专题10 解答题重点题型专练（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 解答题重点题型专练 题型概览 题型01与三角形、四边形有关的探究与证明 题型02与圆有关的探究与证明 题型03与抛物线有关的探究题 与三角形、四边形有关的探究与证明题型01 1．(2025·佳木斯五中·一模)在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)在和中，，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 3．(2025·哈尔滨巴彦·一模)已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D． （1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形． 4．(2025·哈尔滨道里·一模)四边形是平行四边形，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与互补的角． 5．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1点E是正方形内部一点，连接，作于点F， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中正切值为的所有角． 6．(2025·哈尔滨平房·一模)（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 7．(2025·七台河茄子河·一模)在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）； 若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明． 8．(2025·齐齐哈尔·一模)综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片，，，点，分别在边，上，将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： (1)猜想是__________三角形，请证明你的猜想； (2)当时，求线段的长度； (3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段上，与交于点，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点为线段上一动点，过点作于点，连接，则的最小值是__________． (4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则面积的取值范围是__________． 9．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 10．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，猜想：和的位置关系 ；数量关系： ，并给出证明过程． (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，则线段＝ ； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为 ． 与圆有关的探究与证明题型02 1．(2025·大庆·一模)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，且，弦交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 2．(2025·大庆景园中学·一模)如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 5．(2025·哈尔滨阿城·一模)已知：四边形内接于，连接、交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为外一点，连接、，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 6．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，内接于，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，点在弧AB上，连接相交于点F，连接，若，求证：是的角分线； (3)如图3，在（2）的条件下．连接与相交于点G，过点B作交延长线于点H，AB与CE相交于点M，若，求的长． 7．(2025·哈尔滨道里·一模)的弦，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，连接交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 8．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1，内接于，连接，的度数为度 (1)的度数为______度； (2)如图2若，，求证：四边形为菱形； (3)如图3在（2）的条件下，作直径，连接，在上取点G，连接并延长交于点F，在上取点E，连接，平分，，，求弦的长． 9．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)是的内接三角形，连接，过点作于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2．若平分，求证：； (3)如图3．在（2）的条件下，时，连接，交弦于点，交弦于点在线段上，连接，若，求线段的长． 10．(2025·哈尔滨南岗·一模)已知：是⊙的弦，点A是上的一点：，连接并延长交于点D． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作直径，过点A作，垂足为点F，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G在上，连接，，其中，且，若，求线段的长． 11．(2025·哈尔滨平房·一模)已知：为的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为弧上一点，连接交于点G，过点E做于点F，延长分别交于点H，交于点K，连接分别交于点M、Q，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点R，连接并延长交于点N，若，，求的长． 12．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图1，在中，是弧的中点，作直径交于点． (1)求证：； (2)如图2，过点作的切线，点是弧上一点，连接、，点在切线上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交于点，连接交于点，连接，若，，，求弦的长． 13．(2025·哈尔滨双城·一模)内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若． (1)如图1，求证： (2)如图2，连接，若，求证：． (3)在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长． 14．(2025·哈尔滨松北·一模)已知，的半径与弦交于点．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 15．(2025·哈尔滨五常·一模)四边形内接于圆，，于点，是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求圆半径的长． 16．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，为直径，为的弦，连接，点为上一点，连接，，交直径于点，若． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于，延长交于点，过点作交于，交于，若，，求的长． 17．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，点O是线段AC上的一点，以AO为半径作圆O交线段AC于点G，设AO=m． （1）直接写出AE的长：AE= ； （2）取BC中点P，连接PE，当圆O与△BPE一边所在的直线相切时，求出m的长； （3）设圆O交BE于点F，连接AF并延长交BC于点H． ①连接GH，当BF=BH时，求△BFH的面积； ②连接DG，当tan∠HFB=3时，直接写出DG的长，DG= ． 与抛物线有关的探究题题型03 1．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______． 2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 3．(2025·七台河茄子河·一模)如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，对称轴是直线 (1)试确定抛物线解析式． (2)连接，将绕着点C逆时针方向旋转到点A和x轴上的点D重合，点O恰好落在点E位置，试判断点E是否在抛物线上． 4．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？ (3)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？ (4)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标． 5．(2025·大庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点． ①直接写出面积的最大值及此时点的坐标； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围． 6．(2025·大庆景园中学·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 7．(2025·大庆三十六中·一模)已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1                  图2 (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； (3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 9．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与直线交于点C，点A坐标，点C坐标． (1)求a，c的值； (2)如图1，点D在的延长线上，过D作轴交直线于点E，交抛物线于点F，设点D的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接、、、，点H在上，连接， ，，点P在上，连接，，求直线的解析式． 11．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． (1)求，的值； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析式为（为常数），求点的坐标． 12．(2025·哈尔滨道里·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 13．