专题04 函数（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 函数 题型概览 题型01自变量的取值范围 题型02函数图象信息题 题型03一次函数与反比例函数的图象和性质 题型04二次函数的图象和性质 题型05一次函数与反比例函数的实际应用 题型06一次函数反比例函数综合题 自变量的取值范围题型01 1．(2025·大庆景园中学·一模)若分式有意义，则的取值范围是 ． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 4．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)若分式有意义，则的取值范围是 . 6．(2025·哈尔滨道里·一模)函数：中，自变量x的取值范围是 ． 7．(2025·哈尔滨道外·一模)函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 8．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)函数中，自变量的取值范围是 ． 9．(2025·哈尔滨南岗·一模)若函数有意义，则x的取值范围是 ． 10．(2025·哈尔滨平房·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 11．(2025·哈尔滨十七中·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．(2025·哈尔滨双城·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13．(2025·哈尔滨松北·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 14．(2025·哈尔滨五常·一模)在函数中，自变量的取值是 ． 15．(2025·哈尔滨香坊·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 16．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)函数中，自变量的取值范围是 ． 17．(2025·佳木斯五中·一模)函数 中，自变量x的取值范围是 ． 18．(2025·七台河茄子河·一模)函数中，自变量的取值范围是 . 19．(2025·齐齐哈尔·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 20．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如果二次根式有意义，那么x应该满足的条件是 ． 21．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)函数的自变量取值范围是 ． 22．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)函数中，自变量x的取值范围是 ． 函数图象信息题题型02 1．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．(2025·大庆三十六中·一模)如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线 匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为42 D．当时，的面积为24 3．(2025·七台河茄子河·一模)等腰从如图所示的位置出发，向右水平移动，直到完全通过矩形，运动过程中与矩形重合部分的面积S随时间t变化的图象大致是（  ） A． B． C． D． 4．(2025·齐齐哈尔·一模)如图1，点E为正方形中边的中点．动点P从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到中点时，的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 5．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 8．(2025·哈尔滨道里·一模)市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 9．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A．16 B．20 C．36 D．45 10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．小涛家离报亭的距离是900m B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D．小涛在报亭看报用了15min 11．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   12．(2025·哈尔滨平房·一模)周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（   ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 13．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   14．(2025·哈尔滨双城·一模)生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A． B． C． D． 15．(2025·哈尔滨松北·一模)如图1，在中，，一动点从出发，沿着的路径向终点运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为与的函数图象如图2所示，则线段的长为（　　） A． B． C． D．4 16．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D． 一次函数与反比例函数的图象和性质题型03 1．(2025·哈尔滨香坊·一模)反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的值增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2 2．(2025·大庆·一模)反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．(2025·大庆三校摸底考试·一模)小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．自变量x的取值范围是 B．函数值y的取值范围是 C．函数的图象关于y轴对称 D．函数值y随x的增大而减小 4．(2025·大庆肇州五校联考·一模)在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．(2025·哈尔滨道里·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，反比例函数的图象在第二象限的一支如图所示，点在此图象上，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，若的面积为4，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 6．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    7．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 8．(2025·大庆·一模)如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，点在双曲线上，点在双曲线上．轴，过点作轴于点．连接，与相交于点，若．则的值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 10．(2025·佳木斯五中·一模)如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 11．(2025·七台河茄子河·一模)如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B，经过点D，则k的值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为20，则的值为 ． 13．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 14．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 15．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，矩形，顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点O为坐标原点，点B在函数的图象上，边与函数的图象交于点D，则阴影部分的面积为 ．    二次函数的图象和性质题型04 1．(2025·哈尔滨双城·一模)二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．(2025·哈尔滨松北·一模)抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 3．(2025·哈尔滨道外·一模)已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)抛物线与轴的交点坐标为 ． 5．(2025·哈尔滨阿城·一模)下列对二次函数的图象的描述，正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．函数的最小值是0 6．(2025·哈尔滨香坊·一模)将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．