专题09 选填题重点题型专练（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题09 选填题重点题型专练
题型概览
题型01多解问题
题型02多结论判断题
题型03最值问题
题型04找规律问题
多解问题题型01
1．(2025·哈尔滨南岗·一模)矩形的对角线、交于点，平分交矩形的一条边于点，已知，则的度数为 ．
2．(2025·哈尔滨平房·一模)已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则 ．
3．(2025·哈尔滨双城·一模)菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为 ．
4．(2025·大庆景园中学·一模)已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
5．(2025·哈尔滨松北·一模)在中，，，，则的长为 ．
6．(2025·哈尔滨香坊·一模)平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ．
8．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)在矩形中，，，点E在直线上，且，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 ．
9．(2025·哈尔滨阿城·一模)在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ．
10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)在中，为边上的高，，，则是_______度．
11．(2025·哈尔滨十七中·一模)已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ．
12．(2025·佳木斯五中·一模)在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 .
13．(2025·大庆·一模)已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为 ．
14．(2025·哈尔滨道里·一模)在中，，的面积为9，则的度数为 度．
15．(2025·七台河茄子河·一模)已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 ．
16．(2025·哈尔滨巴彦·一模)已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP= ．
17．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
18．(2025·哈尔滨道外·一模)如图有一个矩形纸片中，，，将此矩形纸片沿对角线剪开后再把两个直角三角形拼成一个等腰三角形，则此等腰三角形的内切圆半径为 ．
19．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知等腰三角形的底边长为8，一个内角的正切值为，此三角形的面积为 ．
多结论判断题题型02
1．(2025·大庆景园中学·一模)下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(2025·大庆三校摸底考试·一模)下列命题中，真命题的有（ ）个．
①相等的圆心角所对的弧相等；②反比例函数，y随着x的增大而增大；③无限小数就是无理数；④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)下列六个命题中，真命题有（ ）
①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①是直角三角形；②点C，E，G共线；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的序号为 ．
6．(2025·哈尔滨平房·一模)已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是 ．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③④
8．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点， 交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，给出下列四个结论：①；③若的面积为1，则四边形的面积为5；④若，则，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
11．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图，点为正方形的边的中点，连接，，交对角线于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有 个．
12．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接.下列四个结论：
①；②；③若是中点，，则；④ ；⑤若，则.其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
13．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；② ；③ ；④当时，；⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤
14．(2025·大庆·一模)如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交的延长线于点，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，在中，，在或的延长线上取点，连接，再作，其中，，取中点，连接，则下列结论正确的是
， ， ，连接，则的最小值为．
16．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是 ．（填序号）
17．(2025·七台河茄子河·一模)如图，边长为a的菱形中，，对角线、交于点O，点E为边中点，连结、分别和、交于点M、N，点P是直线上一动点．下列结论：
①；
②；
③；
④的最大值是；
⑤的最小值是
其中正确结论有（ ）
A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
18．(2025·大庆三十六中·一模)已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
19．(2025·哈尔滨道里·一模)如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是 ．
20．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，已知正方形是对角线上一点，于点，于点，连接．给出下列结论：
①；
②；
③四边形的周长为；
④与的面积相等．其中正确结论的序号为 ．
21．(2025·大庆三校摸底考试·一模)点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有 ．（填正确的序号）．
23．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在矩形中，O是的中点，M是的中点，点P在上（不与点A重合），且，连接并延长，交于点N．下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确结论的序号为 ．
24．(2025·大庆肇州五校联考·一模)已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有 （填序号）．
25．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，在矩形中，平分交于点H，点G在上，连接交于点E，，点F是的中点，连接交于点M，有如下结论：①；②；③；④若，，则，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
26．(2025·哈尔滨香坊·一模)在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（ ）
主题
矩形纸片折叠后相关结论探究
方案
如图，沿折痕折叠纸片，使点恰好落在边上的点，点的对应点为点．
结论
（）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则
A．个 B．个 C．个 D．个
27．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④m为任何实数时，都有：．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
最值问题题型03
1．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为 ．
2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于 .
3．(2025·大庆景园中学·一模)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A．-1 B．7-4 C． D．1
4．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在中，，，，点D是的中点，点P是上的一个动点（点P不与点A，C重合），经过点D，P作直线，过点A，B分别作，，垂足分别为点E，F，则的最大值为 ．
5．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
6．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，等边的边长为8，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是 ．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 ．
8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰 ，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
9．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，且OP＝2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ．
10．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
11．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在等边中，，为中线上一动点，连接，将绕逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值 ．
12．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在中，，点D，E分别在边上，且，连接，相交于点O，过点O作于点H，最大值为 ．
找规律问题题型04
1．(2025·哈尔滨道外·一模)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
2．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有（ ）个★．
A．45 B．48 C．49 D．51
3．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
4．(2025·哈尔滨十七中·一模)按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．(2025·哈尔滨双城·一模)下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，……则第5个图形中棋子的颗数为（ ）
A．31 B．51 C．61 D．76
6．(2025·哈尔滨松北·一模)将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（ ）
A．7 B．8 C． D．4
7．(2025·哈尔滨五常·一模)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第100个图形共有（ ）个★．
A．300 B．301 C．302 D．303
8．(2025·哈尔滨香坊·一模)美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
9．(2025·大庆·一模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
10．(2025·大庆景园中学·一模)观察图中点的个数．若按此规律画下去，且第个图形中所有点的个数为 ．
11．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为 ．
12．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是 个．
13．(2025·哈尔滨巴彦·一模)按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒 ．
14．(2025·哈尔滨道里·一模)一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有 个五角星．
15．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为 ．
16．(2025·佳木斯五中·一模)在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．
17．(2025·七台河茄子河·一模)如图，直线分别与x轴和y轴交于A、B两点，过点B作，垂足为B，得到第一个；过点作轴交直线于，得到第二个；过点作，得到第三个……；依此规律，则第2020个三角形的面积是 ．
18．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
19．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，10，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为 ．
20．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
21．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，直线，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为 ．
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专题09 选填题重点题型专练
题型概览
题型01多解问题
题型02多结论判断题
题型03最值问题
题型04找规律问题
多解问题题型01
1．(2025·哈尔滨南岗·一模)矩形的对角线、交于点，平分交矩形的一条边于点，已知，则的度数为 ．
【答案】或
【解析】分点E在边上和点E在上两种情况讨论即可.