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，， (1)______； (2)在第二象限的抛物线上取点，连接交于，连接，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，与交于点，在第二象限取点，（点不在抛物线上），再做于，连接，当，时，，求点的坐标． 14．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点在轴上，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，若面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当，时，连接，点是第二象限内的一点，连接的角平分线交抛物线于点，交轴于点，连接，若 ，求点的坐标． 15．(2025·哈尔滨南岗·一模)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限抛物线上一点，连接，设点D的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作分别交线段，抛物线于点E，F，点G在上，连接，且．在上截取，连接，且．点M在上，连接，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接交于点P，若，求点N的坐标． 16．(2025·哈尔滨平房·一模)在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标． 17．(2025·哈尔滨十七中·一模)抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)如图1，求抛物线解析式． (2)如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，的面积为，点是第一象限内一点，连接、，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，若，时，求点的坐标． 18．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于B、C两点，点B坐标、点C坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限抛物线上一个动点，设点P的横坐标为t，连接交y轴于点D，设线段的长为d，求d与t的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作于点E，点F是线段上一点，连接交x轴于点H，若点P在的垂直平分线上，，求点F的坐标． 19．(2025·哈尔滨松北·一模)已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点（左右），与轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第二象限点右侧抛物线上，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，连接并延长与交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在上，连接，，连接，点在上，连接，若平分，求点的坐标． 20．(2025·哈尔滨五常·一模)二次函数交轴A，B两点，与轴交于点，． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，是抛物线上第一象限的点，连接交轴于，点横坐标为，的长度为，请用的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当点纵坐标大于4时，轴于，为第四象限抛物线上一点，满足，连接，射线绕顺时针旋转与过点平行于轴的直线交于，连接与抛物线交于点，连接，，，求点坐标． 21．(2025·哈尔滨香坊·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴点，交轴的正半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在上，点在第二象限点和点之间的抛物线上，连接，，，交于点，，，点在上，连接交于点，若，，求直线的解析式． 22．(2025·齐齐哈尔·一模)综合与探究 如图1，已知抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点，且．点为直线上方抛物线上的点，连接，交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)如图2，点是点关于轴的对称点，连接，点M，N是上两个动点，且，连接，，记的最小值为m，则m的值是__________；设的面积为S，若，则的取值范围是__________． 23．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．    $$ 专题10 解答题重点题型专练 题型概览 题型01与三角形、四边形有关的探究与证明 题型02与圆有关的探究与证明 题型03与抛物线有关的探究题 与三角形、四边形有关的探究与证明题型01 1．(2025·佳木斯五中·一模)在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)见解析 (2)当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，证明见解析 【解析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点，使，连接并延长到点使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点使，同理证明出，得到，，进而求解即可． 解：（1）证明：如图，在边上截取，连接， 在中，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （2）图②：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点，使，连接并延长到点使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图③所示，在上取点使， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)在和中，，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答的关键． （1）先证明是等边三角形得到，再推出，进而证明得到，即可得出结论； （2）证明得到，，利用等腰直角三角形的性质得到，进而有，利用勾股定理可得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）． 理由如下：∵， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．(2025·哈尔滨巴彦·一模)已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D． （1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形． （2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△ADG，△DGH，△CDH，△ABG． 【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由∠D=90°，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到AB=CD，根据相似三角形的性质得到AG=GH=CH，得到S△ADG=S△DGH=S△CDH，根据全等三角形的性质得到S△ABG=S△CDH，于是得到结论． 证明：（1）∵∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD⊥AD， ∴∠D=90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD， ∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点， ∴AB=CD=2AE，AD=BC=2CF， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH， ∴， ， ∴，S△CDH=2S△CHF， ∴AG=GH=CH， ∴S△ADG=S△DGH=S△CDH， 在△ABG与△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SAS）， ∴S△ABG=S△CDH， ∴S△ADG=S△DGH=S△CDH=S△ABG=2S△CHF， ∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG． 4．(2025·哈尔滨道里·一模)四边形是平行四边形，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与互补的角． 【答案】(1)见解析 (2)，，和 【解析】（1）证明四边形是平行四边形，结合已知即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故互补的角有，，和． 5．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1点E是正方形内部一点，连接，作于点F， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中正切值为的所有角． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）根据四边形是正方形，得出，，结合，证明，即可证出，即可得． （2）根据周角为，，得出，连接，即可得，根据正方形性质和勾股定理得出，，，得出，证明，即可得，，得出，即可得，由（1）知，得出，即可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得，即可得出． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）图中正切值为的角有． 理由如下： ，， ， 连接， ， ∵四边形为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 由（1）知， ， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴正切值的角有． 6．(2025·哈尔滨平房·一模)（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 【答案】（1）垂直（或）；（2）45；（3）见解析． 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，得出，进而利用，即可得出答案； （2）由得出，进而证明即可求得答案； （3）可分别证明以及，然后结合，，可得，进一步即可得证． 解：（1）延长交于点，如图： ， ， 四边形和是正方形， ， ，即； 故答案为：垂直（或）； （2） ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：45； （3）过作，交于点，如图： 由（2）知在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ， ，即． 