专题05 三角形与四边形 （黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题05 三角形与四边形
题型概览
题型01几何初步与三角形
题型02四边形
题型03与三角形、四边形有关的证明求解题
题型04锐角三角函数及其应用
几何初步与三角形题型01
1．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）
2．(2025·七台河茄子河·一模)如图，在中，D，E分别是，上的点，请你添加一个条件 ，使得．
3．(2025·齐齐哈尔·一模)把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
6．(2025·大庆景园中学·一模)一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
7．(2025·大庆三十六中·一模)下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．的平方根是2
D．是分数
8．(2025·哈尔滨双城·一模)如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距离墙，长，则梯子长为（ ）
A． B． C． D．
10．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，，，相交于O，，，则线段的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．7
11．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)在平面直角坐标系中，点P（m，m+1）不可能在第 象限．
12．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A． B． C． D．
13．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，在中，分别交、于点、，交于点，，，则的长为 ．
14．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
四边形题型02
1．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，四边形的对角线相交于点，．请添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．
2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在四边形中，，与互相平分于点．要使得四边形是正方形，则还需增加一个条件是 （只填一个答案即可）．
3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在四边形中，，点是的中点，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，矩形中，点为边的中点，连接，点为边上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为 ．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，在矩形中，，，点E，F分别为的中点，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
与三角形、四边形有关的证明求解题题型03
1．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)已知，在平行四边形中，点E，F在分别边，上，且于点H，于点G．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
2．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
3．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
4．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接．
(1)若，求证：四边形是矩形．
(2)在（1）的条件下，，，求的余弦值．
5．(2025·哈尔滨松北·一模)在数学综合与实践活动中，小松和小北两位同学用一副三角板进行探究．已知中，，．如图，过点作于，再将另一块三角板的直角顶点放在点处，并绕着点旋转，两条直角边分别交线段于点．
(1)小松通过观察论证发现结论：若点是的中点，则点也是中点．请完成该结论的证明．
(2)小北通过观察发现：在旋转过程中，的值始终保持不变．请直接写出这个定值：___________．
6．(2025·哈尔滨五常·一模)已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
7．(2025·大庆·一模)如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
(1)求证；
(2)若，求矩形的面积．
8．(2025·大庆景园中学·一模)如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求线段的长．
9．(2025·大庆三十六中·一模)如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
10．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在菱形中，对角线、交于点O，，将沿方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
11．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，连接并延长，延长线交于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若，，求的长．
锐角三角函数及其应用题型04
1．(2025·哈尔滨平房·一模)虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为 cm．
2．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．米
3．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在东西方向的海岸上有两个相距海里的码头，，某海岛上的观测塔距离海岸海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向匀速航行分钟至处，此时在处测得位于南偏东方向．
(1)求渔船的航行速度是多少？
(2)求渔船与观测塔之间的距离（精确到）（参考数据：，，，，，）
5．(2025·大庆·一模)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为，求电线塔的高度（结果保留根号）．
6．(2025·大庆景园中学·一模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
7．(2025·大庆三十六中·一模)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
9．(2025·大庆肇州五校联考·一模)成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：）
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专题05 三角形与四边形
题型概览
题型01几何初步与三角形
题型02四边形
题型03与三角形、四边形有关的证明求解题
题型04锐角三角函数及其应用
几何初步与三角形题型01
1．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）
【答案】或者（答案不唯一）
【解析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可．
解：所添加条件为：或；
①∵，，为公共边，
∴；
②∵，，为公共边，
∴；
故答案为：或（答案不唯一）．
2．(2025·七台河茄子河·一模)如图，在中，D，E分别是，上的点，请你添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【解析】本题考查相似三角形的判定，由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，即可使得．
解：在和中， ，
添加一组对应角相等可得，添加条件为：，或；
添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为，
添加，可证，，也可得；
因此添加的条件可以是：或或或．
故答案为：（答案不唯一）．
3．(2025·齐齐哈尔·一模)把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，据此求解即可．
解：如图所示，∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.
