专题03 方程与不等式（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 专题03 方程与不等式 题型概览 题型01不等式（组） 题型02分式方程 题型03一元二次方程 题型04方程（组）及不等式（组）的实际应用 不等式（组）题型01 1．(2025·哈尔滨道里·一模)不等式组的解集是 ． 【答案】 【解析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组， 熟练掌握解题步骤是解题的关键． 解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)不等式组的解集为 ． 【答案】 【解析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，据此即可解答． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 3．(2025·哈尔滨道外·一模)不等式组的整数解有 个． 【答案】 【解析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 4．(2025·哈尔滨十七中·一模)解不等式组的解集是 ． 【答案】x>2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式 得：x＞-3， 解不等式x-2＞0，得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 5．(2025·哈尔滨双城·一模)不等式组的解集是 ． 【答案】 【解析】分别解不等式，然后确定其解集的公共部分为不等式组的解集． 解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为：． 6．(2025·哈尔滨平房·一模)不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故选：． 7．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值． 解：解不等式2x+a≤1得：, 不等式有两个正整数解，一定是1和2， 根据题意得： 解得：-5＜a≤-3． 故选C． 8．(2025·哈尔滨南岗·一模)不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 故选：． 9．(2025·大庆景园中学·一模)如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式的解集得出，进而即可求解． 解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且为整数， ∴， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：B． 10．(2025·大庆·一模)已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【解析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键． 先求解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解得，进而得到满足条件的整数的值，再求和即可． 解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有个整数解， ， ， 所有满足条件的整数的值分别为，，，，， 所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 11．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)不等式组 的解集是 ． 【答案】-1<x≤ 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 12．(2025·哈尔滨松北·一模)不等式组的解集是 ． 【答案】 【解析】此题考查了解不等式组，先解每一个不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的规律可求得不等式的解集． 解：， 由得：， 由得：， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 13．(2025·七台河茄子河·一模)不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解不等式组，解得，根据不等式组无解，即可求m的值． 本题考查的是不等式组的整数解和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 解：不等式组无解， 无解， 故答案为： 14．(2025·大庆三十六中·一模)若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 15．(2025·大庆肇州五校联考·一模)若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 16．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知关于的不等式组只有个整数解，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】此题需要首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 解：解不等式x-m≥0得：x≥m， 解不等式5-2x＞1得：x＜2， ∵此不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为-1，0，1， ∴m的取值范围是-2＜m＜-1， ∵当m=-2时，不等式组的解集为-2≤x＜2，此时有4个整数解，舍去， 当m=-1时，不等式组的解集为-1≤x＜2，此时有3个整数解，符合要求． ∴实数m的取值范围是-2＜m≤-1． 故答案为：-2＜m≤-1． 17．(2025·佳木斯五中·一模)如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 故答案为：． 18．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．根据是不等式的解，不是不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 解：依题意， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 19．(2025·大庆三校摸底考试·一模)计算： 解不等式组． 【答案】 【解析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解此题的关键．分别求出每个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了即可得出解集． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 分式方程题型02 1．(2025·哈尔滨阿城·一模)方程=的解是 ． 【答案】 【解析】方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解． 解：方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：时， ， 所以分式方程的解为， 故答案为：． 2．(2025·哈尔滨平房·一模)方程的解是 ． 【答案】x=2 【解析】先把方程化为整式方程为2x-（x+2）=0，解方程得x=2，把x=2代入x（x+2）≠0，可知x=2是原分式方程的解. 解：方程两边分别乘以 整理得：2x-（x+2）=0， 解得x=2， 把x=2代入x（x+2）≠0， ∴x=2是原分式方程的解.： 故答案为x=2. 3．(2025·哈尔滨松北·一模)分式方程的解是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)解分式方程：； 【答案】 【解析】本题考查分式方程，方程两边都乘，求出整式方程的解，再进行检验即可． 解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 即分式方程的解是． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)小琪解关于x的方程，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为，则k的值为（    ） A． B．2 C．－1 D．－3 【答案】A 【解析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程，将代入方程即可求解． 解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：， 将代入方程得：， 解得：， 故选：A． 6．(2025·大庆三校摸底考试·一模)若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 【答案】且 【解析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可． 解：方程两边同时乘以， 根据题意且 ∴ ∴ ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a＞﹣6 C．a＞﹣6且a≠﹣4 D．a＜6且a≠﹣4 【答案】C 【解析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可． 解：原分式方程可化为：， 去分母，得x+2﹣2x+4＝﹣a， 解得x＝a+6， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴， 解得：a＞﹣6且a≠﹣4． 故选：C． 8．(2025·佳木斯五中·一模)若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 9．(2025·七台河茄子河·一模)若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 【答案】C 【解析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 10．(2025·齐齐哈尔·一模)若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】D 【解析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况即可求出 取值范围 解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 故选：D 11．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【解析】解：方程两边同时乘以得： ， ， ， ， 解为非正数， ， ． ∵， ∴，解得：， 综上：． 故选：A． 12．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】C 【解析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求出的值，即可得到答案． 解：原分式方程可化为：， 两边同时乘以， 得：， 整理得：， 分式方程无解，， 故①整式方程无解，即， ； ②分式方程有增根，即， 把或分别代入， 解得或， 故m的值为或或， 故选C． 一元二次方程题型03 1．(2025·大庆三校摸底考试·一模)解方程：． 【答案】， 【解析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，． 2．(2025·齐齐哈尔·一模)解方程： 【答案】， 【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 3．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)解方程： 【答案】， 【解析】本题考查了解一元二次方程，将方程左边去括号进行化简是解题的关键．将方程左边先去括号，合并同类项，再用提公因式法解一元二次方程． 解： 解得：，； 4．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ． 【答案】16 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，化简所求代数式，代入即可得到结果． 解：∵方程的两根分别为a和b， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 6．(2025·哈尔滨道里·一模)一元二次方程a2x2+2(a+1)x+1=0有实数根，则a的取值范围是（    ） A．a≤- B．a≥- C．a≥-且a≠0 D．a≤且a≠0 【答案】C 解：试题解析：因为一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1=0有实数根， 所以有，即，解得a≥-，且a≠0， 故选C． 7．(2025·佳木斯五中·一模)若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程实数根的情况求参数，先由两个不相等实数根得，结合一元二次方程的定义，即可作答． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ 则且 故选：C 8．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)已知是方程的两根，则的值为 【答案】 【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再将其代入中即可求出结论． 解：∵是方程的两根， ，， ， ∴． 故答案为：． 方程（组）及不等式（组）的实际应用题型04 1．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得 ． 【答案】 【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则现在平均每天生产万件，由现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天建立方程． 解：设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得：， 故答案为：． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 解：根据题意，得， 故选：B． 3．(2025·大庆景园中学·一模)某产品进价为每件400元，商店标价为每件500元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于，则商店最低可按（    ）折出售． A．7.5 B．8 C．9 D．8.5 【答案】C 【解析】设该商品打x折销售，根据利润等于售价减去进价，结合利润率不低于，列一元一次不等式求解即可． 解：设该商品打x折销售，由题意得， ， 解得：， ∴商店最低可按9折出售． 故选：C． 4．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利，则这批服装每件的标价为 元． 【答案】325 【解析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这批服装每件的标价为x元，根据利润折扣价进价列出方程求解即可． 解：设这批服装每件的标价为x元， 由题意得， 解得， ∴这批服装每件的标价为325元， 故答案为：325． 6．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是10队． 故选：C． 7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)为了锻炼身体，小明计划购买毽子和跳绳两种体育用品（两种都买），共花费15元，毽子单价2元，跳绳单价3元，则购买方案有（    ） A．5种 B．3种 C．2种 D．无数种 【答案】C 【解析】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键． 设毽子能买个，跳绳能买根，依据“某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费15元，毽子单价2元，跳绳单价3元”列出方程，并解答． 解：设毽子能买个，跳绳能买根， 根据题意可得：， ， ∵、都是正整数， ， ， ∴购买方案有2种． 故选：C． 8．(2025·佳木斯五中·一模)要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】对换法进行列举，即可进行解题． 