解：当点E在边上时，如图：
四边形是矩形，
平分，
，
是等边三角形，，
，
；
当点E在上时，如图：
四边形是矩形，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
综上，的度数为或.
故答案为：或
2．(2025·哈尔滨平房·一模)已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则 ．
【答案】3或27
【解析】本题考查矩形的性质，勾股定理，分两种情况：点在点右侧，点在点左侧，利用矩形的性质及勾股定理即可求解．
解：在矩形中，，，，，
当点在点右侧时，，则；
当点在点左侧时，，则；
综上，的长为3或27，
故答案为：3或27．
3．(2025·哈尔滨双城·一模)菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为 ．
【答案】或
【解析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，由BD为对角线，可证BD平分∠ADC，可得∠ADN=∠ADC=30°，可证AM⊥AD，由三角函数可求ND=或即可．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，
∵BD为对角线，
∴BD平分∠ADC，
∴∠ADN=∠CDB=∠ADC=30°，
当AM⊥BC时
∵AD∥BC，
∴AM⊥AD，
在Rt△AND中，AD=6，∠ADN=30°，
∴AD=ND×cos30°，
∴ND=．
当AM⊥AD时，连结AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形
∵AM⊥DC，
∴DM=CM=3
在Rt△MND中，MD=3，∠MDN=30°，
∴MD=ND×cos30°，
∴ND=．
故答案为：或．
4．(2025·大庆景园中学·一模)已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
【答案】1或
【解析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
解：当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
5．(2025·哈尔滨松北·一模)在中，，，，则的长为 ．
【答案】5或7
【解析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，此题分两种情况：如图1，过A作于D，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理得到，求得，，在中，，于是得到结果；如图2，过A作交的延长线于D，同理可得结果．
解：如图1，过A作于D，
在中，∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
如图2，过A作交的延长线于D，
在中，∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
故答案为：5或7．
6．(2025·哈尔滨香坊·一模)平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ．
【答案】或
【解析】本题考查了一次函数的性质，两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出点，则，又，则求出或，然后分别代入求出的值即可．
解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，
∴点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点在轴上，点，
∴或，
∵点在直线图象上，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ．
【答案】或
【解析】如图，由，都为等腰直角三角形，证明四边形是正方形，连接，交于，连接，过作于，过作于，证明在以为圆心，为半径的圆上；四边形为正方形，证明，可得，求解，再进一步，，可得，从而可得答案；
解：如图，∵，都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴四边形是正方形，
连接，交于，连接，过作于，过作于，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴在以为圆心，为半径的圆上；
∴，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
综上：的长为或；
故答案为：或.
8．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)在矩形中，，，点E在直线上，且，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 ．
【答案】或
【解析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
分两种情况讨论：如图：过点作于点M，证得，即可求出的值；如图：如图，过点E作的延长线于点H，证得，求出的值即可．
解：如图，过点作于点M，
∵,
∴,,
∵，
∴，
∴,
∴,解得：；
如图，过点E作于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴,
∴,即，解得：；
综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是或．
故答案为：或．
9．(2025·哈尔滨阿城·一模)在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ．
【答案】或
【解析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
分两种情况：当点在直线的下方时，当点在直线上方时；分别求解即可得到答案．
解：如图1，当点在直线的下方时，
，
，
由折叠可知
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，当点在直线上方时，
，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)在中，为边上的高，，，则是 度．
【答案】或
【解析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
11．(2025·哈尔滨十七中·一模)已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ．
【答案】或1
【解析】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．
分类讨论：当点P在边上，根据矩形的性质有，，，，得 ，得到；当点P在边的延长线上， 得，得到．
解： 此题有两种可能：
（1）点P在线段上时.
∵矩形中，，，点是直线上一点，，
∴，
∵，
∴；
（2）点P在的延长线上时，，
∴．
综上，或 ．
故答案为：或1．
12．(2025·佳木斯五中·一模)在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 .
