精品解析：2025年湖北省巴东县初中毕业生中考适应性考试数学试题

2025年初中毕业生中考适应性考试 数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 无法计算 5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 6. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( ) A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12 计算：________． 13. 在张完全相同的卡片上，分别标出，，，，从中随机抽取张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________． 14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长______尺． 15. 如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：．其中． 17. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 18. 综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）． 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：，，） 19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，． ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取八年级学生的样本容量是______； （2）频数分布直方图中，C组的频数是_______； （3）本次抽取八年级学生成绩中位数_______； （4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）； （5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人． 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形面积． 22. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 23. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中毕业生中考适应性考试 数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、圆柱左视图是矩形，不符合题意； B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、长方体的左视图是矩形，不符合题意． 故选B． 试题解析： 考点：简单几何体的三视图． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 4. 若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了了绝对值和平方的非负性，乘方运算等知识．“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到，解得，代入即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以． 故选：A 5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意； B、点数和为6，是随机事件，符合题意； C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意； D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( ) A 1 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出AB的长，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴AB＝2CD＝20， ∵点E、F分别是AC、BC的中点， ∴EFAB＝10，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，中位线的性质定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 8. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∵过点和， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 9. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知； 【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴，，，故①错误； 故②错误； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴ ∴，故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】9 【解析】 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算． 13. 在张完全相同的卡片上，分别标出，，，，从中随机抽取张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有16种等可能结果，符合题意的有8种， ∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 14. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长______尺． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【详解】解；设木长x尺，则绳子长为尺， 由题意得，， 解得， 所以木长尺， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示： 由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵P为中点， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， 故， ∵点M与点B、C不重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 = = = = 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则和计算方法． 17. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得． 【详解】证明：∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 18. 综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）． 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】B，D之间的距离． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得到，由题意可得：，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：B，D之间的距离． 19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，． ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取八年级学生的样本容量是______； （2）频数分布直方图中，C组的频数是_______； （3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______； （4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）； （5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人． 【答案】（1） （2） （3） （4）八 （5）该年级成绩不低于分的学生约有人； 【解析】 【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案； （2）利用总数减去其它频数即可得到答案； （3）找到最中间两个数求平均即可得到答案； （4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案； （5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析， ∴本次抽取八年级学生的样本容量是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴C组的频数是； 【小问3详解】 解：∵，， ∴中位数落在D组上， ∴ ，两个数是：，， ∴中位数是：； 【小问4详解】 解：∵， ∴八年级的学生测试成绩较整齐； 【小问5详解】 解：由题意可得， （人）， 答：该年级成绩不低于分的学生约有人； 【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义． 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设的半径，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或舍去， ∴的半径为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数为． （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：． 【小问3详解】 ∵，同理可得的解析式为：， ∵过点B作平行于x轴，交于点D，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 22. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 23. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 【小问2详解】 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； 【小问3详解】 解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答； （3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点是拋物线上的点， ∴解得： ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拋物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴当时，随的增大而减小． ∴当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． ∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， ∵点， 解得： 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时，， ∴时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， ∴当时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$