第16讲 对策问题-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               对策问题 第16讲     专题概述 对策问题，在小学奥数中时有出现。提到对策问题，人们会自然联想到"田忌赛马"的故事。 两千多年前的战国时期，齐威王与大将田忌赛马。双方约定每人各出三匹马，并且在上、中、下三个等级中各选一匹进行比赛。齐威王有个习惯，每回跟田忌赛马，都会依次派自己的上、中、下马比赛。第一回比赛，齐威王的上、中、下三个等级的马，分别与田忌的上、中、下三个等级的马进行比赛。由于齐威王的每个等级的马都比田忌的马略强，所以比赛的结果可想而知，田忌三场完败。直到有一回比赛，田忌听从了手下谋士孙膑的策略：用己方的下、上、中等级的马分别跟齐威王的上、中、下等级的马进行比赛。结果，在三场比赛中，田忌以一负二胜的总成绩，获得了最终的胜利，还赢得了巨额奖金。同样的马匹，只是改变了马的出场顺序，可能负的结果截然不同。正是由于田忌采用了孙膑的"扬长避短"对策，才取得了最终胜利。 生活中的很多事物中，蕴含着数学道理。尤其是在各种竞赛、游戏中，人们总是希望自己的一方获胜，这就要求竞争双方制订出对自己有利的策略，所谓"知彼知己，百战不殆"。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会获得胜利。 这类对策问题非常有趣，所涉及的课本知识并不多，但技巧性比较强。我们一般采取逆推法和归纳法，用数学的观点和方法来研究制订取胜策略。 重点例题1、2 【例1】甲、乙二人玩移火柴游戏。比赛规则是：二人分别从一堆火柴中轮流移走1～5根火柴，直到移完为止，谁移走最后一根火柴就算谁输。现有100根火柴，如果甲先移火柴，他在第一次移走多少根火柴，并采取什么策略，才能确保自己必胜？ 【思维点拨】根据题意，要获得最快的胜利，就要保证到第99根火柴，留下唯一的解救火柴的终点。因为99÷(1+5)=16……3，所以，甲先移走余数3，再根据已移走的火柴数，采取"凑合法"（乙若取1，2，3，4，5），甲就相应地取5，4，3，2，1根，以使其和为6）移走火柴，就可以保证自己必胜了。 【例2】三堆火柴，分别有2001根、2002根、2003根。甲、乙二人，轮流从中取火柴。规则如下：每人每次只能从其中一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走；谁取完最后一堆的最后一根，谁就获胜。如果甲先取，要保证获胜，他该怎样制订策略？ 【思维点拨】假设，三堆火柴分别为1根、2根、3根。在这种情况下，谁先拿谁输，因为无论在每个人如何取火柴，对方都可以使用掉火柴数和零。这样的情形就是"必输形"。先取的一方无论哪种取走多少火柴，后取的一方总可以从另一堆中取走同样多的火柴，从而使留下的两堆火柴保持一样多。这就是说，只要先取的一方有火柴可取，则后取的一方也必定有火柴可取，由此可知，后取的一方必定因最后把火柴取尽而获胜。 因此，甲可以采用如下策略：甲先从2001根的那堆中取走2000根，这样剩下的三堆火柴分别为1根、2002根、2003根。这是一种"必输形"，特点是：1+2002=2003。这样一来，不论在每个人如何取火柴，一定会破坏这种"必输形"的特征，再转到甲取火柴时，甲就可以再制造出新的"必输形"，直到最终出现"1，2，3"的情形，从而取得胜利。 培优拔尖1 1. 大林和小林兄弟轮流报数，规定每次报的数据不超过6的自然数，把二人报的数据加起来，谁先报到66，谁就获胜。如果小林先报数，他有必胜的策略吗？ 2.桌上放有54根火柴，甲、乙二人轮流拿走火柴，每人每次只能拿走1～5根，谁拿走最后一根火柴谁就赢。甲要制订怎样的策略，才能确保自己必胜呢？ 3.两个人在玩"抢30"的趣味游戏。规定：二人轮流从1开始依次报数，每人每次只能报1个数或2个数，谁先报到30谁就获胜。请问：怎样报数才能取胜？ 重点例题3 【例3】围棋室内有两堆围棋子，一堆黑棋有38颗，另一堆白棋有45颗。哥哥和妹妹二人轮流取围棋子，规定：每个人每次只能从一堆中取，不能不取，至少取1颗，最多可以把一堆全部取完；谁取走最后一颗，谁就是胜利者。请你想一想：如果哥哥先取，有没有必胜的策略？ 【思维点拨】哥哥先取棋子，要想取走最后一颗棋子，就必须让妹妹拿光其中的一堆。