【答案】或
【解析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意分类讨论，结合勾股定理列出方程是解题的关键．
分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行分析，结合折叠的性质和矩形的性质得出，，，，，根据勾股定理分别列出方程，解方程即可求解．
解：如图：当点在线段上，、、三点共线时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将沿折叠得到，
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴；
如图：当点在线段的延长线上，、、三点共线时，
设，则，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
即当的值为或时，、、三点共线．
故答案为：或．
13．(2025·大庆·一模)已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为 ．
【答案】5或
【解析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可．
解：当时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得：；
当时，函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得：；
∴k的值为5或．
故答案为：5或．
14．(2025·哈尔滨道里·一模)在中，，的面积为9，则的度数为 度．
【答案】75或15/15或75
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，并分情况讨论是解题的关键．
分两种情况：是锐角三角形和是钝角三角形，分别利用面积求出腰上的高，利用三角函数进行求解即可．
解：若是锐角三角形，过点C作于点D，如图，
，，
，
∵ ，
∴ ，
，
∴，
，
，
若是钝角三角形，过点B作于点D，如图，
，，
，
∵ ，
∴ ，
，
∴，
，
，
．
故答案为：75或15．
15．(2025·七台河茄子河·一模)已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 ．
【答案】或
【解析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键．存在两种情况，一是点P在边上，折痕经过点D，交于点F，由矩形的性质得，，由折叠得，由勾股定理求得；二是点P在边上，折痕经过点B，交于点E，由，，，求得，而，所以，则，于是得到问题的答案．
解：如图1，点P在边上，折痕为经过点D，交于点F，
四边形是矩形，，，
，，
由折叠得，
；
如图2，点P在边上，折痕经过点B，交于点E，
，，，
，
，
，
，
故答案为：或
16．(2025·哈尔滨巴彦·一模)已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2，则AP= ．
【答案】2或
【解析】作CD⊥AB的延长线于D，求得∠CBD＝60°，解直角三角形求得DC＝3，进而求得AD＝6，根据勾股定理求得AC＝3，即可求得AO，然后求得AP＝2或．
解：作CD⊥AB的延长线于D．
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°．
∵BC＝2，∴DC＝BC•sin60°＝2•3．
∵tan∠A，∴AD＝6，∴AC，∴AO．
∵OP，∴AP＝2或．
故答案为2或．
17．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【解析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解，
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∵为等腰三角形，
当时，点为正方形对角线的中点，如图，
∵ ，
∴；
当时，如图，过点作于，则，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，仅当点和点重合时，
∵点为正方形内部一点，
∴此种情况不符合；
综上，的长为或，
故答案为：或．
18．(2025·哈尔滨道外·一模)如图有一个矩形纸片中，，，将此矩形纸片沿对角线剪开后再把两个直角三角形拼成一个等腰三角形，则此等腰三角形的内切圆半径为 ．
【答案】或
【解析】分两种情况考虑：①矩形纸片的边和边重合，②矩形纸片的边和边重合，结合内切圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理即可得解．
解：矩形纸片中，，，
，，
①当矩形纸片的边和边重合时，如下图，点为内切圆圆心，
作交于点，交于点，连接、，
此时即为重合的边和边，
，，，
内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，
，，，
在和中，
，
，
，
同理可证，，
，，
设，则，
中有，
，
解得；
②当矩形纸片的边和边重合时，如下图，点为内切圆圆心，
作交于点，交于点，连接、
此时即为重合的边和边，
，，，
内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，
，，，
在和中，
，
，
，
同理可证，，
，，
设，则，
中有，
，
解得．
综上，内切圆半径为或．
故答案为：或．
19．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知等腰三角形的底边长为8，一个内角的正切值为，此三角形的面积为 ．
【答案】或
【解析】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，根据题意画出草图，利用一个内角的正切值为，分以下两种情况讨论，①当这个内角为底角时，②当这个内角为顶角时，利用三角函数结合等腰三角形性质，以及勾股定理建立等量关系，求出三角形的底和高，即可解题．
解：等腰三角形的底边长为8，一个内角的正切值为，
①当这个内角为底角时，如图所示：
有，
设，，
，
，
，
解得，
，，
三角形的面积为：；
②当这个内角为顶角时，如图所示：
有，
设，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
三角形的面积为：；
综上所述，三角形的面积为或．
故答案为：或．
多结论判断题题型02
1．(2025·大庆景园中学·一模)下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
2．(2025·大庆三校摸底考试·一模)下列命题中，真命题的有（ ）个．
①相等的圆心角所对的弧相等；②反比例函数，y随着x的增大而增大；③无限小数就是无理数；④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】本题考查了判断命题的真假，根据圆周角定理、反比例函数的性质、无理数的定义、正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题说法是假命题；
②反比例函数，在每一个象限，y随着x的增大而减小，故本小题说法是假命题；
③无限不循环小数就是无理数，故本小题说法是假命题；
④过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，例如坐标轴经过原点，但不是正比例函数的图象，故本小题说法是假命题；
故选：A．
3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)下列六个命题中，真命题有（ ）
①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】本题考查判断命题的真假，平行的判定与性质，乘方运算，有理数的绝对值，补角，对顶角等知识，能够熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
解：①两直线平行，同旁内角互补，此命题缺少条件，故为假命题，
②根据对顶角相等，可知命题为真命题，故符合题意；
③同角（等角）的补角相等，命题为真命题，故符合题意；
④相反数的平方也相等，但正负数不相等，故命题错误，不符合题意；
⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故命题为真命题，符合题意；
⑥0的绝对值也等于0，但0不是正数，故命题错误，不符合题意；
故本题中正确的命题有个，
故选：C．
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、图象与y轴的交点可分别确定a、b、c的符号，进而可判断①；
根据抛物线与x轴的交点的个数可判断②；
根据当时对应的函数值并结合图象可判断③；
设，则，把点A的坐标代入解析式即可判断④．
解：①观察图象可知，开口向上可得，对称轴在y轴右侧可得，与轴交于负半轴可得，∴，故①正确；
②∵抛物线与轴有两个交点，∴，即，故②错误；
③当时，由图象知在第二象限，∴，故③正确；
④设，则，∵，∴，把点A代入抛物线得，又，∴，故④正确；
所以正确的结论有①③④三个，故选B．
5．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①是直角三角形；②点C，E，G共线；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的序号为 ．
