 我们来看看导读中的问题 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么： （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为： 3 举例分析 例2 我们来看看导读中的问题 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么： （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ （2）”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件B就是积事件A∩B.根据古典概型知识可知： 3 举例分析 问题2 在事件A发生之后再来考虑事件B，样本空间A中的基本 事件还是等可能的么？如果是，事件B发生的概率又是多少呢？如 果不是，为什么？ 4 新知讲授 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 4 新知讲授 条件概率的定义 概率乘法公式  P(A∩B)=P(A)P(B|A) 4 新知讲授 5 举例应用 例1 例3 把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________． 5 举例应用 例1 例4 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； 解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. 5 举例应用 例1 例4 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； 5 举例应用 例1 例4 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． (3)法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率 5 举例应用 例1 例5 　集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 6 巩固练习 6 巩固练习 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 6 巩固练习 6 巩固练习 4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________． 6 巩固练习 5．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是__________． 解析　设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4， 而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故A∩B＝B， 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 6 巩固练习 解析　法一　设男生甲被选中为事件A，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件B， 6 巩固练习 解析　设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作， 因为并联元件A1，A2能正常工作的概率为 课堂小结 条件概率 概率乘法公式 P(A)P(B|A) 7 补充强化练 1.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 7 补充强化练 P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D) 7 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 解析　由题意知P(A)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(1,4)， ∴P(B|A)＝＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2). (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝Peq \o\al(2,6)＝30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝Peq \o\al(1,4)Peq \o\al(1,5)＝20， 所以P(A)＝eq \f(n（A）,n（Ω）)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3). (2)因为n(A∩B)＝Peq \o\al(2,4)＝12， 所以P(A∩B)＝eq \f(n（AB）,n（Ω）)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5). P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5). 法二　因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5). 解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). 1．已知P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(3,8)，则P(A)等于(　　) A.eq \f(3,16) B.eq \f(13,16) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,6) 解析　因为P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)， 所以P(A)＝eq \f(P（AB）,P（B|A）)＝eq \f(\f(3,8),\f(1,2))＝eq \f(3,4). 3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　) A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2) 解析　P(A)＝2,3)eq \f(C＋Ceq \o\al(2,2),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(2,5)，P(AB)＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10)， P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(1,4). 解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}， {女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝eq \f(2,3). 于是P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(P（B）,P（A）)＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5， 6.从包含男生甲、乙，女生丙的5名男生和2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) A. B. C. D. 则P(B|A)＝＝＝＝. 法二　在男生甲被选中的情况下，基本事件总数为C＝15，其中男生乙和女生丙都没有被选中的基本事件数为C＝6，所以所求概率为1－＝. 7.如图，用K，A1，A2三种不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是，，，则在系统正常工作的前提下，只有K 和A1正常工作的概率是________. 1－×＝，所以P(A)＝×＝， 又P(AB)＝P(B)＝××＝，所以P(B|A)＝＝. 设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称_____________为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. ①利用古典概型：P(B|A)＝________； ②概率的乘法公式：P(A∩B)＝__________. P(B|A)＝ ＝6,10)eq \f(C,Ceq \o\al(6,20)) ＋5,10)eq \f(CCeq \o\al(1,10),Ceq \o\al(6,20)) ＋4,10)eq \f(CCeq \o\al(2,10),Ceq \o\al(6,20)) ＝6,20)eq \f(12 180,C) ， ＝eq \f(P（A）,P（D）)＋eq \f(P（B）,P（D）)＝6,10)eq \f(\f(C,Ceq \o\al(6,20)),\f(12 180,Ceq \o\al(6,20))) ＋5,10)eq \f(\f(CCeq \o\al(1,10),Ceq \o\al(6,20)),\f(12 180,Ceq \o\al(6,20))) ＝eq \f(13,58). 故所求概率为eq \f(13,58). 2.(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. (1)证明：R＝·； 证明　R＝＝， 由题意知，只需证明＝即可， 上式左边＝＝， 右边＝＝. 左边＝右边，故R＝·. (2)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值. 解　由调查数据可知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝， 且P(|B)＝1－P(A|B)＝，P(|)＝1－P(A|)＝， 所以R＝×＝6. $