7．(2025·七台河茄子河·一模)在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）； 若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明． 【答案】图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由见解析；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’，理由见解析． 【解析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC=BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，则△AOC′≌△BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论； 图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，则△AOC′∽△BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论． 解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′， 理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=OC=BO=OD，AC⊥BD， ∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′， ∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC， ∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′， 在△AOC′与△BOD′中，， ∴△AOC′≌△BOD′， ∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′， ∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°， ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°， ∴AC′⊥BD′； 图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’ 理由：如图3，∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∴OB=OA，OD=OC， ∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′， ∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC， ∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′， ∴， ∴△AOC′∽△BOD′， ∴，∠OAC′=∠OBD′， ∴BD′=AC′， ∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°， ∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°， ∴AC′⊥BD′． 8．(2025·齐齐哈尔·一模)综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片，，，点，分别在边，上，将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： (1)猜想是__________三角形，请证明你的猜想； (2)当时，求线段的长度； (3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段上，与交于点，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点为线段上一动点，过点作于点，连接，则的最小值是__________． (4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则面积的取值范围是__________． 【答案】(1)等腰，证明见解析 (2)4 (3)； (4)． 【解析】（1）由四边形是矩形，得到，那么，根据折叠，可知 ，那么，从而得出答案； （2）先求出，根据勾股定理，求得，根据折叠可知，最后利用算得答案； （3）先算得，过点作，过点作，利用勾股定理，求得，再利用面积法求得，不妨设，那么，接着证明，利用对应边成比例求得，接着在中利用勾股定理求得，从而推出和，过点作于，交于，接着证明，利用对应边成比例求得答案； （4）先证明四边形是菱形，那么，由，最小时，最小，最大时，最大，那么时，最短，此时，，最小是；当和重合时，最大，不妨设，那么，有，求得，那么最大为：，最大是． 解：（1）等腰，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）四边形是矩形，，， ，，， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，．点落在线段上，，， ，，，， ， ， ， ， ； （3）；，理由如下： 四边形是矩形，，， ，，，， ， ， ， 过点作，过点作，如图所示： 不妨设，那么， ， ， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故点到边的距离是； 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 过点作于，交于，如图所示： 当点与点重合，点与点重合时，，此时达到最小，最小值为, ， ， ， ， ， ， 则的最小值是； 故答案为：；； （4）将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点， ，，， 四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 最小时，最小，最大时，最大， ， 时，最短， 此时，， 最小是； 当和重合时，最大， 不妨设，那么， ， ， ， 最大为：， 最大是； ． 故答案为：． 9．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)1 (2)①；；②；；③3 (3)点N所经过的路径长为 (4) 【解析】（1）证明，则，问题即解决； （2）读懂每步推理的依据，即可完成； （3）取的中点H，连接，证明，则当点M在点C处时，，且，此时在中即可求得的长，从而求得结果； （4）当E、B不重合时，取的中点M，连接，可证，可得H、G、C三点共线，可得；当点E在C处时，，所以可确定点H所经过的路径，从而求得路径长． 解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴点F所经过的路径长为3． 故答案为：①；；②；；③3； （3）如图（3），取的中点H，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， 由（2）知， ∴， 即， 当点M在点D处时，点N与点H重合， 当点M在点C处时，，且， 在中，， ∴， 所以点N所经过的路径长为； （4）如图①，当点E不与点B重合时，取的中点M，连接， 由四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴H、G、C三点共线， ∵是斜边上的中线， ∴， 当点E在C处时，如图②，， 所以点H所经过的路径长为：以点M为圆心，半径为，圆心角为的弧， 此时弧长为：， 故答案为：． 10．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，猜想：和的位置关系 ；数量关系： ，并给出证明过程． (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，则线段＝ ； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3) 【解析】（ 1）利用，证明，得，． （2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即． 解：（1），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴，． 如图，延长与相交于H， 在中， ∴ ∴ 即． （2）∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，连接、， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可得的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：． 与圆有关的探究与证明题型02 1．(2025·大庆·一模)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，且，弦交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，则可得到，然后根据等边对等角得到．即可得到，证明结论； （2）连接，即可得到，然后根据同角或等角的补角相等得到，再得到，即可证明，根据对应边成比例解题即可； （3）根据，即可得到，然后推导，，根据对应边成比解答即可． 解：（1）证明：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． （3）由（2）知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 2．(2025·大庆景园中学·一模)如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【解析】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是的切线； （2）证明得出，整理得； （3）利用三角函数比得出，利用勾股定理得出，求出，再利用进而可求的长． 解：（1）证明：连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）证明：，， ， ， ； （3）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的长是． 3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）根据垂直定义得到，由等腰三角形性质、角平分线定义，等量代换得到，由平行线的判定确定，从而得到，即可得证； （2）由直径所对的圆周角是直角，由互余定义得到，从而确定，利用相似比求解即可得证； （3）结合勾股定理、相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，最后解直角三角形即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即； （3）∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得． 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【解析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 解：（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 5．