【答案】①②④⑤
【解析】根据折叠的性质得到∠DMC=∠EMC，∠AMP=∠EMP，于是得到∠PME+∠CME=×180°=90°，求得△CMP是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②错误；设AB=x，则AD=2x，得到DM=AD=x，根据勾股定理得到CM==x，根据射影定理得到CP=x，得到PC=MP，故③错误；求得PB=AB，故④正确，根据平行线等分线段定理得到CF=PF，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC=∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP=∠EMP，
∵∠AMD=180°，
∴∠PME+∠CME=×180°=90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D=∠MEC=90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG=∠A=90°，
∴∠GEC=180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②正确；
∵AD=2AB，
∴设AB=x，则AD=2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴DM=AD=x，
∴CM==x，
∵∠PMC=90°，MN⊥PC，
∴CM2=CN•CP，
∴CP=，
∴PN=CP-CN=x，
∴PM==x，
∴==，
∴PC=MP，故③错误；
∵PC=x，
∴PB=2x-=x，
∴=，
∴PB=AB，故④正确，
∵CD=CE，EG=AB，AB=CD，
∴CE=EG，
∵∠CEM=∠G=90°，
∴FEPG，
∴CF=PF，
∵∠PMC=90°，
∴CF=PF=MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故答案为：①②④⑤
6．(2025·哈尔滨平房·一模)已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是 ．
【答案】②④
【解析】先运用等腰三角形的性质得，外角性质得，再结合三角形内角和性质得，再结合垂直平分线的性质得，，得出是等腰直角三角形，在中，，代入数值计算，得，，然后运用证明，，运用30度所对的直角边是斜边的一半得，再结合勾股定理算出，，再运用角的关系计算，然后再求出，即可作答．
解：∵，，
∴，
∴，
∵在等腰三角形中，，
∴，
∴
∵的延长线交线段的垂直平分线于点D，
∴，
∴，
过点A作，过点E作，过点D作，并交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，，
∵
∴
∴
设
∴
即
∴，
∵，，，
∴，
则在中，，
∴
解得，
∴，
则，故④是正确的；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
则，
即，
∴，
∴，
故②是正确的；
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故③是错误的；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
故①是错误的；
故答案为：②④．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③④
【答案】A
【解析】通过证明，即可判断①；通过证明，得出，进而得出，结合，即可判断②；当时，设，，则，，在中，根据勾股定理求出，则，，即可判断③；根据全等的性质得出，，则，证明，进而得出，即可判断④．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故②正确；
当时，设，，
则，，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，则，
∵，
∴，故④错误；
∴正确的有①②③．
故选：A．
8．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】本题主要考查了二次函数图象的性质、根与系数的关系、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
根据抛物线的开口方向可得，再根据抛物线的对称轴可得即可判定①；由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则，当时，则，即；又，即可判定②；根据根与系数的关系可得，将，将、代入计算化简即可判定③；根据二次函数的性质可得，然后求解即可判定④；分、、分别求a的值即可判定⑤．
解：由抛物线开口方向向下，则，
该抛物线的对称轴为：，即，则，即①错误；
由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则，
当时，则，即，解得：
由，即②正确；
由和是关于的一元二次方程的两根，则，
所以，
将代入可得，
将、代入可得：，即③正确；
因为抛物线的对称轴为：，
所以当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
因为点到对称轴的距离为，
要使，则点到对称轴的距离小于，即，解得：，即④正确；
由题意可得：，
当，，即，解得：，故；
当，，即，解得：，故；
当，无解．则即符合条件的值有2个，即⑤错误．
综上，正确的有②③④，共3个．
故选B．
9．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点， 交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解析】①根据正方形的性质求证是直角三角形，得出即可得到结果； ②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论．
解：四边形是正方形，
，，
、分别是边，的中点，
， ，
，
，
，
，
，
，
，即为直角三角形，
，
也是直角三角形，
；
；． 故①正确；
由①得，，
，
，
，
，
， 故②正确；
由①得，， 由②得，，
，
，
，
，而不是， 故③错误；
，
，
即， 同理可得：，
，
，
， 故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，给出下列四个结论：①；③若的面积为1，则四边形的面积为5；④若，则，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】平行加角平分线，证明为等腰三角形，三线合一，判断②；证明，根据全等三角形的性质判断①，根据全等三角形的性质，同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再根据分割法结合全等三角形的性质得到四边形的面积等于的面积，判断③，过点作，根据正切的定义，进行求解，判断④．
解：∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，
∴，
当的面积为1时，则：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积；故③错误；
过点作，则：在中，，
设，，则：，
∴，
∴，
∵，
∴；故④正确；
故答案为：①②④．
11．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图，点为正方形的边的中点，连接，，交对角线于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有 个．
【答案】4
【解析】根据正方形的性质得到，，再根据中点性质得到，即可证可判断①，证，得到，即可判断②，过点E作于点G，由勾股定理得，证，得，根据，可得，再由三角函数，得，即可判断③；延长交于点H，证，，得，，再根据勾股定理，解得，即可判断④．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点为正方形的边的中点，
∴，
在和中，
∴，故①正确．
设正方形的边长为，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，故②正确．
过点E作于点G，
设正方形的边长为，则，，在中，勾股定理得，
∴，
∵是对角线，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，勾股定理得，
在中，，
∴，
∴，故③正确．
延长交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵点为正方形的边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，故④正确．
故答案为：4．
12．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接.下列四个结论：
①；②；③若是中点，，则；④ ；⑤若，则.其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】A
【解析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误．
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
如图1，作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，①正确，故符合要求；
