专题06 圆（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题06 圆
题型概览
题型01圆的基本性质
题型02点、直线与圆的位置关系
题型03与弧长、面积有关的计算
圆的基本性质题型01
1．(2025·大庆·一模)下列说法正确的是（ ）
A．正方体的截面可能是六边形
B．若在中，，则一定不是直角三角形
C．有两组边分别相等的两个直角三角形全等
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
2．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
3．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD=25°，则∠AOD的度数为 ．
4．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接，则的长为（ ）
A．8 B． C．5 D．
5．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝ ．
6．(2025·七台河茄子河·一模)如图，以的直角边为直径的交边于点E，点M是的中点，交于点D，，，则 ．
7．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
点、直线与圆的位置关系题型02
1．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·哈尔滨道外·一模)如图与相切于点是的弦，连接，若，则 °．
3．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为 ．
4．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，， 分别与⊙ 相切于， 两点，，则 度．
5．(2025·佳木斯五中·一模)如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °．
6．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，是的弦，点是上一点，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为 ．
7．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，．
(1)求证：AC是的切线：
(2)若，，求BF的长．
与弧长、面积有关的计算题型03
1．(2025·大庆·一模)手工课上，丽丽打算用一块体积为的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是 ．
2．(2025·大庆三校摸底考试·一模)一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为 ．
3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图）．这个纸盒的容积大约是 立方厘米．
4．(2025·哈尔滨巴彦·一模)传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为 ．
5．(2025·哈尔滨道里·一模)如图，将长度为的线段绕点逆时针旋转至，则的长为 ．
6．(2025·哈尔滨道外·一模)一个扇形的弧长是 ，半径是，则此扇形的圆心角是 度．
7．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径是 ．
8．(2025·哈尔滨十七中·一模)扇形的半径为20cm，扇形的面积为100πcm2，则该扇形的圆心角为 度．
9．(2025·哈尔滨双城·一模)已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ．
10．(2025·哈尔滨五常·一模)一个扇形的面积为2πcm2，半径OA为4cm，则这个扇形的圆心角为 °．
11．(2025·哈尔滨香坊·一模)已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为 ．
12．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
13．(2025·七台河茄子河·一模)底面半径为的圆锥，其侧面展开图是扇形的半径是，则这个扇形的圆心角是 ．
14．(2025·齐齐哈尔·一模)已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则其侧面展开图的圆心角为 度．
15．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
16．(2025·佳木斯五中·一模)若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
17．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为 ．
18．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____．
19．(2025·大庆·一模)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点．以点为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点，交边于点，若，则图中阴影部分的面积为
20．(2025·大庆景园中学·一模)如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
21．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
22．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，将扇形沿方向平移，使点O移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
23．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为 ．
24．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．
25．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，将半径为，圆心角为120°的扇形绕点逆时针旋转60°，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
26．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，已知是的直径，点在上，，连接，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求阴影部分的面积．
27．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，在中，，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于 E，F．
（1）试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
28．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
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专题06 圆
题型概览
题型01圆的基本性质
题型02点、直线与圆的位置关系
题型03与弧长、面积有关的计算
圆的基本性质题型01
1．(2025·大庆·一模)下列说法正确的是（ ）
A．正方体的截面可能是六边形
B．若在中，，则一定不是直角三角形
C．有两组边分别相等的两个直角三角形全等
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【答案】A
【解析】本题考查了截一个几何体，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定，圆周角，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据截一个几何体，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定，圆周角的知识逐项判断即可；
解：、正方体的截面可能是六边形，故本选项符合题意；
、若，满足，但以3、4、5为边的是直角三角形，故本选项不符合题意；
、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故本选项不符合题意；
故选：．
2．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
【答案】6
【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
解：连接OB,OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
3．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD=25°，则∠AOD的度数为 ．
【答案】130°．