解：换法有：2张5元；1张5元，5张1元；10张1元． 共三种换法， 故选：C． 9．(2025·齐齐哈尔·一模)“扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（   ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【答案】C 【解析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 解：设用个大箱，个小箱， ∴， ∴ ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选：C． 10．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)社区王阿姨准备花90元钱购买酒精或消毒液，酒精每瓶10元，消毒液每瓶6元，则王阿姨的购买方案有（　　　）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【解析】设每次购买酒精x瓶，购买消毒液y瓶，根据等量关系酒精单价×瓶数+消毒液单价×瓶数=总金额90元，可列出二元一次方程，结合题意及生活实际，瓶数应为非负整数，求解即可得到结论． 解：设每次购买酒精x瓶，购买消毒液y瓶，根据题意，得 ∵准备购买酒精或消毒液 ∴x，y为非负整数 ∴或或或 ∴王阿姨的购买方案有4种． 故选：C． 11．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 解：设购买笔记本本，水性笔支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 两种物品都买， 有两种购买方案， 故答案为：D． 12．(2025·七台河茄子河·一模)为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（  ）种． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地，利用总价=单价数量，结合总价不超过6000元，可列出关于a，b的二元一次不等式，结合a，b均为正整数，可得出此时学校有5种建设方案；当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地，利用总价=单价数量，结合总价不超过6000元，可列出关于c，d的二元一次不等式，结合c，d均为正整数，可得出此时学校有1种建设方案，再将两种情况下的建设方案相加，即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． 解：当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地， 根据题意得：， ， 又，b均为正整数， 或或或或， 此时学校有5种建设方案； 当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地， 根据题意得：， ， 又，d均为正整数， ， 此时学校有1种建设方案． 综上所述，学校共有种建设方案． 故选：C 13．(2025·七台河茄子河·一模)元旦假期，小明和同学们去冰雪大世界游玩．已知门票每张150元，且有两种优惠方式，①20人以上（含20人）可以团购，每张票价120元；②10人以上，超出10人的部分，打七折，其他人原价．小明和同学们通过计算发现，他们按两种方式购票花费一样多，则小明和同学们一共有 人． 【答案】30 【解析】设小明和同学们一共有x人，分及两种情况考虑，根据他们按两种方式购票花费一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 解：设小明和同学们一共有x人， 当时，， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， 解得： 小明和同学们一共有30人． 故答案为：30 14．(2025·大庆·一模)长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车．该项工程使用我因自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米． 【答案】正常路段盾构机每天能掘进米． 【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，正常路段盾构机每天能掘进米，则全风化泥岩和粉质粘土路段，每天每天能掘进千米，根据打通这段路段比正常路段施工多用了天列方程，求解即可． 解：设正常路段盾构机每天能掘进米，则全风化泥岩和粉质粘土路段，每天每天能掘进千米，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：正常路段盾构机每天能掘进米． 15．(2025·大庆景园中学·一模)某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮，在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2100元购进种图书和用2520元购进种图书的本数相同．，两种图书每本的进价各是多少元？ 【答案】种图书30元，种图书36元 【解析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设种图书元，种图书元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可． 解：设种图书元，种图书元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根切符合题意， ， 答：种图书30元，种图书36元． 16．(2025·大庆三十六中·一模)2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品 【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等列出分式方程，解方程即可． 解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品． 17．(2025·大庆肇州五校联考·一模)阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 【答案】10元 【解析】本题考查了分式方程的应用，设第一批跳绳每个进价是元，则第二批跳绳每个的进价是元，根据第二次购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同列出分式方程求解即可． 解：设第一批跳绳每个进价是元，则第二批跳绳每个的进价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：第一批跳绳每个进价是10元． 18．(2025·大庆三校摸底考试·一模)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 19．(2025·哈尔滨阿城·一模)多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】(1)每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； (2)至少要购进A型早餐机5台． 【解析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 解：（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 20．(2025·哈尔滨巴彦·一模)2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板。若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元． (1)求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元？ (2)若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套？ 【答案】(1)700元和900元 (2)61套 【解析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元，根据“若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元”建立二元一次方程组求解； （2）设购进单板雪板套，根据“该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套”建立不等式求解． 