(2025·哈尔滨阿城·一模)已知：四边形内接于，连接、交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为外一点，连接、，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论;； （3）作直径交于点M，连接、，得到，推出是直径，得到，证明，得到，， 由平行四边形的性质得到，推出为直径，由，连接，求出，，求出，过F作于K，利用，设 ，则，求出，，，于是得到结论． 解：（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）作直径交于点M，连接、 ∵，，， ∴， ∴， ∴是是直径， ∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过F作于K， ∴， ∵， ∴， 设 ，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，内接于，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，点在弧AB上，连接相交于点F，连接，若，求证：是的角分线； (3)如图3，在（2）的条件下．连接与相交于点G，过点B作交延长线于点H，AB与CE相交于点M，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）利用三角形内角和定理并结合证明，然后利用圆周角定理的推论证明即可； （2）利用圆周角定理得出，结合三角形内角和定理以及，可得出，即可得证； （3）延长相交于点N，证明，得出，再证，可求，，证明，可得，可求出，在中，利用勾股定理即可求出． 证明：（1）∵，， ∴， ∴为的直径； （2）证明：∵， ∴ ∵， 又∵， ∴， 即是的角分线； （3）∵， ∴， ∴， 延长相交于点N， ∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作，垂足为T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴在中，， ∴． 7．(2025·哈尔滨道里·一模)的弦，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，连接交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）利用圆中弧，弦的关系，等腰三角形的判定证明即可； （2）连接，根据为的直径，得到，继而得到，，结合，证明即可； （3）连接交于点，连接正确证得，正确得到设，，正确得出，正确得出的面积为． 解：（1）证明：连接 ， 是与的公共部分， ， ， ． （2）连接， 为的直径 ， ， ， ． （3）连接交于点， 连接， ∵ ，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，且， ∴，， ∴， 解得或， ∴舍去或， ∵， ∴， ∴， ∴舍去， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1，内接于，连接，的度数为度 (1)的度数为______度； (2)如图2若，，求证：四边形为菱形； (3)如图3在（2）的条件下，作直径，连接，在上取点G，连接并延长交于点F，在上取点E，连接，平分，，，求弦的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【解析】（1）在优弧上取点，连接和，利用圆周角定理定理求得的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可； （2）利用（1）的结论求得，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为菱形； （3）延长至N，，连接，作于H，证明，推出，，证明，设，则，，作并交延长线于点，解，求得，得到，再解，求得，证明，求得，据此求解即可． 解：（1）如图，在优弧上取点，连接和， ∵的度数为度， ∴的度数为n度， ∵四边形内接于， ∴度， 故答案为：； （2）证明：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形； （3）延长至N，，连接，作于H， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 作并交延长线于点， ∵， ∴，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 作并于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)是的内接三角形，连接，过点作于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2．若平分，求证：； (3)如图3．在（2）的条件下，时，连接，交弦于点，交弦于点在线段上，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得证； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，，由此即可得证； （3）过点作，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，先利用勾股定理的逆定理可得，从而可得，再证出，从而得出，然后解直角三角形可得，利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，最后解直角三角形可得的长，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． （2）证明：如图2，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． （3）如图3，过点作，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接， 由（2）已证：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴是直径，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴，即， 由圆周角定理得：， ∴是等腰直角三角形，且， 设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得或， 当时，，这与在中，矛盾，舍去， ∴，， ∴在中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则， 在中，， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴， ∴． 10．(2025·哈尔滨南岗·一模)已知：是⊙的弦，点A是上的一点：，连接并延长交于点D． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作直径，过点A作，垂足为点F，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G在上，连接，，其中，且，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）根据弧与弦的关系得到，证明垂直平分即可求证； （2）连接，在上截取，连接，证明，则，根据等腰三角形三角形三线合一得到，那么； （3）连接，过点D分别作，，，垂足分别为M，N，R．由角平分线的性质及判定得到，根据角平分线得到，那么，则．令，则，则在中，由勾股定理得，则，可得，那么，解得．在中，，求出，则． 解：（1）证明：如图1，连接, ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴垂直平分 ∴，； （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接． ∵，，， ∴． ∴， 又∵， ∴ ∴； （3）如图3，连接，过点D分别作，，，垂足分别为M，N，R． ∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵  ∴  ∴ ∴， ∴． ∴，令，则 在中，， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 11．(2025·哈尔滨平房·一模)已知：为的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为弧上一点，连接交于点G，过点E做于点F，延长分别交于点H，交于点K，连接分别交于点M、Q，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点R，连接并延长交于点N，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）连接，利用圆周角定理可得，结合等边对等角即可证明； （2）连接，设，求出，，易证，求出，由圆周角定理求出，再证明，，即可证明结论； （3）连接．证明，得到．再证明四边形为平行四边形，得到，进而证明，过点作交于点，易证，解直角三角形求出，，求出，解直角三角形结合勾股定理求出，进而求出，最后解直角三角形即可求解． 解：（1）证明：连接， ， ， ，， ，， 又， ； （2）证明：连接， 设， ，，， 又， ， ， ， ， 是直径， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ． （3）连接． ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 由（2）知， ， ， 又， ， 又， ，， 又， ， 过点作交于点， ，，， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 12．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图1，在中，是弧的中点，作直径交于点． (1)求证：； (2)如图2，过点作的切线，点是弧上一点，连接、，点在切线上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交于点，连接交于点，连接，若，，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）连接，利用圆周角定理即可证明： （2）连接，根据是的切线，结合，可证，再利用圆的内接四边及平行线的性质，结合三角形内角和定理可证，推出，即可得出结论； （3）过点作于点H，设交点为，交点为，连接，先证明，得到，设，解直角三角形求出，，，，再证明，求出，求出，解直角三角形即可求解． 解：（1）证明：连接， ∵是的直径，是弧的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）过点作于点H，设交点为，交点为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴（负值舍去）， ∴ ∵ 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．