如图2，作交于，连接，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
∵P是中点，，
∴，
如图3，连接，
由勾股定理得，，，
解得，，
设，则，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，整理得，，
解得，或（舍去），
∴，，
∵，
∴，
解得，，③正确，故符合要求；
由题意知，，
∴不相似，，④错误，故不符合要求；
∵，
∴，，
设，，，则，，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，，
∴，即，
同理，，
∴，即，
∴，
将代入得，，整理得，，
解得，，
∴，⑤正确，故符合要求；
故答案为：A．
13．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；② ；③ ；④当时，；⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤
【答案】A
【解析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，
∴当时，
又
∴
∴，故③错误
根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误，
∵抛物线与直线的交点关于对称，
设的两根为,根据对称性可得，则，
同理的两根和为，
∴若方程 有四个根，
这四个根的和为．故⑤正确
故选：A．
14．(2025·大庆·一模)如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交的延长线于点，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①运用证明，在利用等角的余角相等即可求解；
②正方形的边长为4，则，运用勾股定理可求得 ，再通过，即可求解；
③利用，解出，，根据勾股定理求出，再根据正切的定义即可求解；
④由计算，证与相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质求出，比较即可．
解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵E，F分别为、的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
由对折得：，
∴，故结论①正确；
②由①知，，
∴，
∵正方形的边长为4，则，
在中， ，
∴ ，
∵，，
∴，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴，故结论②错误；
③∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由对折得：，，，，
∴，
∴，
在中，设，则，，
又∵，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴ ，故结论③正确；
④过点作于点，
由上得，
∵对折，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明：，
而，
∴，
∴，
∴，
而，
∴
∵， ，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④错误；
∴正确的为①③，
故选：B．
15．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，在中，，在或的延长线上取点，连接，再作，其中，，取中点，连接，则下列结论正确的是
， ， ，连接，则的最小值为．
【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，可得，判断①错误；可得到点四点共圆，得出，故正确；可证明，得到，得出，故正确；在射线上取点，使，连接，得到点在的边上运动，当时，最小，得到，故④正确；即可得到答案．
解：如下图所示：连接，
，点为中点，
由等腰三角形三线合一性质可知，，且平分，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
，
故错误；
如下图所示，与的斜边是，
点四点共圆，
，
故正确；
如下图所示，
由可知，
，
由可知，
在和中，，
，
在和中，，，
，
，
，
，
由可知，，
，
，
故正确；
如下图所示，在射线上取点，使，连接，
，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
， ，
，
即点在的边上运动，
当时，最小，如图所示：
，
，
作于，
，
，，
，
，，
，
，，
设，，
在中，，即，
在中，，即，
由①，②得，（不合题意的已舍去），
，故④正确；
故答案为：．
16．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是 ．（填序号）
【答案】①②④
【解析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据等腰三角形的性质以及平角的定义判断②的正误；利用勾股定理求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误．
解：正方形，
，，
等边三角形，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
，
，
故结论②正确；
，
，
，
设正方形边长为
在中，，
，
解得或（舍去），
，
故结论③错误；
，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
17．(2025·七台河茄子河·一模)如图，边长为a的菱形中，，对角线、交于点O，点E为边中点，连结、分别和、交于点M、N，点P是直线上一动点．下列结论：
①；
②；
③；
④的最大值是；
⑤的最小值是
其中正确结论有（ ）
A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
【答案】B
【解析】连接和，根据四边形为菱形以及，可以求出，，以及，根据平行线分线段成比例求出和即可判断①，再求出和可以判断③，根据三角形面积公式求出和的面积即可判断②，再根据P，D，B共线，即可求出其差的最大值即为，最后根据对称性求出最小为
本题主要考查了平行线分线段成比例以及菱形的性质，综合运用菱形的对称性是本题解题的关键．
解：连接和，如图：
四边形为菱形，
，，，，，
，
为等边三角形，，
，
，
为AB中点，
，，
，
，，
，，，
，故①错误；
，，
：：，
故③正确；
，，
，
故②正确；
，D，B共线，
，
故④正确；
垂直平分AC，
，
当P，E，C共线时，最小，
，
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有②③④．
故选：B．
18．(2025·大庆三十六中·一模)已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【解析】①令,再根据判别式进行判断即可．②在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定时函数M的图像，根据图像可求出时，M的最小值．②在平面直角坐标系中画出与的图像，根据图像可确定k不同取值的情况下M的图像，根据图像可判断M的增减性，以此反过来确定k的取值即可．④在平面直角坐标系中画出与 的图像，可确定函数M的图像，M的图像与这条直线交点的个数即为的实数根的个数．
解：①令，则有：．整理得：．
∵，
∴无论k为何值，抛物线与直线总有交点．故①正确．
②当时，，
在平面直角坐标系中画出与的图像如下：
由题中M的定义可知，当时，，当时，，
当时，，当时，，
根据图像可知，当时，M最小值为3．故②正确．
③在平面直角坐标系中画出与的图像如下：
由图可知，当时，若，M的值随x的值增大而增大，
若，M的值随x的增大先增大再减小再增大，
若，M的值随x的值增大而增大，
∴当时，M的值随x的值增大而增大，则．故③正确．
④在平面直角坐标系中画出与 的图像如下：
由图像可以发现，M的图像与这条直线只要两个交点，
∴当时，方程有两个不等的实根，故④不正确．
故答案为：①②③．
19．(2025·哈尔滨道里·一模)如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①
【解析】作于，根据角平分线的性质可判断①；将绕点按顺时针方向旋转至，连接，用反证法得出时，成立，可判断②；作于，若平分，则，进而可证明只有重合时结论成立，可判断③；设，则，，，可得，，，根据 ，建立方程求解，进而可求得，即可判断④，问题得解．
解：①作于，
四边形为正方形，
，即，
平分，
，
，故①正确；
②正方形中，，
，，
，
将绕点按顺时针方向旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，
，
共线，
，
若，
，
，
，
即，
，
，
，
即时，成立，故②不正确；
③作于，
，
若平分，则，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
重合时结论成立，故③不正确；
④，
设，则，，，
，，
，
，
由①知，，
，
，
即，
解得，（舍），
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，故④不正确；
故答案为：①．