解：（1）设购进单板雪板的单价元，购进双板雪板单价元， 依题意得， 解得 答：购进单板雪板和双板雪板的单价分别是700元和900元； （2）设购进单板雪板套， 依题意得：， 解得 为正整数 的最小值为61 答：单板雪板至少要购进61套． 21．(2025·哈尔滨道里·一模)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和显示器，若购进电脑机箱5台和显示器4台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和显示器5台，共需要资金7900元． (1)求每台电脑机箱和显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种电脑机箱和显示器共50台，用于购买这两种电脑机箱和显示器的资金不超过36000元．求最多能购进多少台显示器？ 【答案】(1)每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元 (2)20台 【解析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价； （2）根据题意列不等式计算即可求解． 解：（1）设每台电脑机箱的进价为元，每台显示器的进价是元， 根据题意得：， 解方程组得：， 答：每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元． （2）设购进台显示器， 根据题意得：， 解不等式得：， 答：最多能购进20台显示器． 22．(2025·哈尔滨道外·一模)列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】(1)120千克，100千克 (2)480千克 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 解：（1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得，   经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． （2）设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 23．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； (2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 【答案】(1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元 (2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料 【解析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可． 解：（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元． 根据题意得， 解得 ∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元． （2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料， 根据题意得 解得 ∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料． 24．(2025·哈尔滨南岗·一模)“六·一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩 具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）50；（2）每套玩具的售价至少为70元． 【解析】（1）设第一批玩具每套的进价是x元，根据用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元可列方程求解． （2）设每套售价至少是y元，利润=售价﹣进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解． 解：(1)设第一批玩具每套的进价为x元，则 ， 解得：x=50， 经检验：x=50是原方程的解， 答∶ 第一批玩具每套的进价为50元； (2)设每套玩具的售价为y元，则 解得：y≥70． 答∶ 每套玩具的售价至少为70元． 25．(2025·哈尔滨平房·一模)2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． (1)求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 【答案】(1)A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元 (2)该专营店最多购进A种工艺品30件 【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，再由“若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元”列方程，再解方程即可； （2）设该专营店购进A种工艺品a件，由总获利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可． 解：（1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元， 则， 解得：， 答：A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元． （2）设该专营店购进A种工艺品a件， 则， 解得：． 答：该专营店最多购进A种工艺品30件． 26．(2025·哈尔滨十七中·一模)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ (2)该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具共个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】(1)型玩具单价：元   型玩具单价：元 (2)个 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程以及一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设型玩具的单价为元，则型玩具的单价为元，根据“用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个”列出分式方程，解答即可； （2）设可购进型玩具个，则型玩具个，根据“该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具”列出一元一次不等式，解之即可． 解：（1）设型玩具的单价为元，则型玩具的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验为原分式方程的解， ， 答：型玩具的单价为元，型玩具的单价为元； （2）设可购进型玩具个，则型玩具个， 根据题意得：， 解得：， 整数的最大值是， 答：最多可购进型玩具个． 27．(2025·哈尔滨双城·一模)某学校准备为“汉字听写大赛”购买比赛奖品，已知购买A种奖品的单价比购买B种奖品的单价少25元，且用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同． (1)求购买A、B两种奖品每件各需多少元． (2)学校计划购买A、B两种奖品共40件，且此次购买奖品的费用不超过4400元．求学校最少购买A种奖品多少件． 【答案】(1)购买A种奖品每件需100元，购买B种奖品每件需125元 (2)24件 【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）购买B种奖品每件需x元，则购买A种奖品每件需元，根据用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买A种奖品y件，则购买B种奖品件，根据购买奖品的费用不超过4400元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）设购买B种奖品每件需x元，则购买A种奖品每件需元， 由题意，得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，所以， 答：购买A种奖品每件需100元，购买B种奖品每件需125元； （2）设学校购买A种奖品y件，则购买B种奖品件， 由题意得：， 解得：， 答：学校最少购买A种奖品24件． 