(2025·哈尔滨双城·一模)内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若． (1)如图1，求证： (2)如图2，连接，若，求证：． (3)在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）连接，，利用圆周角定理解答即可； （2）连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （3）过点作于，利用垂径定理得到，利用平行线的判定定理和平行线分线段成比例定理，利用等式的性质得到；连接，，，过作于点，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到，连接，利用全等三角形的判定与性质求得，；延长交于点，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理求得值，则． 解：（1）证明：连接，，如图， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，，如图， 在和中， ， ， ， ； （3）过点作于，如图， ， ， ，，， ， ， ， ． ， 即． 连接，，，过作于点， 由（1）知：， ， ， 是的垂直平分线． ， ， ． 在和中， ， ， ， 连接， 在和中， ， ∴， ． ， ． ，， 延长交于点， 由（2）知：， ， ． ， 设，则， 在中， ， ， ， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 14．(2025·哈尔滨松北·一模)已知，的半径与弦交于点．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【解析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证； （2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证； （3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可． 解：（1）证明：∵，经过圆心， ∴， ∴； （2）证明：延长交于点，连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，    ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，设，则， 则，， ∴， 解得：（舍负）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 15．(2025·哈尔滨五常·一模)四边形内接于圆，，于点，是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）利用圆内接四边形的性质易证，再结合已知即可得到，进而的到，即可证明； （2）在上取点，使得，设，则，证明是等腰三角形，推出，，，证明，推出，即可证明； （3）延长交于点M，连接，过点A作于点N，连接，由（2）知，易证是等腰三角形，进而证明点在上；再证明是等腰三角形，是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一证明是的中位线，求出，由圆周角定理易证，推出，即，根据圆周角定理证明，求出，利用勾股定理即可解答． 解：（1）证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上取点，使得， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长交于点M，连接，过点A作于点N，连接， 由（2）知， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的外接圆， ∴点在的垂直平分线上， ∵，是等腰三角形且， ∴点在上； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 16．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，为直径，为的弦，连接，点为上一点，连接，，交直径于点，若． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于，延长交于点，过点作交于，交于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】（1）连接，由可得，进而可得，再由可得，因此有，即可证明． （2）设，由，可知，即有，所以，进而可得，，因此可得四边形为平行四边形，即，连接、，证明，进而即可得出结论． （3）连接、、，延长交于点，交于点，连接，，，，由，，可知四边形为平行四边形，因此，再证明四边形为平行四边形，所以，然后证明，得，求得， 再证明，得，设，则，在和中分别勾股得：，求得x的值，结合，，即可求出答案． 解：（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， 连接、， ， ， 又 ， ， ， ． （3）连接、、，延长交于点，交于点，连接， ，，， 由（2）可知四边形为平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在和中分别勾股得：， 整理得：， 解得，， ，， ， ，， ． 17．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，点O是线段AC上的一点，以AO为半径作圆O交线段AC于点G，设AO=m． （1）直接写出AE的长：AE= ； （2）取BC中点P，连接PE，当圆O与△BPE一边所在的直线相切时，求出m的长； （3）设圆O交BE于点F，连接AF并延长交BC于点H． ①连接GH，当BF=BH时，求△BFH的面积； ②连接DG，当tan∠HFB=3时，直接写出DG的长，DG= ． 【答案】（1）AE=；（2），， ；（3）①，②DG= 【解析】（1）证明△ABE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例求出AE的长即可；（2）符合题意的共有圆O与BE相切，圆O与EC相切，圆O与EP相切三种情况，分别算出这三种情况下m的值即可；（3）①如图，过点F作FN⊥AB，先根据证明△AEF∽△ABH，再根据相似比求出EF的长，证明△AEF≌△ANF，得到FN的长，最后根据S△BFH＝S△ABH－S△ABF求解即可；②如图，作一条经过G点与AB垂直的直线GM，与AB交点为M，过点G作QG⊥AD，垂足为Q，先根据tan∠HFB＝得到EF＝AE，求出EF的长，设AO为m，则OE＝－m，OF＝m，在△OEF中，根据勾股定理列含m的等式解出m的值，进而得到AG的长度，再根据，求出AM的长，再在△AMG中，由勾股定理求出GM，最后根据勾股定理求出DG即可. 解：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝ABC＝90°， 又∵∠CAB＝∠EAB，∴△ABE∽△ACB， ∴AB2＝AE∙AC，∴AE＝＝. （2）如图，共三种情况. ①圆O与BE相切， 则AO＝m＝＝， ②圆O与BC相切， 记切点为M点，连接OM，则， ∴， ∴m＝ ， ③圆O与EP相切， 记切点为M，连接OM， ∵∠MEO＝∠CEP＝∠ECP＝∠ABE， 又∠OME＝∠AEB＝90°， ∴△OME∽△AEB， ∴， 即 ∴m＝. （3）①∵BF＝BH，∴∠BFH＝∠BHF， 又∵∠AFE＝∠BFH，∴∠AFE＝∠AHB， 又∠AEF＝∠ABH，∴△AEF∽△ABH， ∴， 设EF的长度为x， ∵AB＝6，BC＝8，所以由勾股定理易知AC＝10， S△ABC＝＝24， ∴BE＝＝4.8， ∴， 即，解得x＝， ∴BF＝BH＝BE－EF＝3， 如图，过点F作FN⊥AB， ∵∠EFA＝∠HFB，∠EFA＋∠EAF＝∠HAB＋∠AHB＝90°，∠HFB＝∠AHB， ∴∠EAF＝∠HAB，又因为∠AEF＝∠ANF，AF＝AF， ∴△AEF≌△ANF，∴FN＝EF＝， ∴S△BHF＝S△ABH－S△ABF＝. ②如图，作一条经过G点与AB垂直的直线GM，与AB交点为M，过点G作QG⊥AD，垂足为Q， ∵∠EFA＝∠HFB，∴， ∴EF＝, 设AO为m，则OE＝－m，OF＝m， 在△OEF中，由勾股定理有OE2＋EF2＝OF2， 即，解得m＝2， ∴AO＝2，AG＝4， ∵GM∥CB，∴，∴AM＝， ∴QG＝AM＝， 在△AMG中，由勾股定理有GM＝， ∴DQ＝8－GM＝， ∴在△DQG中，由勾股定理有，DG＝ . 与抛物线有关的探究题题型03 1．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得． 解：（1）将点，代入 得：， 解得， 则该抛物线的解析式为． （2）抛物线的顶点坐标为， 当时，，即， ∵P为的中点，且， ∴即 ∴， 故答案为：． 2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 解：（1）将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 3．(2025·七台河茄子河·一模)如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，对称轴是直线 (1)试确定抛物线解析式． (2)连接，将绕着点C逆时针方向旋转到点A和x轴上的点D重合，点O恰好落在点E位置，试判断点E是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】利用待定系数法求二次函数解析式即可． 由抛物线的对称性可得，则令，得，可得，则由旋转得，，，，，可得，则过点E作x轴的垂线，交x轴于点N，过点C作，交的延长线于点M，可得，则，即，可得，，则可得点E的坐标为，将点E代入抛物线的解析式，即可判断点E是否在抛物线上． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 解：（1），抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为 （2），抛物线的对称轴是直线， ， 令，得， ， 由旋转得，，，，， 在和中， ， ， 过点E作x轴的垂线，交x轴于点N，过点C作，交的延长线于点M， ，，， ， ， ， ， 即， 解得，， 点E的坐标为 将代入，得， 点E不在抛物线上． 4．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？ (3)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？ (4)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)点的坐标为或或或． 【解析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用，得出的值，进而求得线段的长度，利用勾股定理即可得出结论； （3）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （4）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）如图1， ， ． ． ． 点的坐标为，． 又点的坐标为． 在 中， ，， ； （3）过作轴于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， 当时，的最大面积为； （4）点的坐标为或或或,理由： ， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 5．