20．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，已知正方形是对角线上一点，于点，于点，连接．给出下列结论：
①；
②；
③四边形的周长为；
④与的面积相等．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②③④
【解析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的运用等知识点，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
①证明、是等腰直角三角形，即可说明；②根据正方形的性质可得，先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，进而判定③；如图：过P作，则四边形是正方形，然后说明，根据三角形的面积公式即可判定④．
解：①∵正方形，
∴，
∵，
∴，，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
．
∵四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确；
②如图：连，
∵四边形为矩形，
，，
∵正方形为轴对称图形，
，
，故②正确；
③∵四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴四边形的周长，故③正确；
④如图：过P作，则四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴， 即④正确
故答案为：①②③④．
21．(2025·大庆三校摸底考试·一模)点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练知识点是解题的关键．
根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果．
解：抛物线是常数，且，
当时，，
抛物线与轴的交点是，
故结论①正确，此结论符合题意；
抛物线的对称轴为，
故结论②错误，此结论不符合题意；
，是抛物线上的两个点，，
、两点关于对称轴对称，
，
，
而抛物线与轴的交点是，
，
故结论③正确，此结论符合题意；
抛物线是常数，且，
抛物线的开口向上，
在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大，
，
，两点位于对称轴的右侧，
，
故结论④错误，此结论不符合题意；
当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故选：C．
22．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有 ．（填正确的序号）．
【答案】①②③．
【解析】由折叠的性质可得由平行线的性质可得
可证 可判断①；通过证明 可得 可判断②；由中线的性质可得 可判断③；设则利用x表示 GH ， BH， HG 的长，可求可判断④，即可求解．
解：①∵将沿AC翻折到
∴四边形是菱形．
故①正确．
②
又
又
∵E是AC的中点，
故②正确．
③
故③正确．
④如图所示：过点G作交BA延长线于H，
设则
∵四边形是菱形，
故④错误．
故答案为：①②③．
23．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在矩形中，O是的中点，M是的中点，点P在上（不与点A重合），且，连接并延长，交于点N．下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确结论的序号为 ．
【答案】②③④
【解析】证明是直角三角形，连接，延长，交于点，利用三角形内角和、全等三角形以及相似三角形的性质求解即可．
解：解连接，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
若，
则，，，不一定成立，故①不正确；
，，
，故②正确；
延长，交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故④正确；
故答案为：②③④．
24．(2025·大庆肇州五校联考·一模)已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】②③/③②
【解析】利用对称轴方程得到，再利用时，得到，则可对①进行判断；利用时，；时，，得到，则可对②进行判断；利用时，，即，可对③进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点在和之间，则可对④进行判断；利用时，y有最大值得到，然后利用可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵时，，即，
∴，即，所以①错误；
∵时，，即；时，，即，
∴，
∴，所以②正确；
∵时，，即，
∴，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴，，所以④错误；
∵时，y有最大值，
∴，
而，
∴，所以⑤错误．
答案为：②③．
25．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，在矩形中，平分交于点H，点G在上，连接交于点E，，点F是的中点，连接交于点M，有如下结论：①；②；③；④若，，则，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】连接，由等腰三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，证明、、、四点共圆，得出，即可判断①；证明，得出，即可判断②；用反证法证明③即可；求出，，作于，再解直角三角形即可得解．
解：如图，连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
假设成立，则，
∴，
无法证明，故不能得出，假设不成立，故③错误；
若，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，作于，
则，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
26．(2025·哈尔滨香坊·一模)在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（ ）
主题
矩形纸片折叠后相关结论探究
方案
如图，沿折痕折叠纸片，使点恰好落在边上的点，点的对应点为点．
结论
（）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形的性质和折叠的性质可判断（）（），再由平行线的性质和等腰三角形的判定可判断（），设，，由勾股定理和线段和差可判断（）．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
由折叠性质可知，，，，，，故（）正确；
∴，，故（）正确；
∴，
∴为等腰三角形，故（）正确；
由，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故（）正确；
综上可知：（）（）（）（）正确，共个，
故选：．
27．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④m为任何实数时，都有：．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握图象开口的性质，对称轴直线是解题的关键．根据图示可得，由对称轴直线可得，可判断①；由抛物线与x轴有交点可判断②；由可判断③；由函数有最大值，对自变量取任意实数m，其函数值不小于最大值，可判定④，即可作答．
解：根据图示，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①说法是正确的；
∵，
∴，故③说法是错误的；
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②说法是正确的；
∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，
∴对于任意实数，都有，
∴，
∴，故④说法是正确的；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
最值问题题型03
1．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，在平行四边形中，，点在上，，点是上的动点，连接，点在的垂直平分线上，于，则周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正切等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由题意易得最小时，的周长最小，由垂直平分线可得，连接，则，即点在上时，最小，过点作于点，则为的最小值，根据勾股定理可得，进而求得周长的最小值．
解：∵，
∴，，
∴的周长，
∴最小时，的周长最小，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
连接，则，
又∵，
∴当时，且点在上时，最小，
∴过点作于点，则为的最小值，
∵在中，，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，即最小，
∴的周长最小，
故答案为：．
2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于 .