解：，
．
，
．
故选．
5．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
6．(2025·大庆景园中学·一模)一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
【答案】
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形对角线有条，据此求出多边形的边数，再根据多边形的内角和定理即可求解，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
解：设这个多边形是边形，由题意得：
，
∴，
∴这个多边形的内角和，
故答案为：．
7．(2025·大庆三十六中·一模)下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．的平方根是2
D．是分数
【答案】B
【解析】根据全等三角形的性质，角平分线的性质，算术平方根和平方根的意义，无理数的分类逐项分析即可．
解：A．面积相等的两个三角形不一定全等，故不正确；
B．角平分线上的点到角的两边距离相等，正确；
C．的平方根是，故不正确；
D．是无理数，故不正确；
故选B．
8．(2025·哈尔滨双城·一模)如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可．
解：∵，
，即，解得：．
．
故选C．
9．(2025·哈尔滨道外·一模)如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距离墙，长，则梯子长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点，则可得△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行求解即可．
解：如图，由题意设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点，
则，，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设，
则，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
故选：C．
10．(2025·哈尔滨松北·一模)如图，，，相交于O，，，则线段的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．7
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先由证得，应用相似三角形对应边的比相等得，再由证得，得到，求得的长，进而求得的长度．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
故选：A．
11．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)在平面直角坐标系中，点P（m，m+1）不可能在第 象限．
【答案】四
【解析】根据m取值范围，分情况讨论，可得点P所在的象限，即可解答．
解：根据m取值范围，分情况讨论：
解：①当﹣1＜m＜0时，m＜0，m+1＞0，
点P在第二象限，
②当m＝﹣1时，点P在x轴上，
③当m＜﹣1时，m＜0，m+1＜0，
点P在第第三象限，
④当m＝0时，点P在y轴上，
⑤当m＞0时，m+1＞0，
点P在第一象限，
∴不可能在第四象限．
故答案为：四．
12．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.
解：∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.
13．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，在中，分别交、于点、，交于点，，，则的长为 ．
【答案】4
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，由，，得四边形是平行四边形，，设，由，可得，即可解得答案．
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴,
故答案为：4．
14．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，熟练掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
由平行线的等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，得到，根据相似三角形的判定和性质推出，求出，即可得到的长．
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：C．
四边形题型02
1．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，四边形的对角线相交于点，．请添加一个条件： ，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
2．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在四边形中，，与互相平分于点．要使得四边形是正方形，则还需增加一个条件是 （只填一个答案即可）．
【答案】答案不唯一．如：
【解析】根据与互相平分于点，可得四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形，再添加，即可求解．
解：∵与互相平分于点，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
要使得四边形是正方形，可以添加（答案不唯一）
故答案为：答案不唯一．如：．
3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，在四边形中，，点是的中点，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等三角形，依据勾股定理求出的长度．延长，交延长线于，可证，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，从而求出的长．
解：如下图，延长，交延长线于，
∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意；
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选：D
5．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
解：分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
6．(2025·哈尔滨香坊·一模)如图，矩形中，点为边的中点，连接，点为边上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为 ．
【答案】
【解析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长交的延长线于点，过点作 于点，可证，可得，即得，得到，进而得到，利用勾股定理得，又由余角性质可得，由三角函数得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，延长交的延长线于点，过点作 于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，在矩形中，，，点E，F分别为的中点，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵点E、F分别为的中点，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：A．
与三角形、四边形有关的证明求解题题型03
1．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)已知，在平行四边形中，点E，F在分别边，上，且于点H，于点G．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）先证四边形是平行四边形，可得，EH⊥CF，FG⊥AE，可得，所以四边形EHFG为矩形，求得GE=FH；
（2）根据余角的性质，可得的余角，，则也是的余角，即可得到答案．
解：(1)证明:
∵四边形为平行四边形
∴
∵,
∴,
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∵，
∴
∴四边形为矩形
∴;
(2) ∵GF⊥AE，
∴，
∵，，
∴∠AEB=∠GAF，∠HCE=∠CFD=∠GAF，
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴
∴互余的角有: ．
2．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形：
（2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
3．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图1，菱形中，点是对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，若，点在线段上，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】(1)见详解
(2)或或
【解析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得，，然后证明，即可作答．
（2）根据菱形的性质得，，，然后结合等腰三角形的性质，进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答．
解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵是等腰三角形，
∴当时，如图所示：
∴，
∴；
∴当时，如图所示：
∴；
∴当时，如图所示：
∴；
综上：当是等腰三角形时，的度数为或或．
4．(2025·哈尔滨双城·一模)如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接．
(1)若，求证：四边形是矩形．
(2)在（1）的条件下，，，求的余弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可根据“”证明，则，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形；
（2）作于点，因为，，所以，，则，因为，所以，，由，求得，则，求得．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，延长交的延长线于点，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）作于点，则，