(2025·大庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点． ①直接写出面积的最大值及此时点的坐标； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为，此时点的坐标为；②点的坐标为或 (3)或 【解析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②当时，在中，，用解直角三角形的方法求出点H的坐标，即可求解；当点在y轴右侧时，同理可解； （3）由题意可分：当点M在线段上时，当点M在点A的左侧时，然后分别画出函数图象，根据旋转的性质及二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）①由题意知，点、、， 设直线的表达式为：， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 连接， ∵，则面积面积， 则直线的表达式为：， 联立直线和直线的表达式得：， 解得：， 则点， 则， 故面积的最大值为，此时，则点； ②由可知：是等腰直角三角形，即， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当时，如图： 当点P在y轴左侧时， 设交x轴于点H，过点H作于点N， 在中，，，， 则设，则， 则，则， 则， 则点， ∴， 设直线的表达式为：， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）， 即点； 当点在y轴右侧时， 同理可得直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点； （3）由题意可分：当点M在线段上时，且与点O重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，此时点与点B重合，符合题意； 当点M不与点O重合时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴当时，线段与抛物线只有一个公共点； 当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： ∴， ∴， 解得：（正根舍去）， 当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： 由旋转可知：，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线只有一个公共点； 综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 6．(2025·大庆景园中学·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)存在这样的点或，使得与相似 【解析】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线的解析式为，运用待定系数法可得解析式，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则线段的中点，根据题意，分类讨论：点在轴下方时，与轴切于点；点在轴上方时；数学结合分析即可求解； （3）分类讨论：如图所示，，得，由此列式求解；如图所示，，过点作轴于点，可证，则，由此列式求解． 解：（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，直线的解析式为，， ∴，， ∴设线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，过点作轴于点， 如图所示，点在轴下方时，与轴切于点， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， 解得，，， 当时，，即点重合，不符合题意，舍去； ∴时，以为直径的圆与轴相切； 如图所示，点在轴上方时， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴时，以为直径的圆与轴相切； 综上所述，的值为或； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，， ∴，， ∵，，，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），（点与点重合，不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 如图所示，，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵，，，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在这样的点或，使得与相似． 7．(2025·大庆三十六中·一模)已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1                  图2 (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； (3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，点，点； (2)的最大值为； (3)直线恒过定点． 【解析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点． 解：（1）对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； （2）过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，，   ∵，   ∴， ∴， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴ ， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②1或或 【解析】（1）当时，，即； （2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 解：（1）当时，，即； （2）①将点A代入 得，， 解得：， ∴解析式为：， 而， ∴对称轴为直线：， 当，且时， ∴y随着x的增大而减小， ∴当，，当时，， 由得，， 解得：或（舍） ∴； ②在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 9．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【解析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 解：（1）令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 10．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与直线交于点C，点A坐标，点C坐标． (1)求a，c的值； (2)如图1，点D在的延长线上，过D作轴交直线于点E，交抛物线于点F，设点D的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接、、、，点H在上，连接， ，，点P在上，连接，，求直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）运用待定系数法将点A、C的坐标代入即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，进而得出点E、F的纵坐标，即可求得答案； （3）过C作轴于点Q，在上截取，连接，可证得，得出，，设，推出，则，推出，利用勾股定理可得，，，过E作交x轴于点K，则，运用勾股定理和相似三角形性质求得点P的坐标，再运用待定系数法即可求得答案． 解：（1）∵抛物线经过，． ∴    解得： ∴，； （2）设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为． ∵点E的横坐标为t， ∴点E纵坐标为 ∵点F的横坐标为t， ∴点F纵坐标为， ∵轴， ∴ ∴ （3）过C作轴于点Q，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵轴交直线于E， ∴， 过E作交x轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为． 11．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． (1)求，的值； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析式为（为常数），求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【解析】（1）由题意得，，再利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可知，过点作于，，则，由此可得，，再根据即可求解； （3）过点作轴于，过点作轴于，设交轴于点，可证，再证，然后证，得，，，则，再求得，设，过点作轴于点，过点作轴交于点，则，列方程解得，由轴，，即，列方程可解得，即可求解． 解：（1）， ，， 代入抛物线解析式得， 解得； （2）由（1）可知， 过点作于，，则， ， ， ， ； （3）过点作轴于，过点作轴于，设交轴于点， ，则， 又∵，， ∴， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ∴，则， ∴ ， ，则 ， 当时，， ， 设， 过点作轴于点，过点作轴交于点， 则，即， 解得， 轴， ， ， ，即， 解得， ，解得， ． 12．(2025·哈尔滨道里·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】本题考查全等三角形判定及性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何结合等． （1）先求出点AB的坐标，再代入关系式可得答案； （2）过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接，再求出，设点的横坐标为，表示出，，然后根据可得答案； （3）作轴，点为垂足，取的中点，连接，继而得到，再过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足，再设，，，连接，过点作轴，点为垂足，再利用解三角形应用即可得到本题答案． 解：（1）点A在轴负半轴，， ， 点在轴正半轴，， ， 抛物线经过，， ， 解方程组得：， 抛物线的解析式为； （2）过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接， 当时，，， ． 点在抛物线上，点的横坐标为， 当时，． 点在第二象限， ，， ∴， ， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）作轴，点为垂足，取的中点，连接， ∵点为中点，，，， ∴， ∴为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴，平分， 过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足， 设，，， 连接，过点作轴，点为垂足， ∴，，， 连接，，， ， ， ∴，解得：， ∴． 13．