28．(2025·哈尔滨松北·一模)亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲种纪念品单价35元，乙种纪念品单价50元 (2)最多购进乙种纪念品60件 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合进货总价不超过4400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 解：（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为60． 答：该商店最多购进乙种纪念品60件． 29．(2025·哈尔滨五常·一模)刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 (2)最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 30．(2025·哈尔滨香坊·一模)在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 (2)20个 【解析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 解：（1）设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； （2）设购买雪花形会徽徽章个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 31．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【解析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 解：（1）设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 32．(2025·佳木斯五中·一模)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 解：（1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 33．(2025·七台河茄子河·一模)某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，B种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式． (2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9 节，B种车皮21 节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【解析】本题考查了一次函数的建模和求解与不等式组、整数解分析和费用最小化等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 解：（1）， 和x之间的函数关系式为； （2）， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 专题03 方程与不等式 题型概览 题型01不等式（组） 题型02分式方程 题型03一元二次方程 题型04方程（组）及不等式（组）的实际应用 不等式（组）题型01 1．(2025·哈尔滨道里·一模)不等式组的解集是 ． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)不等式组的解集为 ． 3．(2025·哈尔滨道外·一模)不等式组的整数解有 个． 4．(2025·哈尔滨十七中·一模)解不等式组的解集是 ． 5．(2025·哈尔滨双城·一模)不等式组的解集是 ． 6．(2025·哈尔滨平房·一模)不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 7．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(2025·哈尔滨南岗·一模)不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 9．(2025·大庆景园中学·一模)如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 10．(2025·大庆·一模)已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 11．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)不等式组 的解集是 ． 12．(2025·哈尔滨松北·一模)不等式组的解集是 ． 13．(2025·七台河茄子河·一模)不等式组无解，则m的取值范围是 ． 14．(2025·大庆三十六中·一模)若不等式组无解，则的取值范围为 ． 15．(2025·大庆肇州五校联考·一模)若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 16．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)已知关于的不等式组只有个整数解，则实数的取值范围是 17．(2025·佳木斯五中·一模)如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 18．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 19．(2025·大庆三校摸底考试·一模)解不等式组． 分式方程题型02 1．(2025·哈尔滨阿城·一模)方程=的解是 ． 2．(2025·哈尔滨平房·一模)方程的解是 ． 3．(2025·哈尔滨松北·一模)分式方程的解是（    ） A．3 B．2 C． D． 4．(2025·大庆三校摸底考试·一模)解分式方程：； 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)小琪解关于x的方程，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为，则k的值为（    ） A． B．2 C．－1 D．－3 6．(2025·大庆三校摸底考试·一模)若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a＞﹣6 C．a＞﹣6且a≠﹣4 D．a＜6且a≠﹣4 8．(2025·佳木斯五中·一模)若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 9．(2025·七台河茄子河·一模)若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 10．(2025·齐齐哈尔·一模)若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 11．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或 一元二次方程题型03 1．(2025·大庆三校摸底考试·一模)解方程：． 2．(2025·齐齐哈尔·一模)解方程： 3．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)解方程： 4．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)解一元二次方程：． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ． 6．(2025·哈尔滨道里·一模)一元二次方程a2x2+2(a+1)x+1=0有实数根，则a的取值范围是（    ） A．a≤- B．a≥- C．a≥-且a≠0 D．a≤且a≠0 7．(2025·佳木斯五中·一模)若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C．且 D． 8．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)已知是方程的两根，则的值为 方程（组）及不等式（组）的实际应用题型04 1．