四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
的余弦值为．
5．(2025·哈尔滨松北·一模)在数学综合与实践活动中，小松和小北两位同学用一副三角板进行探究．已知中，，．如图，过点作于，再将另一块三角板的直角顶点放在点处，并绕着点旋转，两条直角边分别交线段于点．
(1)小松通过观察论证发现结论：若点是的中点，则点也是中点．请完成该结论的证明．
(2)小北通过观察发现：在旋转过程中，的值始终保持不变．请直接写出这个定值：___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是证明：
（1）根据斜边上的中线得到，进而推出为等边三角形，得到，进而推出为等边三角形，为等腰三角形，推出即可得出结果；
（2）证明，得到，利用三角函数求出的值，即可．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是中点；
（2）∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
6．(2025·哈尔滨五常·一模)已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；
（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A=，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，
∴BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，
∴，
∴DG=，
∴．
7．(2025·大庆·一模)如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
(1)求证；
(2)若，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质可得，继而得到，根据矩形的性质得到，继而得到，进而可证明是等边三角形，即可得到，进而求得，，即可求得矩形的面积．
证明：（1）∵在矩形中， ，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵，由（1）知，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，即点是矩形对角线的交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，，，
∴矩形的面积．
8．(2025·大庆景园中学·一模)如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得，，，从而证明四边形是菱形；
（2）作于H，证明是等边三角形，得出，，利用菱形的性质求出，进而求出，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，即可．
解：（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．(2025·大庆三十六中·一模)如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解．
解：（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2），
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
10．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在菱形中，对角线、交于点O，，将沿方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)5．
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．
（1）由平移的性质得：，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1）由平移的性质得：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
由平移可得，
∴在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
11．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，连接并延长，延长线交于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据菱形的性质得，，由平行线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和对顶角的性质可得，再根据等角对等边得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）过点A作于点H，由平行线的性质得，再根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可．
解：（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）过点A作于点H，
由（1）可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
锐角三角函数及其应用题型04
1．(2025·哈尔滨平房·一模)虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为 cm．
【答案】9
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解．
根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高．
解：设光屏上像的高度为．
在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比，
已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高），
根据比例关系，即，解得：，
故答案为：9．
2．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
3．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】/
【解析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
4．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，在东西方向的海岸上有两个相距海里的码头，，某海岛上的观测塔距离海岸海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向匀速航行分钟至处，此时在处测得位于南偏东方向．
(1)求渔船的航行速度是多少？
(2)求渔船与观测塔之间的距离（精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)海里小时
(2)海里
【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
（1）过点作，过点作，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，得出，进而求得的长，即可得出渔船的航行速度；
（2）在中，根据即可求解．
解：（1）过点作，过点作，则四边形是矩形，
，海里，
海里，
海里，
四边形是矩形，
海里，
在中，(海里)
海里
渔船的航行速度是海里小时
（2）在中，
海里．
5．(2025·大庆·一模)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为，求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】电线塔的高度为
【解析】本题考查了含角的直角三角形，解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据坡度比得，根据锐角三角函数得，所以，进而得，，过点作，垂足为，则，，设，则，根据解直角三角形的知识得，，又，列出关于的一元一次方程，解出的值，最后根据即可得解．
解：由题意，得，
斜坡的坡度，
，
在中，，
，
，
，，
如图，过点作，垂足为，
则，，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
电线塔的高度为．
6．(2025·大庆景园中学·一模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
【答案】阴影的长为3.3米
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角问题，过点作，交的延长线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
解：如图，过点作，交的延长线于，
则四边形为矩形，
，，
在中，米，，
则（米），（米），
（米），
米，米，
在中，米，，
则（米），
（米），
答：阴影的长约为3.3米．
7．(2025·大庆三十六中·一模)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)电线塔的高度．
【解析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
解：（1）∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
8．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】米
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．
解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴ ．
答：大桥的长度约为米．
9．(2025·大庆肇州五校联考·一模)成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：）
【答案】39米
【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
如图：过点D作，垂足为E，根据题意可得：米，设米，分别在和在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：如图：过点D作，垂足为E，
由题意得：米，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵，
∴，解得：，
∴米，
∴丹景阁主体高度AB的长约为39米．
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