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，， (1)______； (2)在第二象限的抛物线上取点，连接交于，连接，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，与交于点，在第二象限取点，（点不在抛物线上），再做于，连接，当，时，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据抛物线解析式得出、，由得出，求出后，将点坐标代入抛物线即可得到； （2）由抛物线解析式得，作于点，于点，证得，由相似三角形的性质可得，求出后即可表示出，最后由即可得到与的函数关系式； （3）延长至，使，连接，交于，作于，于，证明，由相似三角形性质求出、、，由“边角边”证明，设，证得，，再由三线合一可得，设，，设，证明，由相似三角形性质得，解得，由求得，即可得、，证得，由相似三角形性质可得、、，得出点坐标，并求出直线的解析式，结合直线解析式和抛物线解析式即可得到点的坐标． 解：（1）依题得：，， ，， ， ， 解得， ， 将点坐标代入抛物线， 得， ． （2）依题得：， 作于点，于点， 则， ， ， ， ， ， ， ． （3）延长至，使，连接，交于，作于，于， 中，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设， 又， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 设，，设， ，， ， ， ， ， 即， 得，（舍）， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 解析式， 点是抛物线与直线的交点， 则， 解得，（舍）， ， ． 14．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点在轴上，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，若面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当，时，连接，点是第二象限内的一点，连接的角平分线交抛物线于点，交轴于点，连接，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）将代入，即可求解； （2）过点作轴于点，根据，即可求解； （3）在轴上取点，连接，使得，过点作交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接，根据（2）先求得的坐标，进而根据已知得出，则为等腰直角三角形，得出为平行四边形，求得的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 解：（1）抛物线经过点 ∴ 解得： （2）如图所示，过点作轴于点， ∵点在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （3）∵，， ∴ 解得：或（舍去） 当时， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 过点作交于点 ∴ 设 ∵ ∴ 解得：或（舍去）， ∴ ∴, ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴ ∵抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点． 当时，， 解得： ∴， 当时，，则 ∴ 如图所示，在轴上取点，连接，使得， ∵ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∵，平分 ∴ 过点作交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为 代入， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴ 15．(2025·哈尔滨南岗·一模)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限抛物线上一点，连接，设点D的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作分别交线段，抛物线于点E，F，点G在上，连接，且．在上截取，连接，且．点M在上，连接，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接交于点P，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线解析式． （2）如图1，过点D作轴，垂足为点R．表示出，得出，，在中，根据即可求解． （3）如图2，延长至K，使得，连接，，，，过点F分别作轴于点L，轴于点Q，过点M作轴交于点T．求出直线的解析式，设直线的解析式为，求出，由，得或，表示出，令，则，，证明，得出，证明，得出，在中，，列方程解得，求出，证明，．得出，令，则，，，，在中，，在中，，列方程求出，即可得出，结合轴，点N在第三象限，即可求出． 解：（1）∵抛物线经过点，， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，过点D作轴，垂足为点R． ∵点D为抛物线上的一点，且点D的横坐标为t， ∴， ∴，． 在中，． （3）如图2，延长至K，使得，连接，，，，过点F分别作轴于点L，轴于点Q，过点M作轴交于点T． 根据 得， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 由，得或， 当时，， ∴， 令，则， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴， 令，则，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∵轴，点N在第三象限， ∴． 16．(2025·哈尔滨平房·一模)在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点的横坐标为． 【解析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，运用待定系数法可求出二次函数解析式； （2）求得直线的解析式为，过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L，设，则，，由可得结论． （3）求得，过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点，设点，根据正切值列方程求解即可． 解：（1）当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点点， 解得． 抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把点，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L， 设，则， ∴， ． （3）当时，，，（舍去）， ∴， 过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点， 设点， ∴，， ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴，，，，， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 过点作，连接，过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， 设，则， ， 过点P作于点U， ∵， ， ，， 延长交于点I，， ， ，，， 点E与点I重合，， 过点G作轴，过点作，， ， 设点， ∵， 解得，（舍） 点的横坐标为． 17．(2025·哈尔滨十七中·一模)抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)如图1，求抛物线解析式． (2)如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，的面积为，点是第一象限内一点，连接、，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，若，时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据题意得出，，，待定系数法求解析式，即可求解． （2）过点作轴交轴于点，根据，即可求解； （3）作交于点，延长交轴于点，延长交的延长线于点， 证明得出， ,根据，设，则，则，作交于点，得出，过点作于点，则得出，进而解，得出，即可求解． 解：（1）∵， ∵，当时， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线解析式为代入， ∴， 解得：， ∴； （2）如图，过点作轴交轴于点， ∵点的横坐标为，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 如图所示，作交于点，延长交轴于点，延长交的延长线于点， 设， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∵，设，则， ∴， 作交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， 在中，设，则，， 又∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 过点作轴于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴． 18．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于B、C两点，点B坐标、点C坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限抛物线上一个动点，设点P的横坐标为t，连接交y轴于点D，设线段的长为d，求d与t的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作于点E，点F是线段上一点，连接交x轴于点H，若点P在的垂直平分线上，，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于G，由P点横坐标为t，且点P在抛物线上，则，从而求得，，，再证明，得，求得，即可求解． （3）连接，过点E作轴于点K，求得；过点P作交延长线于点L，作轴于点M，证明四边形是正方形 ，得，则，所以；过点O作于点N，交于点Q，连接，得出；过点F作轴于点R，设，则，求得，在直角三角中，，则，求解得m的值，即可求解． 解：（1）∵抛物线  过点、点 ∴把，代入 得  解得 ∴抛物线解析式为 （2）如图1，过点P作轴于G， ∵P点横坐标为t，且点P在抛物线上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， 如图2，连接，过点E作轴于点K， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作交延长线于点L，作轴于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴， ∴， 过点O作于点N，交于点Q，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 过点F作轴于点R， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在直角三角中， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 19．