如果妹妹不想拿光其中的一堆，哥哥就一步步逼着她拿光。 她计算出两堆的差数：45-38=7（颗）。 哥哥先取棋子，必然获胜。因为他可以发发制人，采取这样的策略：他先取走了7颗白棋，使得两堆棋子一样多。接下来，哥哥只要运用模仿战术就可以了。妹妹若是从一堆棋子中取走1颗，哥哥就从另一堆棋子中取走1颗；妹妹若是取走2颗，哥哥也取走2颗……等等只要保证，每次取完后使两堆棋子同样多，直到妹妹拿光一堆，哥哥就把一把拿光另一堆，这样哥哥一定能取得胜利了。 培优拔尖2 1.在游戏室的桌子上，摆放着两盒玻璃珠，其中一盒比另一盒多3颗。兄妹一人轮流取玻璃珠，规定每人每次只能在同一盒中取出1颗或3颗玻璃珠，谁取到两盒中的最后一颗玻璃珠，谁就获胜。请问：先取者胜，还是后取者胜？ 2.围棋班的小朋友发明了一种取棋子游戏。用两堆围棋子作为游戏道具，一堆是5颗黑子，另一堆是8颗白子。用抓阄的方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方。规定：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择把一堆全部取走；先手方完成后，后手方开始按同样的规则取棋子；双方轮流抓取棋子，直到取完所有棋子。取走最后一颗围棋子的人获胜。其实，在这个游戏中，先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应取走多少颗棋子呢？ 3.兄弟二人轮流往一张圆桌上放一枚一元硬币，不能重叠。最后，谁放完一枚后，使对方无法再往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果弟弟先放硬币，他有没有稳操胜券的策略呢？ 重点例题4、5 【例4】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张6×6格棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 【思维点拨】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张6×6格棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 【例5】有一个 格的方格盘，甲、乙二人轮流在方格中涂色，每人每次只能涂构成长方形（含正方形）的若干格，同一个格中不可重复涂色，谁涂到最后一格就算谁胜利。现在，甲先涂色，肯定能获胜；如果不允许甲第一次全涂满而获胜，甲可以利用对称原理获胜，第一次有多少种不同的涂法？ 【思维点拨】甲第一次涂的长方形中一定要含最中间的一格，并使没涂色的部分关于中心对称，这样一来，以后无论涂哪些格，甲都与其对称地涂另一些格，所以甲一定胜出。甲第一次涂色的方法有8种，如图所示： 培优拔尖3 1.兄弟二人设计了一个走棋游戏。在一张 棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。兄弟二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 2.甲、乙二人玩移棋子的游戏。他们把1999个空格排成一排，在第一个格子里放了一颗棋子。甲、乙二人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一个格子中谁获胜。先移者如何做才能稳操胜券呢？ 3.有一个 格的方格棋盘（如图所示），左上角有一枚棋子，甲、乙二人先后轮流走过枚棋子，每人每次只能向下、向右或向右下对角线走一格，如图中棋子可以走入 , , 三格之一。最后，谁将棋子走入右下角的 方格中，谁就是胜利者。如果双方都按照最佳方法走棋，那么谁将获胜？该怎样走棋呢？ 第16讲 对策问题 强化训练 1.牙签盒里有200枚牙签。姐妹二人轮流各取1枚或2枚，取到最后一枚为胜者。如果姐姐先取，她有必胜的策略吗？ 2.甲、乙二人玩掷数字的游戏。黑板上、写有下列自然数：2、3、4、5、…、2013、2014。甲先擦掉其中一个数字，然后乙再擦掉一个数字，如此轮流擦下去；如果最后剩下两个互质数，那么甲获胜；如果最后剩下两个数不是互质数，那么乙获胜。在这个游戏中，谁取胜的可能性更大？ 