【解析】由∠BCD=25°，根据圆周角定理得出∠BOD=50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．
解：∵∠BCD=25°，
∴∠BOD=50°，
∴∠BCD=180°﹣50°=130°．
故答案为130°．
考点：圆周角定理．
4．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接，则的长为（ ）
A．8 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】本题主要考查垂径定理的应用，根据题意，为和的公共弦，为连心线，根据对称性可得，垂足为点，由知为等腰直角三角形，可求出，由垂径定理得．
解：如图，根据题意得，为和的公共弦，为连心线，
∴，垂足为点，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝ ．
【答案】4
【解析】先由同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠D=30°，再由直径所对的圆周角是直角即可得到，∠CAB=60°，再证∠ACE=30°，则AC=2AE=2，即可得到AB=2AC=4．
解：∵∠D=30°，
∴∠B=∠D=30°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE=2，
∴AB=2AC=4，
故答案为：4．
6．(2025·七台河茄子河·一模)如图，以的直角边为直径的交边于点E，点M是的中点，交于点D，，，则 ．
【答案】
【解析】利用三角形函数求出，从而求出的半径；根据垂径定理得及，进而求出，最后求出即可．本题考查垂径定理、含角的直角三角形，解直角三角形，掌握垂径定理、含角的直角三角形的性质是解题的关键．
解：，，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
，
故答案为：
7．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
解：设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
点、直线与圆的位置关系题型02
1．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出的度数，即可求出的度数．
解：连接，
∵为圆O的切线，
∴，
∴，
∵与都是所对的圆周角，且，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
则．
故选：A．
2．(2025·哈尔滨道外·一模)如图与相切于点是的弦，连接，若，则 °．
【答案】40
【解析】该题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，连接，根据切线的性质得出，即可求出，根据等腰三角形的性质得出．
解：连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
3．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为 ．
【答案】
【解析】本题考查菱形的性质，切线的性质，锐角三角函数的计算，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的计算是解题的关键，利用菱形的性质可得，从而得到，再由切线的性质可得，最后利用锐角三角函数计算即可得到答案．
解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵圆O的切线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，， 分别与⊙ 相切于， 两点，，则 度．
【答案】
【解析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=110°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=55°．
故答案为：55．
5．(2025·佳木斯五中·一模)如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °．
【答案】27
【解析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可．
解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：27．
6．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，是的弦，点是上一点，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，连接、，由圆周角定理可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由切线的定义可得，即可得解．
解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
7．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，．
(1)求证：AC是的切线：
(2)若，，求BF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接AD，根据题意证明∠BAC=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，过点F作FG⊥AB于点G．根据角平分线的性质得到GF=DF，根据正弦的定义计算即可．
解：（1）证明：连接AD．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
∴．
∴．
∴AC是⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AB于点G．
∵，
∴，
在中，，，
即，
解得，．
与弧长、面积有关的计算题型03
1．(2025·大庆·一模)手工课上，丽丽打算用一块体积为的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是 ．
【答案】141
【解析】此题考查一元一次方程的应用，根据圆锥体积是圆柱体积的三分之一列一元一次方程求解即可．
解：设圆柱的体积为，
，
解得，
∴圆柱的体积是，
故答案为：141．
2．(2025·大庆三校摸底考试·一模)一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为 ．
【答案】
【解析】本题考查圆锥的体积以及勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可．
解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴圆锥的高为，
∴圆锥的体积为，
故答案为：．
3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图）．这个纸盒的容积大约是 立方厘米．
【答案】4320
【解析】根据圆柱形饮料瓶的规格尺寸可得出纸盒的长宽高，在利用容积公式即可求解．
解：
（立方厘米），
答：这个纸盒的容积是4320立方厘米，
故答案为：4320．
4．(2025·哈尔滨巴彦·一模)传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为 ．
【答案】米
【解析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米），
故答案为：米．
5．(2025·哈尔滨道里·一模)如图，将长度为的线段绕点逆时针旋转至，则的长为 ．
【答案】
【解析】本题考查了旋转的性质以及弧长公式，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．
根据旋转的性质以及弧长公式解答即可．
解：由旋转的性质得，
，
故答案为：．
6．(2025·哈尔滨道外·一模)一个扇形的弧长是 ，半径是，则此扇形的圆心角是 度．
【答案】36
【解析】利用弧长公式列方程求解即可．
解：设扇形的圆心角为．
由题意得： ，
解得：．
故答案为．
7．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径是 ．
【答案】
【解析】根据扇形面积公式计算即可．
解：，
，
解得，
故答案为：6．
8．(2025·哈尔滨十七中·一模)扇形的半径为20cm，扇形的面积为100πcm2，则该扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【解析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形面积公式得出，求出即可．
解：设扇形的圆心角是n°，
则，
解得：n＝90，
即扇形的圆心角是90°，
故答案为90．
9．(2025·哈尔滨双城·一模)已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ．
【答案】3
【解析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算．
解：设扇形的半径为，
则，
解得：（负值舍去），
故答案为：3．
10．(2025·哈尔滨五常·一模)一个扇形的面积为2πcm2，半径OA为4cm，则这个扇形的圆心角为 °．