【答案】
【解析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为，
∵，
∴，
故答案为：．
3．(2025·大庆景园中学·一模)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A．-1 B．7-4 C． D．1
【答案】D
【解析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，由此推出点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，
∴中优弧度数为240°，劣弧度数为120°
∴△BOC是等腰三角形，∠BOC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=.
∴MB=MC=4，
∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA==，
∴AE的最小值为=5-4=1．
故选D．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
4．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在中，，，，点D是的中点，点P是上的一个动点（点P不与点A，C重合），经过点D，P作直线，过点A，B分别作，，垂足分别为点E，F，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】过点C作于点K，过点A作于点H，求得和，在中，求得和，进一步证明，有，过点C作交的延长线于点N，则四边形是矩形，可得，在中，，当直线时，和重合，最大值为6，即的最大值为．
解：如图，过点C作于点K，过点A作于点H，
在中，
∵，，
∴， ，
在中，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
过点C作交的延长线于点N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
可得，
在中，，
当直线时，和重合，最大值为6，
综上所述，的最大值为6．
故答案为：6．
5．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【解析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．
解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，
，，再作点关于的对称点，连接，则，
连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．
过点作，过点作交于点，
，
，
，连接，
，，
四边形为矩形，
，，
，
周长的最小值，
故选：D．
6．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，等边的边长为8，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是 ．
【答案】16
【解析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
连接，根据等边三角形的性质得到，即可得到为菱形，进而得到点关于对称的点是，点与点重合时，最小解题即可．
解：连接，如图所示，
，均为等边三角形，
，
，
∴四边形为菱形，
∴点关于对称的点是，
∴当点与点重合时，取最小值，此时
故答案为：16．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识．过点作于点，由勾股定理得．继而证明当、、三点共线且时，的值最小为．由等腰三角形腰上的高相等，解出的长，即为的长．
解：，，
．
过点作于点，由勾股定理得．
．
当、、三点共线，且时，
的值最小为．
中，，，，
由等腰三角形腰上的高相等，
，
在中，．
故．
故答案为：．
8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰 ，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解．
解：连接交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于直线对称，
∴，
∴，
∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长．
∵正方形的边长为4，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
9．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，且OP＝2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ．
【答案】
【解析】作点P关于OA的对称点F，点P关于OB的对称点E，连接EF，OE，OF，则EF即△PMN周长的最小值，由作图可知△OEF是等腰三角形，即可求解；
解：作点P关于OA的对称点F，点P关于OB的对称点E，连接EF，OE，OF，
则EF即△PMN周长的最小值，
∵∠AOB＝60°，
∴∠EOF＝120°，
由对称性可知：OF＝OP＝OE＝2，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴EF＝2.
故答案是：2.
10．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【解析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
11．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在等边中，，为中线上一动点，连接，将绕逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值 ．
【答案】
【解析】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及含有的直角三角形的性质，解题关键是通过证明得到点的运动路径，再利用垂线段最短求解．
先利用等边三角形的性质和旋转的性质分别得到、、，则可证明，并由此得到，，又因为是中线上的一个动点，可推得点在过点且与成的直线上运动，根据垂线段最短可得当时，有最小值，结合含有的直角三角形的性质即可得到．
解：如图，连接，
是等边三角形，是的中线，
，，平分且，
，，
将绕逆时针旋转得到线段，，
，，
则，
即，
在和中，
，
，，
点在过点且与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
故答案为：．
12．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在中，，点D，E分别在边上，且，连接，相交于点O，过点O作于点H，最大值为 ．
【答案】/
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关概念，解题的关键在于将的最值问题进行转化．
作，交于点G，过点作于点T，则，得到，可得，则，故当最大值，最大，而点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，过点M作交于点K，则，即可求解的最大值．
解：如图，作，交于点G，过点作于点T，
∴，
，
∵，
∴ ,
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最大值，最大，
∵，
∴点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，
过点M作交于点K，
∴，
∴的最大值为2，
∴最大值为，
故答案为：．
找规律问题题型04
1．(2025·哈尔滨道外·一模)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【解析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
2．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有（ ）个★．
A．45 B．48 C．49 D．51
【答案】C
【解析】本题考查了探究图形变化的规律，将每一个图案分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律进行计算即可求解．
解：观察发现，第1个图形★的个数是，，
第2个图形★的个数是，，
第3个图形★的个数是，，
第4个图形★的个数是，，
…
∴第16个图形★的个数是，．
故选：C．
3．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解．
解：第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图形由小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
故选：B．
4．(2025·哈尔滨十七中·一模)按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
5．(2025·哈尔滨双城·一模)下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，……则第5个图形中棋子的颗数为（ ）
A．31 B．51 C．61 D．76
【答案】B
【解析】本题考查了图形的变化规律，根据各图形中棋子个数的变化找出变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题．
解：∵第1个图形有1颗棋子，即，
第2个图形一共有6颗棋子，即，
第3个图形一共有16颗棋子，即，
∴第4个图形一共有31颗棋子，即，
第5个图形一共有51颗棋子，即，
故选：B．