(2025·大庆三十六中·一模)二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．(2025·大庆肇州五校联考·一模)将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 9．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    10．(2025·哈尔滨道里·一模)抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 11．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 12．(2025·哈尔滨十七中·一模)已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 13．(2025·七台河茄子河·一模)若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（　　）． A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1 14．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)拋物线：和拋物线关于轴对称，则拋物线的解析式是 （填一般式） 15．(2025·大庆·一模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 16．(2025·大庆景园中学·一模)如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是 ． 一次函数与反比例函数的实际应用题型05 1．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    2．(2025·哈尔滨道外·一模)在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是 ． 3．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 4．(2025·哈尔滨南岗·一模)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 5．(2025·哈尔滨十七中·一模)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 6．(2025·哈尔滨双城·一模)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝ ． 7．(2025·哈尔滨松北·一模)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 8．(2025·哈尔滨五常·一模)在电路中，电压（单位：）保持不变，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻时，电流，则电阻时，电流 ． 9．(2025·齐齐哈尔·一模)一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（）与甲车行驶时间x（）的函数关系如图所示，请结合图像信息，解答下列问题： (1)A、C两地的距离为_________，甲车行驶速度为_________，乙车行驶速度_________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 10．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图①所示，在 A、B 两地之间有一车站 C，甲车从 A 地出发经 C 站驶往 B 地，乙车从 B地出发经 C 站驶往 A 地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离 C 站的路程， 与行驶时 间 之间的函数图像． (1)填空：a 的值为______ ，m 的值为_______ ， A、B两地的距离为_________． (2)请求出乙车离 C 站的路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围． (3)请直接写出乙车到达 A 地前，两车与车站 C 的路程之和等于 时行驶时间 x 的值． 11．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（ ），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为 ，乙的速度为 ； (2)直接写出图中a、b的值； (3)求出甲、乙两人相遇后，两人之间的距离s与行驶时间t之间的函数关系式； (4)直接写出甲出发多长时间后两人相距？ 12．(2025·大庆·一模)“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量单位：件)与线下售价单位：元件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表： x(元/件) 12 14 16 y(件) 1200 1000 800 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件． ①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围． 13．(2025·大庆景园中学·一模)某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在某种函数关系（其中，且为整数），且当时，；当时，；当时，；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为（元）． (1)请判断与符合哪种函数关系，并求与的函数表达式； (2)若该商店销售这种商品每天获利润480元，则每件商品的售价为多少元； (3)当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 14．(2025·大庆三十六中·一模)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． (1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 15．(2025·大庆三校摸底考试·一模)某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 16．(2025·大庆肇州五校联考·一模)某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 17．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)在一条笔直的公路上依次有三地，甲车从地出发匀速行驶到地，停留小时后掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速到达地，同时乙车从地出发匀速行驶到地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的距离（单位：千米）与甲车行驶时间（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，地与地之间的距离为________千米； (2)求甲车从地返回到地过程中与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距地的距离相等？请直接写出答案． 18．(2025·佳木斯五中·一模)在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； (2)求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 19．(2025·七台河茄子河·一模)甲乙两车同时从A地出发去相距240千米的B地运送物资，去时甲车的速度是乙车的倍，并且比乙车提前一个小时到达．到达后，乙车原路原速返回，甲车由于重载，放慢速度返回，计划和乙车同时到达A地．甲车在距离A地80千米时发现，有一包货物遗落在途中，便以60千米/小时的速度原路返回，找到，装好货物后立即赶往A地，恰好和乙车同时到达A地（装卸货时间忽略不计） (1) ， ． (2)求甲车拾到货物加速返回A地时的图象函数解析式． (3)直接写出甲乙两车在返回途中，最远相距多远？ 20．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 一次函数反比例函数综合题题型06 1．(2025·大庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 2．(2025·大庆景园中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数 的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数 的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 5．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 6．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 7．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A交y轴于点B， 的长是一元二次方程的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P．    (1)求直线的解析式； (2)点Q的坐标为，设的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若点E在直线上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．