(2025·哈尔滨松北·一模)已知，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点（左右），与轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第二象限点右侧抛物线上，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，垂足为，连接并延长与交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在上，连接，，连接，点在上，连接，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）令可得出点坐标，根据得出点坐标，代入求出值即可得答案； （2）过点作轴于，根据解析式得出对称轴为直线，即可得出，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出，进而得出； （3）过点作轴，交于，过点作于，设交轴于，连接，设，则，，，根据得出，利用待定系数法表示出直线的解析式，即可得出，可得，利用可证明，得出，，，根据两点间距离公式可得，，根据，平分可得出，根据得出，得出，即可得出点的横坐标和纵坐标，即可得答案． 解：（1）抛物线 轴交于点， ∴当时，，即， ∴， ∵，点在轴负半轴， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点作轴于， ∵， ∴当时，，，对称轴为直线， ∴， ∵点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）如图，过点作轴，交于，过点作于，设交轴于，连接， ∵点轴于点，点在上， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，， ∴． 20．(2025·哈尔滨五常·一模)二次函数交轴A，B两点，与轴交于点，． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，是抛物线上第一象限的点，连接交轴于，点横坐标为，的长度为，请用的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当点纵坐标大于4时，轴于，为第四象限抛物线上一点，满足，连接，射线绕顺时针旋转与过点平行于轴的直线交于，连接与抛物线交于点，连接，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由可得，，，则可得，又由可求，进而可得抛物线的解析式为． （2）过P点作轴于R点，易得，则，由题知，，，，代入比例式中求解即可． （3）设 与x轴的交点为G，由可得，设，则可得，则可得，设，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，再联立，求得，连接交于F点 则可得，列比例式可求得，进而可得． 解：（1）由图知， 由得， 时，， ∴， ∴； 当时，, , , ∴, , ∴, , ∴． ∵, ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过P点作轴于H点， 则， ∴， ∵是抛物线上第一象限的点，点横坐标为，的长度为，, ∴，，， ， ∴， 解得； （3）如图，设 与x轴的交点为G， ， ， 设， ， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 得， 解得，， ，， ， 连接交于F点， ，， 轴， 轴， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得， ，， ． 21．(2025·哈尔滨香坊·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴点，交轴的正半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在上，点在第二象限点和点之间的抛物线上，连接，，，交于点，，，点在上，连接交于点，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据，求出，得出，将它代入抛物线解析式中，求出，即可得抛物线解析式为：． （2）根据中，求出，得出的面积，过点作轴于点轴于点，证明四边形为矩形，得出，表示出的面积，的面积，根据的面积为，得出的面积的面积的面积，即可求解． （3）过点作轴，过作于点．过点作轴交轴于点，交 于点，证明，得出，根据，得出，设，表示出，，设，根据，得出，根据平行线截线段成比例得出，即可得，，根据，得出，，求出解析式和解析式，设，则，代入直线，得出，表示出， ，将它代入抛物线解析式中求出，得出，过作于，过作于，得出，设，得出，即可得，求出，，，求出，，过点作交延长线于点，过点作于，证明，得出，待定系数法求出解析式即可． 解：（1）中，令，则， ， ∴， ， ， ， 将它代入抛物线解析式中，得， 解得：， 抛物线解析式为： （2）中，令，则， 解得：， ∴， ∴， 的面积， 过点作轴于点轴于点，连接， ， ∴四边形为矩形， ∵点的横坐标为， ， ∴， 的面积， 的面积， ∵的面积为， 的面积的面积的面积， 即． （3）过点作轴，过作于点．过点作轴交轴于点，交 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ∴， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设解析式为， ， 解得：， ∴解析式为， 设解析式为， ， 解得：， ∴解析式为， 设，则， 代入直线，则， 解得：， ， ∴， 将它代入抛物线解析式中，得， 解得（舍），， ， 过作于，过作于， ， ， 设， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 过点作交延长线于点，过点作于， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， 设解析式为， ， 解得：， ∴解析式为． 22．(2025·齐齐哈尔·一模)综合与探究 如图1，已知抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点，且．点为直线上方抛物线上的点，连接，交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)如图2，点是点关于轴的对称点，连接，点M，N是上两个动点，且，连接，，记的最小值为m，则m的值是__________；设的面积为S，若，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【解析】（1）令，则，得到，根据，得到，把点 ，代入抛物线，求解即可； （2）过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E，易得，得到，求得，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，解方程组即可得到点P的坐标； （3）作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，，得到四边形是平行四边形，从而，即的值为的长．根据勾股定理求得，连接，交于点H，根据轴对称的性质与的面积求出，，进而在中，根据勾股定理即可求出的长．采用待定系数法求出直线解析式为，设点，过点P作轴于点G，交于点Q，则，，由 ，得到，代入即可求解． 解：（1）对于抛物线，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． （2）过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴． （3）作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，， ∵点O与点关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，即的值为的长． ∵点是点关于x轴的对称点， ∴， ∴在中，， 连接，交于点H， ∵点O与点关于对称， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵，，     ∴， ∴在中，， ∴m的值是． 设过点，的直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 设点， 过点P作轴于点G，交于点Q， 则， ∴， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：， 23．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【解析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 解：（1）把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 24．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．    【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）． 解：分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标； ②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2）， AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标． 详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得 ，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5； （2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=AB=×4=2， ∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2，PQ⊥BC， 作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，    ∴PD=PQ=×2=4， 设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时， PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时， PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=， 综上所述，P点的横坐标为4或或； ②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，    ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2）， 易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣， ∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣ 解方程组得，则M1（，﹣）； 作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5）， ∵3= ∴x=， ∴M2（，﹣）. 综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$