3.在一个罐子里，装有1993颗棋子。甲、乙二人轮流从中取棋子，每次可取1颗、2颗或3颗，谁取得最后一颗，谁就是胜利者。请问：在这个取棋子的游戏中，是先取的能获胜，还是后取的能获胜？应该采取什么策略？ 4.在一个3×3格的方格盘中，甲、乙二人轮流在格中打钩和打叉，规定每人每次至少画一格，至多画三格，待所有格画满后，谁画的符号总数是偶数，谁就获胜。甲、乙谁有获胜的可能？其策略是什么？ 5.在碗里有7粒豆子，甲、乙二人轮流取豆子，每人每次至少取1粒，最多取3粒，直到取完为止。谁取的豆子数为奇数，谁获胜。如果甲想战胜乙，第一次应该取几粒豆子呢？ 6.桌子上有两盒火柴，一盒装着7根火柴，另一盒装着10根火柴。甲、乙二人轮流在某一盒中任取火柴，但不能同时在两盒中都取火柴，也不能不取。规定：取到最后火柴的人为胜者。甲先取，有没有必胜的策略？ 7.在黑板上，写着一排连续的自然数——从1开始，直到81为止。甲、乙二人轮流画掉任意连续的三个数，如果甲画过之后，乙再也画不成了，甲就获胜了。甲有必胜的策略吗？ 8.在桌面上，由n枚硬币两两相连组成一个圆圈，甲、乙二人轮流取走一枚或相邻的两枚硬币，谁能取走最后一枚硬币，谁就获胜。是否有必胜的策略呢？（） 9.在7×6格的棋盘上有一枚棋子，放在左下角的方格里。甲、乙二人交替移动这枚棋子，每次只能向右、向上或右上方移动一格，谁能把棋子移到右上角谁胜利。如果甲获胜，应采取什么办法？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               对策问题 第16讲     专题概述 对策问题，在小学奥数中时有出现。提到对策问题，人们会自然联想到"田忌赛马"的故事。 两千多年前的战国时期，齐威王与大将田忌赛马。双方约定每人各出三匹马，并且在上、中、下三个等级中各选一匹进行比赛。齐威王有个习惯，每回跟田忌赛马，都会依次派自己的上、中、下马比赛。第一回比赛，齐威王的上、中、下三个等级的马，分别与田忌的上、中、下三个等级的马进行比赛。由于齐威王的每个等级的马都比田忌的马略强，所以比赛的结果可想而知，田忌三场完败。直到有一回比赛，田忌听从了手下谋士孙膑的策略：用己方的下、上、中等级的马分别跟齐威王的上、中、下等级的马进行比赛。结果，在三场比赛中，田忌以一负二胜的总成绩，获得了最终的胜利，还赢得了巨额奖金。同样的马匹，只是改变了马的出场顺序，可能负的结果截然不同。正是由于田忌采用了孙膑的"扬长避短"对策，才取得了最终胜利。 生活中的很多事物中，蕴含着数学道理。尤其是在各种竞赛、游戏中，人们总是希望自己的一方获胜，这就要求竞争双方制订出对自己有利的策略，所谓"知彼知己，百战不殆"。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会获得胜利。 这类对策问题非常有趣，所涉及的课本知识并不多，但技巧性比较强。我们一般采取逆推法和归纳法，用数学的观点和方法来研究制订取胜策略。 重点例题1、2 【例1】甲、乙二人玩移火柴游戏。比赛规则是：二人分别从一堆火柴中轮流移走1～5根火柴，直到移完为止，谁移走最后一根火柴就算谁输。现有100根火柴，如果甲先移火柴，他在第一次移走多少根火柴，并采取什么策略，才能确保自己必胜？ 【思维点拨】根据题意，要获得最快的胜利，就要保证到第99根火柴，留下唯一的解救火柴的终点。因为99÷(1+5)=16……3，所以，甲先移走余数3，再根据已移走的火柴数，采取"凑合法"（乙若取1，2，3，4，5），甲就相应地取5，4，3，2，1根，以使其和为6）移走火柴，就可以保证自己必胜了。 【例2】三堆火柴，分别有2001根、2002根、2003根。甲、乙二人，轮流从中取火柴。规则如下：每人每次只能从其中一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走；谁取完最后一堆的最后一根，谁就获胜。如果甲先取，要保证获胜，他该怎样制订策略？ 【思维点拨】假设，三堆火柴分别为1根、2根、3根。在这种情况下，谁先拿谁输，因为无论在每个人如何取火柴，对方都可以使用掉火柴数和零。这样的情形就是"必输形"。先取的一方无论哪种取走多少火柴，后取的一方总可以从另一堆中取走同样多的火柴，从而使留下的两堆火柴保持一样多。