(2025·七台河茄子河·一模)如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式． (3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数 题型概览 题型01自变量的取值范围 题型02函数图象信息题 题型03一次函数与反比例函数的图象和性质 题型04二次函数的图象和性质 题型05一次函数与反比例函数的实际应用 题型06一次函数反比例函数综合题 自变量的取值范围题型01 1．(2025·大庆景园中学·一模)若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】直接利用分式的定义得出，进而得出答案． 解：∵分式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据分式有意义的条件：分母不等于零解答． 解：由题意得：， 解得， 故答案为： 3．(2025·大庆肇州五校联考·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】1 【解析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案． 解：∵式子在实数范围内有意义， ， ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 4．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 【答案】 【解析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)若分式有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义↔分母为零；（2）分式有意义↔分母不为零；（3）分式值为零↔分子为零且分母不为零． 分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案． 解：∵要使分式有意义，即分式分母不能为0， ∴，解得：． 故答案为：． 6．(2025·哈尔滨道里·一模)函数：中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 7．(2025·哈尔滨道外·一模)函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≤1 解：分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解： ∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 8．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】x≠ 解：因为分式要满足分母不能为0的条件,所以,即,故答案为:. 9．(2025·哈尔滨南岗·一模)若函数有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查求自变量的取值范围及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，即可求解． 解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(2025·哈尔滨平房·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了函数自变量的范围，分式有意义的条件，根据分式分母不等于零求解即可． 解：根据题意得， ∴． 故答案为：． 11．(2025·哈尔滨十七中·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了自变量的取值范围，根据分母部位零列式计算即可． 解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12．(2025·哈尔滨双城·一模)在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 解：由题意，得， 解得：， 故答案为：． 13．(2025·哈尔滨松北·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题主要考查函数自变量和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 14．(2025·哈尔滨五常·一模)在函数中，自变量的取值是 ． 【答案】 【解析】本题考查了函数自变量的范围，分式有意义的条件，根据分母不等于列式计算即可得解． 解：∵， ∴， 故答案为：． 15．(2025·哈尔滨香坊·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列不等式求解即可． 解：由题意得，， 解得 故答案为： 16．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得． 解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 17．(2025·佳木斯五中·一模)函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 18．(2025·七台河茄子河·一模)函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】 【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 解：依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 19．(2025·齐齐哈尔·一模)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不等于零，被开方数为非负数列出不等式组计算即可得出答案． 解：根据题意， 解得：， 故答案为：． 20．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如果二次根式有意义，那么x应该满足的条件是 ． 【答案】且 【解析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为零，可得出关于的不等式组，联立求解即可． 解：根据题意得：解得： 故x应满足且． 21．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)函数的自变量取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了函数的自变量的取值范围，解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据题意得到，求出，即可得到函数的自变量的取值范围． 解：根据题意得， 解得：， 函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 22．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零，被开方数非负列出不等式组，即可求解． 解：由题意知：， 解得：且 故答案为：且． 函数图象信息题题型02 1．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 2．(2025·大庆三十六中·一模)如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线 匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为42 D．当时，的面积为24 【答案】D 【解析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出的面积可判断D． 解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A不正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B不正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C不正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确，符合题意． 故选：D． 3．(2025·七台河茄子河·一模)等腰从如图所示的位置出发，向右水平移动，直到完全通过矩形，运动过程中与矩形重合部分的面积S随时间t变化的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据与矩形没有重合部分，重合部分为等腰直角三角形，重合部分为，重合部分为与等腰直角三角形的差可得大致的函数图象． 本题考查动点问题的函数图象．根据移动的位置得到大致的函数图象是解决本题的关键． 解：当点B与点G未重合前，随着时间的增长，与矩形没有重合部分，只有选项B符合； 如图1，与矩形有重合部分时，，可用次数为1的含t的式子表示，此时函数为开口向上的二次函数； 如图2：进入矩形内部，面积不变，为等腰的面积， 如图3，与矩形有重合部分时，等腰的面积，可用次数为1的含t的式子表示，此时函数为开口向下的二次函数． 故选：B 4．(2025·齐齐哈尔·一模)如图1，点E为正方形中边的中点．动点P从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到中点时，的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，，，此时，可得答案． 解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为， 则正方形的边长为4， ∴，， 当点P运动到中点时，为边的中点， ， 此时， 故选D 5．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝6cm，AD＝4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为xs（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得AF＝x，AE＝x，BE＝6﹣x，从而根据三角形的面积公式列式整理即可判断． 