第18讲 浓度问题（基础与提高）-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第18讲 浓度问题（基础与提高） 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、浓度问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：核心概念与基础浓度计算 3 📌 考点二：加水稀释与蒸发浓缩问题 4 📌 考点三：溶质增减的浓度变化问题 6 📌 考点四：多溶液混合浓度问题 7 ⚠️ 易错避坑指南 10 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 12 一、基础夯实篇(8题) 12 二、能力进阶篇(7题) 13 三、思维跃迁篇(5题) 14 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 16 一、基础夯实篇(8题) 16 二、能力进阶篇(7题) 18 三、思维跃迁篇(5题) 20 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 浓度问题是小学奥数分数应用题与百分数模块的核心考点，是不变量解题法的核心应用场景，围绕溶质、溶剂、溶液、浓度四大核心概念展开，核心逻辑是溶质与溶液的占比关系，需精准掌握以下核心知识点： 四大核心基础概念 1　 溶质：被溶解的物质（如盐、糖、纯酒精、农药等） 2　 溶剂：溶解溶质的液体（小学阶段默认溶剂为水） 3　 溶液：溶质与溶剂混合形成的均匀液体（如盐水、糖水、酒精溶液） 4　 浓度：溶质质量占溶液总质量的百分比，也叫百分比浓度，是浓度问题的核心指标 核心公式专业规范表 公式类型 公式表达 （专业规范） 适用场景 关键注意事项 核心定义公式 已知溶质、溶液质量，直接求浓度 必须乘以100%，结果以百分数呈现；溶质与溶液单位必须严格统一 溶液组成公式 已知溶质、溶剂质量，求溶液总质量 溶液质量≠溶剂质量，必须包含溶质质量；稀释/浓缩时溶剂变化，溶液质量同步变化 变形公式一 已知溶液质量、浓度，求对应溶质质量 计算时需将百分数转化为小数/分数，如20%转化为0.2代入计算 变形公式二 已知溶质质量、浓度，求溶液总质量 仅适用于固定溶质的场景，浓度不能为0，结果需符合实际意义 变形公式三 已知溶液质量、浓度，求对应溶剂质量 溶剂占比=1-浓度，核心逻辑是溶液中仅包含溶质与溶剂两种成分 二、浓度问题解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 公式法 紧扣核心定义公式，直接代入已知量求解未知量 1. 明确题目所求量，匹配对应核心公式 2. 梳理已知的溶质、溶剂、溶液、浓度四个基础量 3. 代入公式精准计算，规范单位与百分数格式 公式记牢，量要对应，缺啥补啥 不变量法 抓住浓度变化过程中恒定不变的量为锚点，破解动态变化问题 1. 分析变化过程，锁定不变量（稀释/浓缩→溶质不变；混合→总溶质、总溶液不变） 2. 以不变量为核心，计算变化前后的对应量 3. 通过不变量的固定值，建立等量关系求解未知量 稀释浓缩看溶质，混合看总溶质，以静制动 方程法 设未知数，根据浓度核心关系式列等式，求解复杂混合问题 1. 设所求量为未知数（通常设溶液质量/浓度为x） 2. 找到核心等量关系（混合前总溶质质量=混合后总溶质质量） 3. 列方程、解方程、检验结果是否符合实际 复杂混合不用慌，溶质相等列方程 三、奥数思维提升 1　 对应思想：精准匹配溶质、溶剂、溶液、浓度四个量的对应关系，杜绝溶质与溶剂、溶液的概念混淆，确保量与率一一对应，是浓度问题的解题基础 2　 不变量思想：复杂浓度变化问题中，优先锁定不变量（溶质/总溶质），将动态变化问题转化为固定量的比例计算，是浓度问题的核心解题逻辑 3　 转化思想：将百分比浓度转化为分数/份数比例，把抽象的百分比问题转化为直观的份数计算，大幅降低解题难度，减少计算失误 4　 方程思想：面对多溶液混合、多次浓度变化等复杂题型，通过设未知数建立等量关系，规避复杂的逆向推导，提升解题准确率与效率 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：核心概念与基础浓度计算 ✨ 典型例题 1（基础型——已知溶质溶剂求浓度） 把20克盐放入80克水中，完全溶解后，盐水的浓度是多少？ 