这就是说，只要先取的一方有火柴可取，则后取的一方也必定有火柴可取，由此可知，后取的一方必定因最后把火柴取尽而获胜。 因此，甲可以采用如下策略：甲先从2001根的那堆中取走2000根，这样剩下的三堆火柴分别为1根、2002根、2003根。这是一种"必输形"，特点是：1+2002=2003。这样一来，不论在每个人如何取火柴，一定会破坏这种"必输形"的特征，再转到甲取火柴时，甲就可以再制造出新的"必输形"，直到最终出现"1，2，3"的情形，从而取得胜利。 培优拔尖1 1. 大林和小林兄弟轮流报数，规定每次报的数据不超过6的自然数，把二人报的数据加起来，谁先报到66，谁就获胜。如果小林先报数，他有必胜的策略吗？ 【答案】，先报者第一次报余数3，再"凑"7根数，就能确保胜利。 2.桌上放有54根火柴，甲、乙二人轮流拿走火柴，每人每次只能拿走1～5根，谁拿走最后一根火柴谁就赢。甲要制订怎样的策略，才能确保自己必胜呢？ 【答案】因为，让对方先取，对方取n，己方取，则后取者必胜。 3.两个人在玩"抢30"的趣味游戏。规定：二人轮流从1开始依次报数，每人每次只能报1个数或2个数，谁先报到30谁就获胜。请问：怎样报数才能取胜？ 【答案】因为，让对方先报数，后报者只要每次报数的个数与先报者所报的个数之和为3，则后报者必胜。 重点例题3 【例3】围棋室内有两堆围棋子，一堆黑棋有38颗，另一堆白棋有45颗。哥哥和妹妹二人轮流取围棋子，规定：每个人每次只能从一堆中取，不能不取，至少取1颗，最多可以把一堆全部取完；谁取走最后一颗，谁就是胜利者。请你想一想：如果哥哥先取，有没有必胜的策略？ 【思维点拨】哥哥先取棋子，要想取走最后一颗棋子，就必须让妹妹拿光其中的一堆。如果妹妹不想拿光其中的一堆，哥哥就一步步逼着她拿光。 她计算出两堆的差数：45-38=7（颗）。 哥哥先取棋子，必然获胜。因为他可以发发制人，采取这样的策略：他先取走了7颗白棋，使得两堆棋子一样多。接下来，哥哥只要运用模仿战术就可以了。妹妹若是从一堆棋子中取走1颗，哥哥就从另一堆棋子中取走1颗；妹妹若是取走2颗，哥哥也取走2颗……等等只要保证，每次取完后使两堆棋子同样多，直到妹妹拿光一堆，哥哥就把一把拿光另一堆，这样哥哥一定能取得胜利了。 培优拔尖2 1.在游戏室的桌子上，摆放着两盒玻璃珠，其中一盒比另一盒多3颗。兄妹一人轮流取玻璃珠，规定每人每次只能在同一盒中取出1颗或3颗玻璃珠，谁取到两盒中的最后一颗玻璃珠，谁就获胜。请问：先取者胜，还是后取者胜？ 【答案】先取者获胜。原因是：先取者先在较多的一盒中取1颗，后取者不管在哪一盒中取几颗，先取者只要在另一盒中也取几颗，最后只有较多的一盒中剩下2颗。这时，恰好轮到后取者取，按照题意，他只能取一颗，则最后一颗就被先取者取走了。 2.围棋班的小朋友发明了一种取棋子游戏。用两堆围棋子作为游戏道具，一堆是5颗黑子，另一堆是8颗白子。用抓阄的方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方。规定：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择把一堆全部取走；先手方完成后，后手方开始按同样的规则取棋子；双方轮流抓取棋子，直到取完所有棋子。取走最后一颗围棋子的人获胜。其实，在这个游戏中，先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应取走多少颗棋子呢？ 【答案】先手方必胜的策略如下：先取走3颗白色棋子，使得白色棋子的数量与黑色棋子的数量保持一致，如果对方取黑色棋子那推，先手方则在白色棋子堆中取相同数量，反之亦然，这样，先手方必胜就是最后一颗棋子。 3. 兄弟二人轮流往一张圆桌上放一枚一元硬币，不能重叠。最后，谁放完一枚后，使对方无法再往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果弟弟先放硬币，他有没有稳操胜券的策略呢？ 【答案】弟弟有必胜策略。方法如下：根据圆的对称性，弟弟先把第一枚硬币放在圆桌的中心位置，这样，以后无论哥哥在哪个位置上放一枚硬币，弟弟就在它关于圆心对称的位置放一枚硬币，不断重复这个过程，只要哥哥有位置放硬币，弟弟总能对称地放一枚硬币。因为桌面的面积是有限的，直到哥哥没有位置可放时，弟弟就必然获胜。 重点例题4、5 【例4】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张6×6格棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 【思维点拨】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张6×6格棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 【例5】有一个 格的方格盘，甲、乙二人轮流在方格中涂色，每人每次只能涂构成长方形（含正方形）的若干格，同一个格中不可重复涂色，谁涂到最后一格就算谁胜利。现在，甲先涂色，肯定能获胜；如果不允许甲第一次全涂满而获胜，甲可以利用对称原理获胜，第一次有多少种不同的涂法？ 【思维点拨】甲第一次涂的长方形中一定要含最中间的一格，并使没涂色的部分关于中心对称，这样一来，以后无论涂哪些格，甲都与其对称地涂另一些格，所以甲一定胜出。甲第一次涂色的方法有8种，如图所示： 培优拔尖3 1.兄弟二人设计了一个走棋游戏。在一张 棋盘的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。兄弟二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想：有没有必胜的策略呢？ 【答案】后走棋者必胜。方法同例题4。 2.甲、乙二人玩移棋子的游戏。他们把1999个空格排成一排，在第一个格子里放了一颗棋子。甲、乙二人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一个格子中谁获胜。先移者如何做才能稳操胜券呢？ 【答案】先移者第一次移动2格，以后每次移动棋子，只要保证剩下的空格数为4的倍数，就可以获胜了。 3.有一个 格的方格棋盘（如图所示），左上角有一枚棋子，甲、乙二人先后轮流走过枚棋子，每人每次只能向下、向右或向右下对角线走一格，如图中棋子可以走入 , , 三格之一。最后，谁将棋子走入右下角的 方格中，谁就是胜利者。如果双方都按照最佳方法走棋，那么谁将获胜？该怎样走棋呢？ 【答案】乙将获胜。方法：如图所示，乙每次都走入白格即可。对于m×n的棋盘，如果m、n都是奇数，则后走者胜；否则先走者胜。 第16讲 对策问题 强化训练 1.牙签盒里有200枚牙签。姐妹二人轮流各取1枚或2枚，取到最后一枚为胜者。如果姐姐先取，她有必胜的策略吗？ 【答案】每人可取1枚或2枚，当姐姐取1枚时，妹妹可以取2枚；当姐姐取2枚时，妹妹可以取1枚。因此，我们不妨把3枚作为一组，由于，为了确保胜利，姐姐应先拿走余数2枚，然后每次根据妹妹拿走的枚数，采取"凑3"策略，即每次妹妹拿1枚时姐姐就拿2枚，每次妹妹拿2枚时姐姐就拿1枚，这样可使两人各取一次后一共取走3枚，最后姐姐必胜无疑。 2.甲、乙二人玩掷数字的游戏。黑板上、写有下列自然数：2、3、4、5、…、2013、2014。甲先擦掉其中一个数字，然后乙再擦掉一个数字，如此轮流擦下去；如果最后剩下两个互质数，那么甲获胜；如果最后剩下两个数不是互质数，那么乙获胜。在这个游戏中，谁取胜的可能性更大？ 【答案】黑板上的这列数字，是一列连续的自然数，一共有100个偶数和1006个奇数。我们知道，相邻的两个自然数一定是互质数。如果甲先擦掉一个偶数2，就剩下1006个偶数和1006个奇数，这时乙擦掉某一个奇数，甲就擦掉其后相邻的那个偶数，若乙擦掉某一个偶数，甲就擦掉其前面相邻的那个奇数，如此这样擦下去，最后就会剩下相邻的一个奇数和一个偶数，而它们一定是互质数，所以甲必胜无疑。 3.在一个罐子里，装有1993颗棋子。甲、乙二人轮流从中取棋子，每次可取1颗、2颗或3颗，谁取得最后一颗，谁就是胜利者。请问：在这个取棋子的游戏中，是先取的能获胜，还是后取的能获胜？应该采取什么策略？ 【答案】谁先取，谁就能获胜。因为，先取者先取余数1枚，接下来每一回合中，无论后取者取多少枚，先取者总是采用"凑4"的策略即可，最后先取者必胜。 4.在一个3×3格的方格盘中，甲、乙二人轮流在格中打钩和打叉，规定每人每次至少画一格，至多画三格，待所有格画满后，谁画的符号总数是偶数，谁就获胜。甲、乙谁有获胜的可能？其策略是什么？ 【答案】假设甲先画，乙后画。 1. 甲先画一格，乙再画三格，就能确保胜出。因为乙画完三格后，还剩五个空格；无论甲怎样画，乙都能获胜。 2. 甲先画两格，乙若画三格，还能取胜。 甲先画三格，乙只要画一格，就转化为最初的情况，还是乙获胜。所以，后面的人获胜。 5.在碗里有7粒豆子，甲、乙二人轮流取豆子，每人每次至少取1粒，最多取3粒，直到取完为止。谁取的豆子数为奇数，谁获胜。如果甲想战胜乙，第一次应该取几粒豆子呢？ 【答案】 1. 甲第一次取2粒，乙若取1粒，甲再取3粒，乙只能取剩下的1粒。甲取了粒（奇数），甲就获胜了。 2. 甲第一次取2粒，乙若取2粒，甲就取3粒，这样甲取了粒（奇数），甲就获胜了。 甲第一次取2粒，乙若取3粒，则甲取1粒，乙只能取剩下的1粒。甲取了粒（奇数），甲就获胜了。 6.桌子上有两盒火柴，一盒装着7根火柴，另一盒装着10根火柴。甲、乙二人轮流在某一盒中任取火柴，但不能同时在两盒中都取火柴，也不能不取。规定：取到最后火柴的人为胜者。甲先取，有没有必胜的策略？ 【答案】：甲先取，有必胜的策略。第一次，甲从10根火柴中取根，使得两盒火柴都恰好有7根。然后，乙取几根火柴，甲就在另一盒中相应取几根。 7.在黑板上，写着一排连续的自然数——从1开始，直到81为止。甲、乙二人轮流画掉任意连续的三个数，如果甲画过之后，乙再也画不成了，甲就获胜了。甲有必胜的策略吗？ 【答案】：甲只要先把中间的三个数40、41、42画掉，就可以把这些数分成个数相等的两组。此后，只要乙在某一组里有数可画掉，那么甲在另一组里对称的位置上就没有数可画掉。所以，甲争取先画，就有必胜的把握。 8.在桌面上，由n枚硬币两两相连组成一个圆圈，甲、乙二人轮流取走一枚或相邻的两枚硬币，谁能取走最后一枚硬币，谁就获胜。是否有必胜的策略呢？（） 【答案】后取硬币的人有必胜的策略。因为先取硬币的人，不论是取一枚还是两枚，必然会使圆圈出现一个缺口。此时，分两种情况： 1. 若剩下的硬币是奇数，后取硬币的人只需将位于所剩圆弧的中点所在的那枚硬币取走，就会使剩下的硬币成为两段相同的弧。此后，无论先取者怎样取，后取者都可在另一段采用一样的对称取法，即可保证到最后一枚。 若剩下的硬币是偶数，后取硬币的人只需将位于所剩圆弧的中点所在的那两枚硬币取走，就会转化为第一种情况。综上所述，后取者必胜。 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 对策问题，在小学奥数中时有出现。提到对策问题，人们会自然联想 到"田忌赛马"的故事。 两千多年前的战国时期，齐威王与大将田忌赛马。双方约定每人各出 三匹马，并且在上、中、下三个等级中各选一匹进行比赛。齐威王有 个习惯，每回跟田忌赛马，都会依次派自己的上、中、下马比赛。第 一回比赛，齐威王的上、中、下三个等级的马，分别与田忌的上、中、 下三个等级的马进行比赛。由于齐威王的每个等级的马都比田忌的马 略强，所以比赛的结果可想而知，田忌三场完败。直到有一回比赛， 田忌听从了手下谋士孙膑的策略：用己方的下、上、中等级的马分别 跟齐威王的上、中、下等级的马进行比赛。结果，在三场比赛中，田 忌以一负二胜的总成绩，获得了最终的胜利，还赢得了巨额奖金。同 样的马匹，只是改变了马的出场顺序，可能负的结果截然不同。正是 由于田忌采用了孙膑的"扬长避短"对策，才取得了最终胜利。 对策问题第 16讲 专题概述 生活中的很多事物中，蕴含着数学道理。尤其是在各种竞赛、游戏中， 人们总是希望自己的一方获胜，这就要求竞争双方制订出对自己有利 的策略，所谓"知彼知己，百战不殆"。哪一方的策略更胜一筹，哪一 方就会获得胜利。 这类对策问题非常有趣，所涉及的课本知识并不多，但技巧性比 较强。我们一般采取逆推法和归纳法，用数学的观点和方法来研 究制订取胜策略。 【例 1】甲、乙二人玩移火柴游戏。比赛规则是：二人分别从一堆 火柴中轮流移走 1～5 根火柴，直到移完为止，谁移走最后一根火 柴就算谁输。现有 100根火柴，如果甲先移火柴，他在第一次移走 多少根火柴，并采取什么策略，才能确保自己必胜？ 【思维点拨】根据题意，要获得最快的胜利，就要保证到第 99 根 火柴，留下唯一的解救火柴的终点。因为 99÷(1+5)=16……3，所 以，甲先移走余数 3，再根据已移走的火柴数，采取"凑合法"（乙 若取 1，2，3，4，5），甲就相应地取 5，4，3，2，1 根，以使其 和为 6）移走火柴，就可以保证自己必胜了。 重点例题 1、2 【例 2】三堆火柴，分别有 2001根、2002根、2003根。甲、乙二 人，轮流从中取火柴。规则如下：每人每次只能从其中一堆中去取， 最少要取一根，最多可全部取走；谁取完最后一堆的最后一根，谁 就获胜。如果甲先取，要保证获胜，他该怎样制订策略？ 【思维点拨】假设，三堆火柴分别为 1 根、2 根、3 根。在这种情 况下，谁先拿谁输，因为无论在每个人如何取火柴，对方都可以使 用掉火柴数和零。这样的情形就是"必输形"。先取的一方无论哪种 取走多少火柴，后取的一方总可以从另一堆中取走同样多的火柴， 从而使留下的两堆火柴保持一样多。这就是说，只要先取的一方有 火柴可取，则后取的一方也必定有火柴可取，由此可知，后取的一 方必定因最后把火柴取尽而获胜。 因此，甲可以采用如下策略：甲先从 2001根的那堆中取走 2000根， 这样剩下的三堆火柴分别为 1根、2002根、2003根。这是一种"必 输形"，特点是：1+2002=2003。这样一来，不论在每个人如何取火 柴，一定会破坏这种"必输形"的特征，再转到甲取火柴时，甲就可 以再制造出新的"必输形"，直到最终出现"1，2，3"的情形，从而 取得胜利。 培优拔尖 1 1. 大林和小林兄弟轮流报数，规定每次报的数据不超过 6 的自然数， 把二人报的数据加起来，谁先报到 66，谁就获胜。如果小林先报数， 他有必胜的策略吗？ 2.桌上放有 54根火柴，甲、乙二人轮流拿走火柴，每人每次只能拿 走 1～5根，谁拿走最后一根火柴谁就赢。甲要制订怎样的策略，才 能确保自己必胜呢？ 3.两个人在玩"抢 30"的趣味游戏。规定：二人轮流从 1 开始依次报 数，每人每次只能报 1 个数或 2 个数，谁先报到 30 谁就获胜。请问： 怎样报数才能取胜？ 【例 3】围棋室内有两堆围棋子，一堆黑棋有 38颗，另一堆白棋 有 45颗。哥哥和妹妹二人轮流取围棋子，规定：每个人每次只能 从一堆中取，不能不取，至少取 1颗，最多可以把一堆全部取完； 谁取走最后一颗，谁就是胜利者。请你想一想：如果哥哥先取，有 没有必胜的策略？ 【思维点拨】哥哥先取棋子，要想取走最后一颗棋子，就必须让妹 妹拿光其中的一堆。如果妹妹不想拿光其中的一堆，哥哥就一步步 重点例题 3 逼着她拿光。 她计算出两堆的差数：45-38=7（颗）。 哥哥先取棋子，必然获胜。因为他可以发发制人，采取这样的策略： 他先取走了 7颗白棋，使得两堆棋子一样多。接下来，哥哥只要运 用模仿战术就可以了。妹妹若是从一堆棋子中取走 1颗，哥哥就从 另一堆棋子中取走 1颗；妹妹若是取走 2颗，哥哥也取走 2颗…… 等等只要保证，每次取完后使两堆棋子同样多，直到妹妹拿光一堆， 哥哥就把一把拿光另一堆，这样哥哥一定能取得胜利了。 1.在游戏室的桌子上，摆放着两盒玻璃珠，其中一盒比另一盒多 3颗。 兄妹一人轮流取玻璃珠，规定每人每次只能在同一盒中取出 1颗或 3 颗玻璃珠，谁取到两盒中的最后一颗玻璃珠，谁就获胜。请问：先取 者胜，还是后取者胜？ 2.围棋班的小朋友发明了一种取棋子游戏。用两堆围棋子作为游戏道 具，一堆是 5颗黑子，另一堆是 8颗白子。用抓阄的方式确定谁先走， 把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方。规定：先手方必 须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择把一堆全 部取走；先手方完成后，后手方开始按同样的规则取棋子；双方轮流 抓取棋子，直到取完所有棋子。取走最后一颗围棋子的人获胜。其实， 培优拔尖 2 在这个游戏中，先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开 始应取走多少颗棋子呢？ 3.兄弟二人轮流往一张圆桌上放一枚一元硬币，不能重叠。最后，谁 放完一枚后，使对方无法再往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果 弟弟先放硬币，他有没有稳操胜券的策略呢？ 【例 4】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张 6×6 格棋盘的右 上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。 姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想一想： 有没有必胜的策略呢？ 【思维点拨】姐妹二人设计了一个走棋游戏。在一张 6×6 格棋盘 的右上角放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走 一格。姐妹二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你 重点例题 4、5 想一想：有没有必胜的策略呢？ 【例 5】有一个 5 × 5 格的方格盘，甲、乙二人轮流在方格中涂 色，每人每次只能涂构成长方形（含正方形）的若干格，同一个格 中不可重复涂色，谁涂到最后一格就算谁胜利。现在，甲先涂色， 肯定能获胜；如果不允许甲第一次全涂满而获胜，甲可以利用对称 原理获胜，第一次有多少种不同的涂法？ 【思维点拨】甲第一次涂的长方形中一定要含最中间的一格，并使 没涂色的部分关于中心对称，这样一来，以后无论涂哪些格，甲都 与其对称地涂另一些格，所以甲一定胜出。甲第一次涂色的方法有 8种，如图所示： 1.兄弟二人设计了一个走棋游戏。在一张 8 × 8 棋盘的右上角 放置一颗棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。 兄弟二人交替走棋，谁先到达左下角，谁就是胜利者。请你想 一想：有没有必胜的策略呢？ 2.甲、乙二人玩移棋子的游戏。他们把 1999个空格排成一排，在 第一个格子里放了一颗棋子。甲、乙二人轮流移动棋子，每人 每次可后移 1格、2格、3格，谁先移到最后一个格子中谁获胜。 先移者如何做才能稳操胜券呢？ 3.有一个 5 × 7 格的方格棋盘（如图所示），左上角有一枚棋子， 甲、乙二人先后轮流走过枚棋子，每人每次只能向下、向右或 向右下对角线走一格，如图中棋子可以走入 A, B, C 三格之一。 最后，谁将棋子走入右下角的 D 方格中，谁就是胜利者。如果 双方都按照最佳方法走棋，那么谁将获胜？该怎样走棋呢？ 培优拔尖 3 第 16 讲 对策问题 强化训练 1.牙签盒里有 200枚牙签。姐妹二人轮流各取 1枚或 2枚，取到 最后一枚为胜者。如果姐姐先取，她有必胜的策略吗？ 2.甲、乙二人玩掷数字的游戏。黑板上、写有下列自然数：2、3、 4、5、…、2013、2014。甲先擦掉其中一个数字，然后乙再擦 掉一个数字，如此轮流擦下去；如果最后剩下两个互质数，那 么甲获胜；如果最后剩下两个数不是互质数，那么乙获胜。在 这个游戏中，谁取胜的可能性更大？ 3.在一个罐子里，装有 1993颗棋子。甲、乙二人轮流从中取棋子， 每次可取 1 颗、2 颗或 3 颗，谁取得最后一颗，谁就是胜利者。 请问：在这个取棋子的游戏中，是先取的能获胜，还是后取的 能获胜？应该采取什么策略？ 4.在一个 3×3格的方格盘中，甲、乙二人轮流在格中打钩和打叉， 规定每人每次至少画一格，至多画三格，待所有格画满后，谁 画的符号总数是偶数，谁就获胜。甲、乙谁有获胜的可能？其 策略是什么？ 5.在碗里有 7粒豆子，甲、乙二人轮流取豆子，每人每次至少取 1 粒，最多取 3粒，直到取完为止。谁取的豆子数为奇数，谁获 胜。如果甲想战胜乙，第一次应该取几粒豆子呢？ 6.桌子上有两盒火柴，一盒装着 7根火柴，另一盒装着 10根火柴。 甲、乙二人轮流在某一盒中任取火柴，但不能同时在两盒中都 取火柴，也不能不取。规定：取到最后火柴的人为胜者。甲先 取，有没有必胜的策略？ 7.在黑板上，写着一排连续的自然数——从 1开始，直到 81为止。 甲、乙二人轮流画掉任意连续的三个数，如果甲画过之后，乙 再也画不成了，甲就获胜了。甲有必胜的策略吗？ 8.在桌面上，由 n枚硬币两两相连组成一个圆圈，甲、乙二人轮 流取走一枚或相邻的两枚硬币，谁能取走最后一枚硬币，谁就 获胜。是否有必胜的策略呢？（n > 2） 9.在 7×6格的棋盘上有一枚棋子，放在左下角的方格里。甲、乙 二人交替移动这枚棋子，每次只能向右、向上或右上方移动一 格，谁能把棋子移到右上角谁胜利。如果甲获胜，应采取什么 办法？