解：由题意得AF＝x，AE＝x， ∴BE＝6﹣x， 由三角形的面积公式得：y， 该函数是二次函数，且开口向下， 当x＝3时，y＝4.5，只有D选项符合题意， 故选：D． 6．(2025·哈尔滨阿城·一模)如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点A作AE⊥BC于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得AE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图象. 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝60°，设边AB的长为x， ∴AE＝AB•sin60°＝x． ∵平行四边形ABCD的周长为12 ∴BC＝（12﹣2x）＝6﹣x， ∴y＝BC•AE＝（6﹣x）×x＝﹣x2+x（0≤x≤6） 则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C选项符合题意． 故选C． 7．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 8．(2025·哈尔滨道里·一模)市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【解析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 9．(2025·哈尔滨道外·一模)如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A．16 B．20 C．36 D．45 【答案】B 【解析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积． 解：由图2可知： 当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4， 当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面积为4×5＝20． 故选：B． 10．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．小涛家离报亭的距离是900m B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D．小涛在报亭看报用了15min 【答案】D 解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意； B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意； C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意； D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意； 故选D． 11．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】此题考查动点问题的函数图象问题，当点在上时，易得的关系式；当点在上时，高不变，但底边在增大，所以的面积关系式为一个一次函数；当在上时，表示出的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可． 解：当点在上时，即， 此时， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 点在上时，即， 此时，底边上的高为， ，为一次函数，图象为直线；随的增大而增大，所以排除、； 当在上时，即， 此时，底边上的高为， ，为二次函数，图象为开口向． 故选：B． 12．(2025·哈尔滨平房·一模)周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（   ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 【答案】D 【解析】本题考查一次函数的应用，先根据图象计算出小海去超市前的速度，再计算出小海出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小海在超市购物用的时间． 解：设小海在超市购物用了分钟， 由图象可知，小海去超市前的速度为， 小海出超市后到社区所用的时间为， ∴小海在超市购物用的时间为， 故选：D． 13．(2025·哈尔滨十七中·一模)如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 14．(2025·哈尔滨双城·一模)生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定与的函数表达式，再分别求出、，然后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键． 解：当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 综上所述，与的函数表达式为：， 当时，，即； 当时，，即； ∴． 故选：C． 15．(2025·哈尔滨松北·一模)如图1，在中，，一动点从出发，沿着的路径向终点运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，的值为与的函数图象如图2所示，则线段的长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键在于根据函数图象获取需要的信息． 根据函数图象得到当点运动到点时，，即，当，此时点在上，路程，即，设，则再结合勾股定理求解，即可解题． 解： 的值为，， 由图知，当点运动到点时，，即， 当，此时点在上，路程，即， 设，则， ， ， 解得， 故选：C． 16．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【解析】本题根据点P运动，AD不变的条件进行逐项分析即可得出结论； 解：当点P由A运动到B时，△APD的面积逐渐增大； 当点P由B运动到C时，△APD的面积不变； 当点P由C运动到D时，△APD的面积逐渐减小； 再观察图形可得AB＜CD，故△APD的面积由小到大的时间应小于△APD的面积由大到小的时间． 故答案选D． 一次函数与反比例函数的图象和性质题型03 1．(2025·哈尔滨香坊·一模)反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的值增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2 【答案】A 【解析】根据反比例函数的性质得出k﹣2＜0，求出即可． 解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2． 故选：A． 2．(2025·大庆·一模)反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【解析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 3．(2025·大庆三校摸底考试·一模)小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．自变量x的取值范围是 B．函数值y的取值范围是 C．函数的图象关于y轴对称 D．函数值y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，逐一进行判断即可． 解：∵， ∴，， 即自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是，故选项A，B正确，不符合题意； 由图象可知，函数的图象关于y轴对称，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；故选项C正确，选项D错误； 故选D． 4．(2025·大庆肇州五校联考·一模)在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 5．(2025·哈尔滨道里·一模)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，反比例函数的图象在第二象限的一支如图所示，点在此图象上，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，若的面积为4，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】由的面积为4，根据反比例函数的性质，得，结合函数图象在二、四象限，确定k值即可． 解：由的面积为4， 根据反比例函数的性质，得， 由函数图象在二、四象限， 得． 故选：C． 6．(2025·哈尔滨南岗·一模)如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    【答案】 【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可确定不等式组的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 解：把代入， 可得， 解得， ， 由图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 7．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 8．(2025·大庆·一模)如图，为等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，连接并延长，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得，得到，作，交的延长线于点，可得，即得，最后由得到即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 9．