解题步骤： ① 确定核心量：溶质盐的质量=20克，溶剂水的质量=80克 ② 计算溶液总质量：（克） ③ 代入核心公式计算浓度： ④ 检验：浓度20%在0%-100%之间，符合实际意义 【答案】20% 【知识点睛】基础浓度计算的核心是找准溶质与溶液的对应关系，绝对不能用溶质质量除以溶剂质量计算浓度，必须严格遵循核心定义公式。 ✨ 典型例题 2（提高型——已知浓度和溶液，求溶质与溶剂） 要配制浓度为15%的盐水400克，需要盐和水各多少克？ 解题步骤： ① 匹配变形公式，计算溶质盐的质量：（克） ② 计算溶剂水的质量：（克）（或克） ③ 检验：，符合题目要求 【答案】需要盐60克，水340克 【知识点睛】已知浓度和溶液总量时，优先用变形公式一计算溶质质量，再通过溶液组成公式计算溶剂质量，是浓度配制问题的基础解题逻辑。 ✨ 典型例题 3（综合型——已知浓度和溶质变化，求溶液总量） 有一瓶纯酒精，倒出20克后，用水加满，此时酒精溶液的浓度为90%。这瓶酒精溶液的总质量是多少克？ 解题步骤： ① 锁定核心关系：倒出20克纯酒精后，溶质减少20克，溶液总质量保持不变 ② 设溶液总质量为x克，变化后溶质质量为克 ③ 根据浓度公式列等式： ④ 解方程：，解得 ⑤ 检验：溶质180克，溶液200克，浓度90%，符合题意 【答案】200克 【知识点睛】已知溶质变化和最终浓度时，需紧扣溶液总质量不变的特点，通过浓度公式建立等量关系，逆向求解溶液总量，是基础公式的逆向应用。 📌 考点二：加水稀释与蒸发浓缩问题 ✨ 典型例题 4（基础型——加水稀释问题） 有浓度为20%的糖水300克，要配制成浓度为10%的糖水，需要加水多少克？ 解题步骤： ① 锁定不变量：加水稀释过程中，溶质糖的质量始终不变 ② 计算固定溶质质量：（克） ③ 计算稀释后目标溶液总质量：（克） ④ 计算需要加水的质量：（克） ⑤ 检验：稀释后溶质60克，溶液600克，浓度10%，符合要求 【答案】300克 【知识点睛】加水稀释问题的核心是溶质不变，先通过初始条件算出固定溶质质量，再通过目标浓度算出目标溶液总量，前后溶液总量的差值即为需要加水的质量。 ✨ 典型例题 5（提高型——蒸发浓缩问题） 有浓度为8%的盐水500克，要得到浓度为20%的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 解题步骤： ① 锁定不变量：蒸发水的过程中，溶质盐的质量始终不变 ② 计算固定溶质质量：（克） ③ 计算浓缩后目标溶液总质量：（克） ④ 计算需要蒸发掉的水的质量：（克） ⑤ 检验：浓缩后溶质40克，溶液200克，浓度20%，符合要求 【答案】300克 【知识点睛】蒸发浓缩问题与稀释问题逻辑一致，核心都是溶质不变，区别在于浓缩时溶剂减少，溶液总量同步减少，前后溶液总量的差值即为蒸发掉的水的质量。 ✨ 典型例题 6（综合型——先稀释后浓缩的连续变化） 有浓度为10%的盐水200克，先加入100克水稀释，再蒸发掉一部分水，得到浓度为16%的盐水。蒸发掉了多少克水？ 解题步骤： ① 锁定不变量：整个稀释+浓缩过程中，溶质盐的质量始终不变 ② 计算固定溶质质量：（克） ③ 计算加水稀释后的溶液总质量：（克） ④ 计算最终目标溶液总质量：（克） ⑤ 计算蒸发掉的水的质量：（克） ⑥ 检验：最终溶质20克，溶液125克，浓度16%，符合题意 【答案】175克 【知识点睛】连续浓度变化问题，只要全程没有增减溶质，核心锚点始终是不变的溶质质量，无需分步计算中间浓度，直接通过初始溶质和最终浓度求解，大幅简化计算。 📌 考点三：溶质增减的浓度变化问题 ✨ 典型例题 7（基础型——加溶质提升浓度） 有浓度为10%的糖水400克，要使糖水的浓度提升到20%，需要加入多少克糖？ 解题步骤： ① 锁定不变量：加糖过程中，溶剂水的质量始终不变 ② 计算固定溶剂质量：（克） ③ 计算目标溶液中溶剂的占比： ④ 计算目标溶液总质量：（克） ⑤ 计算需要加入的糖的质量：（克） ⑥ 检验：加糖后溶质克，溶液450克，浓度20%，符合要求 【答案】50克 【知识点睛】加溶质提浓度问题，核心是溶剂质量不变，绝对不能直接用原溶液质量乘浓度差计算，因为加糖后溶液总质量会同步增加，必须以不变的溶剂为锚点求解。 ✨ 典型例题 8（提高型——减溶质降低浓度） 有浓度为25%的盐水600克，要使浓度降到15%，需要过滤掉多少克盐（过滤后溶剂质量保持不变）？ 解题步骤： ① 锁定不变量：过滤盐的过程中，溶剂水的质量始终不变 ② 计算固定溶剂质量：（克） ③ 计算目标溶液中溶剂的占比： ④ 计算目标溶液总质量：（克） ⑤ 计算需要过滤掉的盐的质量：（克） ⑥ 检验：过滤后溶质克，溶液克，浓度≈15%，符合要求 【答案】约70.59克（或克） 【知识点睛】减溶质降浓度问题，核心依然是溶剂不变，通过溶剂质量锁定目标溶液总量，前后溶液总量的差值即为过滤掉的溶质质量，是溶剂不变逻辑的双向应用。 📌 考点四：多溶液混合浓度问题 ✨ 典型例题 9（基础型——两种溶液混合求浓度） 将浓度为10%的盐水200克和浓度为20%的盐水300克混合，混合后的盐水浓度是多少？ 解题步骤： ① 锁定不变量：混合前后，总溶质质量、总溶液质量均保持不变 ② 分别计算两种溶液的溶质质量，求和得总溶质： （克） ③ 计算混合后总溶液质量：（克） ④ 代入浓度公式计算混合浓度： ⑤ 检验：混合浓度16%介于10%和20%之间，符合混合规律 【答案】16% 【知识点睛】两种溶液混合问题，核心是“总溶质不变、总溶液不变”，绝对不能直接对两个浓度求算术平均，必须用总溶质除以总溶液计算混合浓度，浓度权重与溶液质量成正比。 ✨ 典型例题 10（提高型——已知混合浓度求溶液配比） 要配制浓度为15%的盐水600克，需要浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水各多少克？ 解题步骤： ① 锁定不变量：混合前后总溶质质量、总溶液质量不变 ② 设需要浓度为20%的盐水x克，则需要浓度为5%的盐水克 ③ 根据总溶质相等列方程： ④ 解方程：，，解得 ⑤ 计算5%的盐水质量：（克） ⑥ 检验：总溶质克，混合浓度，符合要求 【答案】需要20%的盐水400克，5%的盐水200克 【知识点睛】已知混合浓度和总质量，求两种原液配比的问题，优先使用方程法，核心等量关系是“两种原液的溶质质量之和=混合后溶液的溶质质量”，逻辑清晰，不易出错。 ✨ 典型例题 11（综合型——按比例多溶液混合） 将浓度为10%、20%、30%的三种盐水，按1:2:3的质量比混合，得到的盐水浓度是多少？ 解题步骤： ① 锁定不变量：混合前后总溶质、总溶液质量不变 ② 利用份数法简化计算，设三种盐水的质量分别为100克、200克、300克（符合1:2:3的比例） ③ 计算总溶质质量： （克） ④ 计算总溶液质量：（克） ⑤ 计算混合浓度： ⑥ 检验：混合浓度介于10%和30%之间，符合混合规律 【答案】约23.33% 【知识点睛】按比例混合的多溶液问题，优先使用份数法，按比例设具体质量，将抽象比例转化为具体数值计算，大幅降低解题难度，是奥数中常用的简化技巧。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆溶质、溶剂、溶液的概念，用溶质÷溶剂计算浓度 错误示例：20克盐放入80克水中，错误计算浓度 正确分析：错误在于把溶剂水的质量当成了溶液质量，溶液质量=溶质+溶剂=100克，正确浓度为。必须牢记浓度是溶质占溶液总质量的比例，而非占溶剂的比例。 ❌ 稀释/浓缩时，错误锁定不变量，把溶液质量当不变量 错误示例：20%的糖水300克，加水稀释到10%，错误计算克，加水30克 正确分析：错误在于认为溶液质量不变，稀释时加水，溶液质量会增加，溶质质量才是唯一不变量。正确做法是先算溶质60克，目标溶液600克，需加水300克。 ❌ 混合溶液时，直接对浓度求算术平均，忽略溶液质量的权重 错误示例：10%的盐水200克和20%的盐水300克混合，错误计算 正确分析：错误在于忽略了两种溶液的质量不同，浓度不能直接求平均。混合浓度必须用总溶质÷总溶液计算，正确总溶质80克，总溶液500克，浓度为16%。 ❌ 计算时未转化百分数，或遗漏单位统一 错误示例：浓度15%的盐水400克，求溶质质量，错误计算克 正确分析：错误在于未将百分数转化为小数，15%应转化为0.15代入计算，正确溶质质量为克。涉及百分数计算时，必须先转化为小数/分数，再代入公式。 ❌ 加溶质提浓度时，忽略溶液总质量的同步变化 错误示例：10%的糖水400克，加糖到20%，错误计算克 正确分析：错误在于加溶质后，溶液总质量会同步增加，不能直接用原溶液质量乘浓度差。