6．(2025·哈尔滨松北·一模)将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（ ）
A．7 B．8 C． D．4
【答案】C
【解析】本题考查算术平方根及规律探索问题，根据题意每行的数字个数与行数数字相同，被开方数是连续自然数的2倍，据此可解答．
解：由题意可得前七行所有的数的总个数为，
∵，
∴被开方数是连续自然数的2倍
∴第八行左起第1个数是第29个数，即，
故选：C．
7．(2025·哈尔滨五常·一模)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第100个图形共有（ ）个★．
A．300 B．301 C．302 D．303
【答案】B
【解析】本题考查图形数字规律探索，熟练掌握该知识点是解题关键．先根据前四个图形中点的个数找出规律，得出第m个图形的★的个数为．再据此规律求解即可．
解：第1个图形的★的个数为．
第2个图形的★的个数为．
第3个图形的★的个数为．
第4个图形的★的个数为．
∴第m个图形的★的个数为．
∴第100个图形的★的个数为．
故选：B．
8．(2025·哈尔滨香坊·一模)美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】本题主要考查了数与形结合的规律，根据棋子发现规律：多一组图形，则多用5个棋子，即第n个图形中，需要棋子个，代入计算即可．
解：根据分析可得：
（个）
所以，第6个图形中棋子的个数为29个，
故选：B．
9．(2025·大庆·一模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
【答案】127
【解析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
10．(2025·大庆景园中学·一模)观察图中点的个数．若按此规律画下去，且第个图形中所有点的个数为 ．
【答案】个
【解析】本题考查规律型：图形的变化类，能根据所给图形发现所有点个数的变化规律是解题的关键．依次求出图形中点的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图象可知，
第1个图形中所有点的个数为：；
第2个图形中所有点的个数为：；
第3个图形中所有点的个数为：；
…，
第个图形中所有点的个数为个，
第个图形中所有点的个数为（个），
故答案为：个．
11．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为 ．
【答案】
【解析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质、规律型问题．先求出正方形的边长，同理求出正方形的边长，正方形的边长，由此得到规律即可得到答案．
解：∵在，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理可以求出正方形的边长为，
正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
12．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…，按此规律排列下去，第24个图形中圆的个数是 个．
【答案】602
【解析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是解题的关键．
根据图形得出第个图形中圆的个数是，将n代入24代入求解即可．
解：第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
……
可得第个图形中圆的个数是；
∴时，一共有个圆．
故答案为：602．
13．(2025·哈尔滨巴彦·一模)按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒 ．
【答案】6076
【解析】本题考查了规律型图形的变化，解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律，要细心观察，难度适中，是中考的常见题型．观察图形寻找规律，每增加一个小正方形，需要三根小棒，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
解：依题意，搭2个小正方形需要根小棒；
搭3个小正方形需要根小棒；
搭4个小正方形需要根小棒；
……
以此类推：搭n个小正方形需要根小棒；
∴搭2025个小正方形需要根小棒；
故答案为：．
14．(2025·哈尔滨道里·一模)一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有 个五角星．
【答案】37
【解析】本题主要考查了图形类的规律问题，
根据第1个图案有4个五角星，第2个图案有个五角星，第3个图案有个五角星，第4个图案有个五角星，可得数字变化的规律再根据规律解答即可.
解：第1个图案有4个五角星；
第2个图案有个五角星；
第3个图案有个五角星；
第4个图案有个五角星，
第12个图案有个五角星.
故答案为：37.
15．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为 ．
【答案】
【解析】根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．
本题考查了规律型：点的坐标，勾股定理．根据题意，找到各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律是关键．
解：由图形可知，，
，
，
⋯，
每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每4次旋转一周．
∴
∴点在第三象限的角平分线上，
∴．
故答案为：．
16．(2025·佳木斯五中·一模)在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解．
解：∵为等边三角形，点A的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴x正半轴，，
……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴，
∵，
∴点在x轴负半轴，且，
∴点的坐标为．
故答案为：．
17．(2025·七台河茄子河·一模)如图，直线分别与x轴和y轴交于A、B两点，过点B作，垂足为B，得到第一个；过点作轴交直线于，得到第二个；过点作，得到第三个……；依此规律，则第2020个三角形的面积是 ．
【答案】
【解析】先求出第一个三角形的面积，再利用相似三角形求出第二个三角形的面积，以此类推，找到规律即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一次函数点的坐标特征、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
解：直线分别与x轴和y轴交于A、B两点，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
∴，
相似比为，
，
，
即第二个三角形的面积为，
同理，第三个三角形的面积为，
第四个三角形的面积为，
第n个三角形的面积为，
当时，，
即第2020个三角形的面积时，
故答案为：
18．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键．
解：由题知，将代入得，，
∴点的坐标为，
∴， ，
在中，，
∴，
由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，且在第二象限，
∴，
，
，
…，
∴，
∴
设点的坐标为，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
解得：（舍正），
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
19．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，10，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为 ．
【答案】
【解析】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，根据，可以判断点在x轴正半轴，横坐标为，纵坐标为0，然后按照规律即可求解．
解：图中的各三角形都是等腰直角三角形，
各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
，，，，，，，，，
，
，，，
∴，
，
点在x轴正半轴，横坐标为，纵坐标为0，
的坐标为为，
故答案为：．
20．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
【答案】
【解析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决．
解：作轴于点H，
均在直线上，
，
，
，，
，
，
，
∴由勾股定理得：，
，
同理，，
，
同理，
，
即点的横坐标是，
故答案为：．
21．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，直线，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为 ．
【答案】
【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及点的坐标规律，根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点A3、A4探究规律利用规律即可解决问题．
解：在中，，
，
∴点的坐标为．
同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为，
由此可知的坐标为，
的坐标为．
故答案为：．
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