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，点在双曲线上，点在双曲线上．轴，过点作轴于点．连接，与相交于点，若．则的值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【解析】过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，根据相似三角形的判定与性质证得，即，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 解：过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴，而， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 10．(2025·佳木斯五中·一模)如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点作轴于，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，，则，，即可得到点在双曲线上，再由点v也在双曲线上，得到，据此求解即可． 解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上 ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 故选：A． 11．(2025·七台河茄子河·一模)如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B，经过点D，则k的值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】根据，设，，则，证明和全等得，设，则点，根据得，再将点代入之中即可得出k的值． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，矩形的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 解：：：3， 设，， ， 四边形ABCD是矩形，轴， 轴，轴， ， 矩形对角线的交点M在x轴上， ， 在和中， ， ≌， ， 设， 点B的坐标为， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 故选：B 12．(2025·齐齐哈尔·一模)如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为20，则的值为 ． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作轴于点E，过点作轴于点F，证明再设，，把，分别代入，化简得，再结合菱形的性质得，则，，，结合面积的关系，故，整理，因为四边形的面积为20，则，解出的值，即可作答． 解：过点A作轴于点E，过点作轴于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴ ∵点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点， ∴设，， ∴， ∴ ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ∴， 连接， ∵四边形为菱形， ∴与垂直平分， 即， 故点E在上， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 【答案】6 【解析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解． 解：过点作轴，过点作轴，则， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ． 故答案为：6． 14．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】8 【解析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据题意可得轴，由点在双曲线上，可求出，进而求出，最后根据反比例函数的几何意义求解即可． 解：如图，延长交轴于点， 轴， 轴， 又点在双曲线上， ， 的面积为， ， 点在双曲线上， ， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)如图，矩形，顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点O为坐标原点，点B在函数的图象上，边与函数的图象交于点D，则阴影部分的面积为 ．    【答案】3 【解析】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义可知：的面积为1，矩形的面积为4，从而可以求出阴影部分的面积． 解：∵D是反比例函数图象上一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：的面积为． ∵点B在函数的图象上，四边形为矩形， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形的面积为4． ∴阴影部分的面积矩形的面积的面积． 故答案为：3． 二次函数的图象和性质题型04 1．(2025·哈尔滨双城·一模)二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 2．(2025·哈尔滨松北·一模)抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为可直接得到答案． 解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 3．(2025·哈尔滨道外·一模)已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点为即可求解． 解：抛物线的顶点左边为． 故选：B 4．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把代入函数解析式，求出y的值，即可得出答案． 解：把代入函数解析式得：， ∴与轴的交点坐标为． 故答案为：． 5．(2025·哈尔滨阿城·一模)下列对二次函数的图象的描述，正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．函数的最小值是0 【答案】C 【解析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，当时，，由此即可得解． 解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，故ABD错误， 当时，，故C正确； 故选：C． 6．(2025·哈尔滨香坊·一模)将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 解：将抛物线向左平移2个单位得到抛物线， 再向上平移3个单位，得到抛物线， 故选：B． 7．(2025·大庆三十六中·一模)二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解：本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先根据抛物线的位置确定的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置即可解答． 【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，因此； ∴双曲线的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以； 对称轴，所以； 抛物线与x轴有两个交点，故； ∴直线经过第一、二、四象限． 故选：D． 8．(2025·大庆肇州五校联考·一模)将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来进行求解． 解：将抛物线向左平移2个单位， 得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 9．(2025·哈尔滨巴彦·一模)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【解析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 10．(2025·哈尔滨道里·一模)抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 11．(2025·哈尔滨平房·一模)如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 12．(2025·哈尔滨十七中·一模)已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 13．(2025·七台河茄子河·一模)若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（　　）． A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1 【答案】D 【解析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案． 解：当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点； 当a﹣1≠0时，根据题意得 解得a＝-1或a＝2 综上所述，a的值为-1或2或1． 故选：D． 14．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)拋物线：和拋物线关于轴对称，则拋物线的解析式是 （填一般式） 【答案】 【解析】本题考查了二次函数的性质，理解轴对称变换的特点是解题的关键，根据关于轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 解：拋物线：和拋物线关于轴对称， 拋物线关于轴对称的点即拋物线上的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 即， 拋物线的解析式是， 故答案为：． 