【答案】45
【解析】根据扇形的面积公式解答即可．
解：设扇形的圆心角为n°，
根据扇形的面积公式得，＝2π，
∴n＝45°，
故答案为：45．
11．(2025·哈尔滨香坊·一模)已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】本题考查了扇形面积的计算．直接利用扇形面积公式计算即可．
解：扇形的面积．
故答案为：．
12．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
【答案】
【解析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2，
故答案为：．
13．(2025·七台河茄子河·一模)底面半径为的圆锥，其侧面展开图是扇形的半径是，则这个扇形的圆心角是 ．
【答案】/288度
【解析】设扇形的圆心角为，利用弧长公式构建方程求解．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
解：设扇形的圆心角为，
，
故答案为：
14．(2025·齐齐哈尔·一模)已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则其侧面展开图的圆心角为 度．
【答案】72
【解析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题．
解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，
侧面展开扇形的面积为：，
解得，
故答案为：72．
15．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为．
解：连接，
由题意得，，
∴为等边三角形，
∴，
当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时，
即，
∴此时点D与点B，P重合，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，
∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，
∴，
连接，∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴路径长为：，
故选：A．
16．(2025·佳木斯五中·一模)若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【解析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键．根据圆锥侧面公式计算即可．
解：一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为
故答案为：．
17．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【解析】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．先算出母线长，根据圆锥的侧面积公式：S=πrl，直接代入数据求出即可．
解：圆锥的底面半径为 ，高为 ，，
根据勾股定理得到母线长，
根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
18．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____．
【答案】
【解析】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是计算圆锥的母线长．
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算．
解：，
，
圆锥的母线长为：，
圆锥的侧面展开图的面积；
故答案为：．
19．(2025·大庆·一模)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点．以点为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点，交边于点，若，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，易证是等边三角形，即可得到，根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解．
解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为： ，
故答案为：．
20．(2025·大庆景园中学·一模)如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【解析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形的面积之和减去半圆的面积．
解：由图可得，
图中阴影部分的面积为： ，
故答案为．
21．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【解析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．
解：，，，
，
，
，
故答案为：．
22．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，将扇形沿方向平移，使点O移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了解直角三角形的计算及扇形的面积计算，连接，利用分割法计算即可．
解：如图，连接，
∵，点O移到的中点处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平移的性质，得，
∴
∴
，
故选D．
23．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．
解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即点是的中点，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题．
解：由题知，
（），
∵点，分别是，的中点，
∴ （），
∴（），
∴花窗的面积为
故答案为：．
25．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，将半径为，圆心角为120°的扇形绕点逆时针旋转60°，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接、，利用旋转性质得出∠=60°，之后根据同圆之中半径相等依次求得是等边三角形以及是等边三角形，据此进一步分析得出∠=120°，最后利用图中阴影部分面积=进一步计算求解即可.
解：如图，连接、，
∵将半径为，圆心角为120°的扇形绕点逆时针旋转60°，
∴∠=60°，
∵，
∴是等边三角形，
∴∠=∠=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠=60°，
∵，
∴是等边三角形，
∴∠=60°，
∴∠=120°，
∴∠=120°，
∵，
∴∠=∠=30°，
∴图中阴影部分面积=
=
=，
故选：C.
26．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，已知是的直径，点在上，，连接，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（）连接，可证，又由垂径定理可得，即得，即可求证；
（）由切线的性质得，设半径长为，则，，利用勾股定理可得，，进而由锐角三角函数得，即可得，再根据解答即可求解．
解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵是的切线，
∴，
∴，
设半径长为，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴．
27．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，在中，，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于 E，F．
（1）试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】（1）连接OD，如图，证明，则可判断，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定定理得到BC为的切线；
（2）根据，，得到，再根据扇形面积公式，利用阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积即可求解．
解：（1）直线BC与相切，理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴直线BC与相切；
（2）由（1）知，
又∵，
∴，
∴，扇形DOF面积，
∴阴影部分的面积．
28．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【解析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
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