(2025·绥化肇东西南片十校联考·一模)某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得 ． 2．(2025·哈尔滨阿城·一模)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．(2025·大庆景园中学·一模)某产品进价为每件400元，商店标价为每件500元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于，则商店最低可按（    ）折出售． A．7.5 B．8 C．9 D．8.5 4．(2025·哈尔滨五常·一模)如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．(2025·大庆三校摸底考试·一模)某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利，则这批服装每件的标价为 元． 6．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)为了锻炼身体，小明计划购买毽子和跳绳两种体育用品（两种都买），共花费15元，毽子单价2元，跳绳单价3元，则购买方案有（    ） A．5种 B．3种 C．2种 D．无数种 8．(2025·佳木斯五中·一模)要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 9．(2025·齐齐哈尔·一模)“扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（   ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 10．(2025·齐齐哈尔部分学校联考·一模)社区王阿姨准备花90元钱购买酒精或消毒液，酒精每瓶10元，消毒液每瓶6元，则王阿姨的购买方案有（　　　）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 11．(2025·齐齐哈尔市龙江县城南联考·一模)小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 12．(2025·七台河茄子河·一模)为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（  ）种． A．4 B．5 C．6 D．7 13．(2025·七台河茄子河·一模)元旦假期，小明和同学们去冰雪大世界游玩．已知门票每张150元，且有两种优惠方式，①20人以上（含20人）可以团购，每张票价120元；②10人以上，超出10人的部分，打七折，其他人原价．小明和同学们通过计算发现，他们按两种方式购票花费一样多，则小明和同学们一共有 人． 14．(2025·大庆·一模)长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车．该项工程使用我因自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米． 15．(2025·大庆景园中学·一模)某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮，在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2100元购进种图书和用2520元购进种图书的本数相同．，两种图书每本的进价各是多少元？ 16．(2025·大庆三十六中·一模)2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 17．(2025·大庆肇州五校联考·一模)阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 18．(2025·大庆三校摸底考试·一模)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 19．(2025·哈尔滨阿城·一模)多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 20．(2025·哈尔滨巴彦·一模)2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板。若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元． (1)求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元？ (2)若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套？ 21．(2025·哈尔滨道里·一模)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和显示器，若购进电脑机箱5台和显示器4台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和显示器5台，共需要资金7900元． (1)求每台电脑机箱和显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种电脑机箱和显示器共50台，用于购买这两种电脑机箱和显示器的资金不超过36000元．求最多能购进多少台显示器？ 22．(2025·哈尔滨道外·一模)列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 23．(2025·哈尔滨虹桥中学·一模)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； (2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 24．(2025·哈尔滨南岗·一模)“六·一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩 具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？ 25．(2025·哈尔滨平房·一模)2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． (1)求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 26．(2025·哈尔滨十七中·一模)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ (2)该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具共个，则最多可购进型玩具多少个？ 27．(2025·哈尔滨双城·一模)某学校准备为“汉字听写大赛”购买比赛奖品，已知购买A种奖品的单价比购买B种奖品的单价少25元，且用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同． (1)求购买A、B两种奖品每件各需多少元． (2)学校计划购买A、B两种奖品共40件，且此次购买奖品的费用不超过4400元．求学校最少购买A种奖品多少件． 28．(2025·哈尔滨松北·一模)亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 29．(2025·哈尔滨五常·一模)刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 30．(2025·哈尔滨香坊·一模)在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 31．(2025·佳木斯富锦四校联考·一模)2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 32．(2025·佳木斯五中·一模)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 33．(2025·七台河茄子河·一模)某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，B种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式． (2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$