15．(2025·大庆·一模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 16．(2025·大庆景园中学·一模)如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是 ． 【答案】 【解析】求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可． 解：当y=0时，0 =， 解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0）， 所以M点坐标为（1，0）， 由抛物线y =可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3， ∵N是PE的中点， ∴∠MNE=90°， ∴点N在以EM为直径的圆上， 当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆， 由坐标可知EM=3， 点N运动的路径长为：， 故答案为：． 一次函数与反比例函数的实际应用题型05 1．(2025·哈尔滨巴彦·一模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【解析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 2．(2025·哈尔滨道外·一模)在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数的应用，理解函数图形，根据图示求自变量取值范围的方法是关键． 根据函数图象，由函数值求自变量取值范围即可． 解：根据函数图象可知，当时，电流， ∴当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是， 故答案为： ． 3．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 4．(2025·哈尔滨南岗·一模)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵，， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 5．(2025·哈尔滨十七中·一模)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【解析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案． 解：由题意可知，；；；；，… 由此可得出p和V的函数关系是为： 故选：D． 6．(2025·哈尔滨双城·一模)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝ ． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 解：设反比例函数的解析式为， 将代入得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 7．(2025·哈尔滨松北·一模)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 8．(2025·哈尔滨五常·一模)在电路中，电压（单位：）保持不变，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻时，电流，则电阻时，电流 ． 【答案】 【解析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解． 解：由题意可设，把时，代入得：， ∴， 把代入得：； 故答案为：． 9．(2025·齐齐哈尔·一模)一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（）与甲车行驶时间x（）的函数关系如图所示，请结合图像信息，解答下列问题： (1)A、C两地的距离为_________，甲车行驶速度为_________，乙车行驶速度_________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 【答案】(1)420；100；60 (2) (3)小时或小时 【解析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可； （2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可． 解：（1）由图像可知，A、C两地的距离为， B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为 ， ∵乙车比甲车早小时到达目的地， ∴甲车行驶总时间为， ∴甲车行驶速度为． 故答案为：420；100；60； （2）由（1）可知，甲车行驶速度为， 则点的纵坐标为，即， 两车相遇的时间为， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当甲车到达B地前，可有， 解得， 当甲车到达B地后，可有， 解得， ∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 10．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)如图①所示，在 A、B 两地之间有一车站 C，甲车从 A 地出发经 C 站驶往 B 地，乙车从 B地出发经 C 站驶往 A 地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离 C 站的路程， 与行驶时 间 之间的函数图像． (1)填空：a 的值为______ ，m 的值为_______ ， A、B两地的距离为_________． (2)请求出乙车离 C 站的路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围． (3)请直接写出乙车到达 A 地前，两车与车站 C 的路程之和等于 时行驶时间 x 的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【解析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，熟练掌握路程、速度、时间的关系，一次函数图象关键信息，求出甲，乙速度是解题的关键． （1）先求出甲的速度，利用路程=速度×时间，可求a的值, m的值, A、B的距离； （2）分和两种情况，利用待定系数法可求解析式； （3）分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 解：（1）∵甲的速度， ∴的距离 ， ， ∴乙车速度 ， ， 故答案为: ，，； （2）由（1）可知，，， ∴当时，设解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为：； 当时，设乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式 ， 则， 解得， ∴； 综上所述，函数关系式为； （3）当时，， 解得， 当 时，， 解得， 综上所述：当或时，两车与车站的路程之和等于． 11．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（ ），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为 ，乙的速度为 ； (2)直接写出图中a、b的值； (3)求出甲、乙两人相遇后，两人之间的距离s与行驶时间t之间的函数关系式； (4)直接写出甲出发多长时间后两人相距？ 【答案】(1)40；80； (2)； (3) (4)小时或小时 【解析】此题主要考查了一次函数的应用，读函数图像时，首先要理解横纵坐标表示的含义，这是解题的关键． （1）根据图象知，甲行驶全程120千米时间为3小时可得甲的速度，根据时乙到达终点列方程可得乙的速度； （2）根据甲的速度可得a的值，根据甲、乙的速度可得b的值； （3）由（2），结合待定系数法求出函数解析式即可； （4）根据题意分相遇前两人相距和相遇后两人相距两种情况求解即可． 解：（1）根据图象知，甲行驶全程120千米时间为3小时， ∴甲的速度为 ， 当时，乙到达终点，则乙的速度为 ， 故答案为：40；80； （2）由（1）可知，； ； （3）当时，设，（） 将代入得：， 解得：， 所以（）； 当时，设，（） 将代入得：， 解得：， 所以（）； 综上： （4）设x小时后两人相距，根据题意， 得或， 解得， ∴甲出发小时或小时后两人相距． 12．(2025·大庆·一模)“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量单位：件)与线下售价单位：元件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表： x(元/件) 12 14 16 y(件) 1200 1000 800 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件． ①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)①当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为7300元； ② 【解析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． （1）根据线下的月销量单位：件)与线下售价单位：元件，满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式； （2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润； ②根据题意，可以得到线下月利润与线上月利润的差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围． 