正确做法是锁定溶剂不变，水有360克，目标溶液450克，需加糖50克。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 把15克糖放入85克水中，完全溶解后，糖水的浓度是多少？ 2． 要配制浓度为20%的盐水500克，需要盐和水各多少克？ 3． 有浓度为25%的酒精溶液，其中纯酒精有50克，该酒精溶液的总质量是多少克？ 4． 有浓度为10%的盐水400克，要稀释成浓度为5%的盐水，需要加水多少克？ 5． 有浓度为6%的盐水800克，要蒸发掉多少克水，才能得到浓度为10%的盐水？ 6． 将浓度为5%的盐水100克和浓度为15%的盐水300克混合，混合后的盐水浓度是多少？ 7． 有浓度为10%的糖水500克，要使浓度提升到25%，需要加入多少克糖？ 8． 一瓶盐水的浓度为12%，其中水的质量为176克，这瓶盐水的总质量是多少克？ 二、能力进阶篇(7题) 9． 有浓度为15%的盐水300克，先加入50克水稀释，再蒸发掉100克水，此时盐水的浓度是多少？ 10． 要配制浓度为18%的盐水1000克，需要浓度为24%的盐水和浓度为12%的盐水各多少克？ 11． 有一杯浓度为20%的糖水，加入10克糖后，浓度变为25%。这杯糖水原来有多少克？ 12． 将浓度为10%、15%、25%的三种盐水，按2:3:5的质量比混合，得到的盐水浓度是多少？ 13． 有浓度为20%的盐水若干克，加入一定量的水后，浓度变为15%，再加入同样多的水，浓度变为多少？ 14． 有两瓶质量相同的盐水，一瓶浓度为10%，另一瓶浓度为30%，将两瓶盐水完全混合后，浓度是多少？ 15． 有浓度为5%的盐水200克，要配制成浓度为10%的盐水，需要加入浓度为25%的盐水多少克？ 三、思维跃迁篇(5题) 16． 有浓度为30%的盐水溶液，加入一定量的水后稀释为浓度24%的溶液，如果再加入同样多的水，溶液的浓度将变为多少？ 17． 甲容器有浓度为8%的盐水300克，乙容器有浓度为12.5%的盐水120克，往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度相等。每个容器应倒入多少克水？ 18． 将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克，需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？ 19． 有浓度为10%的盐水200克，加入多少克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？ 20． 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的浓度变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的浓度将变为多少？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1． 【答案】15% 解题步骤： ① 溶质糖15克，溶剂水85克，溶液总质量克 ② 浓度： 【知识点睛】基础浓度计算，核心是找准溶质与溶液的对应关系，严格遵循浓度定义公式。 2． 【答案】需要盐100克，水400克 解题步骤： ① 溶质盐的质量：克 ② 溶剂水的质量：克 【知识点睛】已知浓度和溶液总量，用变形公式直接计算溶质与溶剂质量，是浓度配制的基础题型。 3． 【答案】200克 解题步骤： ① 已知溶质50克，浓度25%，溶液总质量：克 【知识点睛】已知溶质和浓度，逆向求解溶液总量，是核心公式的逆向应用。 4． 【答案】400克 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质盐的质量克 ② 稀释后溶液总质量：克 ③ 加水质量：克 【知识点睛】加水稀释问题，核心是溶质不变，通过固定溶质求目标溶液总量，差值即为加水量。 5． 【答案】320克 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质盐的质量克 ② 浓缩后溶液总质量：克 ③ 蒸发水的质量：克 【知识点睛】蒸发浓缩问题，核心是溶质不变，前后溶液总量的差值即为蒸发水量。 6． 