解：（1）设， 由表格信息可得， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）设线下利润为元，线上利润为元， 根据题意，得， ， ①设线上和线下月利润总和为w元， 根据题意，得 ， ∵，， ∴当时，w最大，最大值为元， 答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为元； ②线下月利润与线上月利润的差为W元， ， 令，则， 解得， ∴当时，W的值不小于800， 又∵， ∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是． 13．(2025·大庆景园中学·一模)某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在某种函数关系（其中，且为整数），且当时，；当时，；当时，；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为（元）． (1)请判断与符合哪种函数关系，并求与的函数表达式； (2)若该商店销售这种商品每天获利润480元，则每件商品的售价为多少元； (3)当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)一次函数； (2)14 (3)15；525 【解析】（1）根据题意即可判断出与的关系，设一次函数关系式，将和的值分别代入，即可求出二者之间的函数表达式． （2）利用利润=每件的利润总件数，列出一元二次方程即可求出每件商品的售价，再根据取值范围即可求解． （3）根据二次函数的图像与性质和取值范围，即可判断出售价多少时利润最大，确定好售价，即可求出最大利润值． 解：（1）解：与符合一次函数关系． 设与的函数表达式， 将，和，代入得， ． 与的函数表达式． 故答案为：一次函数；． （2）解：由题意知，利润， ， ． 令， ， 或（舍去）． 每件商品的售价为14元． 故答案为：14． （3）解：， ，开口方向向下， 时，随的增大而增大， 时，利润最大，且利润． 每件商品的售价为15元时，每天的利润最大，且最大利润是525元． 14．(2025·大庆三十六中·一模)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． (1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 【答案】(1)； (2)①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②或． 【解析】（1）根据函数图像分两种情况，时y为常数，时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可； （2）先求出x的范围； ①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案； ②分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案． 解：（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积m2时，费用y保持不变，为30（元/m2）， 所以此区间的函数关系式为：， 当甲种花卉种植面积m2时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， ∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得： ， 解得：， ∴ ∴当时，y与x的函数关系式应为： ； （2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2， ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ， 即， ①当时， 由（1）知，， ∵乙种花卉种植费用为15元/m2． ， ∴当x=90时，， ， ∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②当时， 由①知，， ∵种植总费用不超过6000元，， ， 即满足条件的x的范围为， 当时， 由①知，， ∵种植总费用不超过6000元， ， （不符合题意，舍去）或， 即满足条件的x的范围为 综上，满足条件的x的范围为或. 15．(2025·大庆三校摸底考试·一模)某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 【答案】(1) (2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． 【解析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式； （2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答． 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵点、、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设面积为S， 则 ， ∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． 16．(2025·大庆肇州五校联考·一模)某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 解：（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 17．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)在一条笔直的公路上依次有三地，甲车从地出发匀速行驶到地，停留小时后掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速到达地，同时乙车从地出发匀速行驶到地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的距离（单位：千米）与甲车行驶时间（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，地与地之间的距离为________千米； (2)求甲车从地返回到地过程中与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距地的距离相等？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)小时或小时或小时 【解析】（）根据函数图象求出甲的速度，进而可求出地到地之间的距离，据此可求出乙车的速度； （）设甲车从地返回到地过程中与的函数解析式为，由（）可得，甲车由地返回到地需要的时间为小时，即得甲车返回到地时在轴对应的时间为，再利用待定系数法即可求解； （）设甲车行驶小时甲、乙两车距地的距离相等，分三种情况：①甲、乙两车相遇前；②甲、乙两车第一次相遇时；③甲、乙两车第二次相遇时；分别列出方程解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 解：（1）由函数图象可得，地距离地千米， ∴甲车的速度为千米/时， 甲车由地到地用时小时， ∴地到地之间的距离为千米， 乙车由地到地用时小时， ∴乙车的速度为千米/时， 故答案为：，； （2）设甲车从地返回到地过程中与的函数解析式为， 由（）可得，甲车由地返回到地需要的时间为小时， ∴甲车返回到地时在轴对应的时间为， 把 代入得， ， 解得， ∴所求的函数解析式为； （3）设甲车行驶小时甲、乙两车距地的距离相等， ①甲、乙两车相遇前， 由题意得，， 解得； ②甲、乙两车第一次相遇时， 由题意得，， 解得； ③甲、乙两车第二次相遇时， 由题意得，， 解得； 答：甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车距地的距离相等． 18．(2025·佳木斯五中·一模)在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； (2)求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 【答案】(1)， (2) (3)乙车出发、或时，两车相距 【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设与之间的函数解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为 ； 由题意可得，，， ∴乙车出发，行驶， ∴乙车行驶速度为 ， 故答案为：， （2）设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数解析式为， （3）设乙车出发时，两车之间的距离是， ∵， ∴乙车出发时，两车相距， 当两车相遇前相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 当两车相遇后相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距，此时甲车刚到达地， 当甲车从地出发时，乙车出发， ∴两车相距， 当两车相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 综上所述：乙车出发、或时，两车相距． 19．(2025·七台河茄子河·一模)甲乙两车同时从A地出发去相距240千米的B地运送物资，去时甲车的速度是乙车的倍，并且比乙车提前一个小时到达．到达后，乙车原路原速返回，甲车由于重载，放慢速度返回，计划和乙车同时到达A地．甲车在距离A地80千米时发现，有一包货物遗落在途中，便以60千米/小时的速度原路返回，找到，装好货物后立即赶往A地，恰好和乙车同时到达A地（装卸货时间忽略不计） (1) ， ． (2)求甲车拾到货物加速返回A地时的图象函数解析式． (3)直接写出甲乙两车在返回途中，最远相距多远？ 【答案】(1)3，4 (2) (3)最远相距48千米 【解析】利用图象得到乙车去与返回的速度相同，且乙车的总时间为8小时，再利用甲车比乙车提前一个小时到达的条件解答即可； 利用的结论求得甲车速度，设甲车返回的路程是x千米，列方程求得x值，得到点C坐标，最后利用待定系数法解答即可； 利用待定系数法求得，的解析式，再利用一次函数的性质解答即可． 本题主要考查了一次函数的图象与性质，点的坐标的特征，一次函数的应用，利用函数图象提炼信息是解题的关键． 解：（1）由题意，乙车去与返回的速度相同，且乙车的总时间为8小时， 乙车到达B地时用时4小时，即， 甲比乙车提前一小时到达， 故答案为：3，4； （2）甲车计划和乙车同时返回A地， 甲返回时候的速度是千米/小时． 设甲车返回的路程是x千米，则有：， ， 可得D的坐标是，， 设，代入D、E坐标可得： ， 甲车拾到货物加速返回A地时的图象函数解析式为 （3）甲乙两车在返回途中，最远相距48千米． 小时， ， 由题意：， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 甲乙两车在返回途中，相距的路程为， ，， 当时，相距的路程取得最大值为48， 甲乙两车在返回途中，最远相距48千米． 20．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 【答案】（1）；（2）甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；（3）千克． 【解析】（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式． （2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量． （3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值． 解：（1）当时，设y=kx， 将（50，1500）代入得1500=50k， 解得k=30， 所以； 当时，设y=k1x+b， 将（50，1500）、（70，1980）分别代入得 ， 解得：， 所以； 综上； （2）甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克 ①40≤x≤50 w=30x+（100－x）×25 =5x+2500 ∵k＞0 ∴当x=40时，w有最小值为2700； ②50＜x≤60， w=24x+300+（100－x）×25， =﹣x+2800， ∵k＜0， ∴当x=60时w有最小值为2740， ∵2700＜2740， ∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少； （3）由题可设甲为 ，乙为； 当0≤≤50时，即0≤a≤125 则甲的进货价为30元/千克， ×（40－30）＋×（36－25）≥1650， ∴a≥ ＞125， 与0≤a≤125矛盾，故舍去， 当＞50时，即a＞125， 则甲种水果的进货总成本是( 9.6a+300 )元 ×40－(×24+300)+×（36－25）≥1650， ∴a≥150 ， ∴a的最小值为150 一次函数反比例函数综合题题型06 1．(2025·大庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式 （3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 解：（1） 的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 过，， ， 解得， 直线解析式为：； （3）设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 2．(2025·大庆景园中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 解：（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 3．(2025·大庆三十六中·一模)如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)点E的坐标为 【解析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 解：（1）将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； （2）设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； （3）设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数 的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数 的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或． (3) 【解析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 解：（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立， 解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移6个单位， ∴， 直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 5．(2025·大庆肇州五校联考·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【解析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 6．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形． 【解析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可； （3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案． 解：（1）∵， ∴， 解得：，， ∵和的长分别是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）如图，当，时，则， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 同理可得：时不符合题意，舍去； 综上：当或时，为直角三角形． 7．(2025·佳木斯五中·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A交y轴于点B， 的长是一元二次方程的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P．    (1)求直线的解析式； (2)点Q的坐标为，设的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若点E在直线上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)存在．点的坐标为或 【解析】（1）先根据题意确定A、B的坐标，然后再运用待定系数法求解即可； （2）先说明可得，进而确定P，则直线的解析式为，然后与直线的解析式联立求得，然后分和两种情况解答即可； （3）分矩形一边和对角线两种情况，分别画出图形，根据矩形的性质进行解答即可． 解：（1）解方程，得，． ∵， ∴，． ∴， 设直线的解析式为． ∴解得 ∴直线的解析式为． （2）∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵点B关于原点的对称点为点C， ∴． ∴,． ∴． ∴P． ∴直线的解析式为． ∴解方程组得 ∴． 当时，； 当时，． 综上所述，． （3）存在，求解如下： ①如图：当矩形一边时，过C作交于E，分别过E、B作相交于点F ∵， ∴点E的纵坐标为1，则有，解得：， ∴,即点F的横坐标为1， ∵， ∴点F的纵坐标为， ∴；    ②如图：当矩形的对角线时，分别过C、B作相交于点F ∴相互平分, ∵过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P． ∴点E和点D重合， ∵， ∴, ∵点B关于原点的对称点为点C， ∴点E、点F关于原点的对称， ∴． 综上，存在点F,使B，C，E，F为顶点的四边形是矩形.    8．(2025·七台河茄子河·一模)如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式． (3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或或或 【解析】先解方程得到，，再求出D点坐标，最后由待定系数法求解析式即可； 分为：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，分别列面积表达式求解即可； 由点P是直线上一点，设，从而，，再分别判定以A、B、P三点的三角形为等腰三角形，列方程得到P点坐标，再由平行四边形性质推出点M的坐标，注意分类讨论即可． 解：（1）， 解得，， 、的长分别是方程的两个根， ， 由折叠可知，， ， 则由待定系数法可得直线的直线解析式为 （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形， 故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形， 故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积， 即 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为 （3）点P是直线上一点，设， 又，， ，， ， ①当时，即，解得， ，， 此时可得， ②当时，即，解得或与A重合，舍去， 即，此时可得 ③当时，即，解得， 即，此时可得 综上，M的坐标为或或或 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$