【答案】12.5% 解题步骤： ① 总溶质质量：克 ② 总溶液质量：克 ③ 混合浓度： 【知识点睛】基础混合问题，核心是总溶质、总溶液不变，用总溶质除以总溶液求混合浓度。 7． 【答案】100克 解题步骤： ① 锁定不变量：溶剂水的质量克 ② 目标溶液中溶剂占比，目标溶液总质量：克 ③ 加糖质量：克 【知识点睛】加溶质提浓度问题，核心是溶剂不变，通过溶剂质量锁定目标溶液总量，差值即为加糖量。 8． 【答案】200克 解题步骤： ① 水的占比，对应质量176克 ② 溶液总质量：克 【知识点睛】已知溶剂质量和浓度，通过溶剂占比逆向求解溶液总量，是变形公式的拓展应用。 二、能力进阶篇(7题) 9． 【答案】18% 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质盐的质量克 ② 最终溶液总质量：克 ③ 最终浓度： 【知识点睛】连续浓度变化问题，全程溶质不变，直接计算最终溶液总量，一步求出最终浓度。 10． 【答案】需要24%的盐水500克，12%的盐水500克 解题步骤： ① 设需要24%的盐水x克，12%的盐水克 ② 列方程： ③ 解方程：，，12%的盐水克 【知识点睛】已知混合浓度求配比，用方程法求解，核心等量关系是混合前后总溶质相等。 11． 【答案】150克 解题步骤： ① 锁定不变量：溶剂水的质量不变，设原来糖水x克 ② 原水的质量：，加糖后水的质量： ③ 列方程：，解得 【知识点睛】加糖提浓度的进阶题型，以不变的溶剂为等量关系列方程，避免量率错配。 12． 【答案】19% 解题步骤： ① 设三种盐水质量分别为200克、300克、500克（符合2:3:5比例） ② 总溶质质量：克 ③ 总溶液质量：克 ④ 混合浓度： 【知识点睛】按比例多溶液混合，用份数法设具体质量，简化计算过程。 13． 【答案】12% 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质质量不变，设初始盐水100克，溶质克 ② 第一次加水后溶液总质量：克，加水量：克 ③ 第二次加水后溶液总质量：克 ④ 最终浓度： 【知识点睛】两次加水稀释问题，全程溶质不变，通过设初始值简化计算，是奥数常用技巧。 14． 【答案】20% 解题步骤： ① 设两瓶盐水质量均为100克 ② 总溶质质量：克 ③ 总溶液质量：克 ④ 混合浓度： 【知识点睛】等质量溶液混合，混合浓度等于两种浓度的算术平均值，是混合问题的特殊规律。 15． 【答案】克（约66.67克） 解题步骤： ① 设需要加入25%的盐水x克 ② 列方程： ③ 解方程：，， 【知识点睛】两种溶液混合求原液质量，核心是混合前后总溶质相等，用方程法求解。 三、思维跃迁篇(5题) 16． 【答案】20% 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质质量不变，设初始盐水100克，溶质克 ② 第一次加水后溶液总质量：克，加水量克 ③ 第二次加水后溶液总质量：克 ④ 最终浓度： 【知识点睛】两次连续稀释问题，通过设初始值固定溶质质量，简化逆向推导过程。 17． 【答案】180克 解题步骤： ① 设每个容器倒入x克水 ② 甲容器浓度：，乙容器浓度： ③ 列方程：，交叉相乘得 ④ 解方程：，， 【知识点睛】等量加水使浓度相等的问题，核心是根据浓度相等列方程，是浓度问题与方程法的综合应用。 18． 【答案】需要20%的盐水400克，5%的盐水200克 解题步骤： ① 设需要20%的盐水x克，5%的盐水克 ② 列方程： ③ 解方程：，，5%的盐水克 【知识点睛】混合配制问题的经典题型，用方程法求解逻辑清晰，也可通过十字交叉法快速验证配比。 19． 【答案】300克 解题步骤： ① 设需要加入30%的盐水x克 ② 列方程： ③ 解方程：，， 【知识点睛】两种溶液混合求目标浓度，核心是总溶质相等，是方程法在浓度问题中的核心应用。 20． 【答案】10% 解题步骤： ① 锁定不变量：溶质质量不变，设第一次加水后溶液100克，溶质克 ② 第二次加水后溶液总质量：克，每次加水量克 ③ 第三次加水后溶液总质量：克 ④ 最终浓度： 【知识点睛】三次连续稀释问题，核心是溶质不变，通过中间浓度锁定每次加水量，是不变量法的高阶应用。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $