第20讲 工程问题（提高多人合作）-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第20讲 工程问题（提高） 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、工程问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：三人及以上多人合作工程问题 3 📌 考点二：交替工作周期工程问题 6 📌 考点三：中途加入与中途退出工程问题 8 📌 考点四：工程问题与比例、分数综合应用 11 ⚠️ 易错避坑指南 14 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 16 一、基础夯实篇(8题) 16 二、能力进阶篇(7题) 17 三、思维跃迁篇(5题) 19 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 20 一、基础夯实篇(8题) 20 二、能力进阶篇(7题) 22 三、思维跃迁篇(5题) 25 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本讲是基础工程问题的高阶拓展，是小升初奥数高频难点题型，核心仍围绕工作总量、工作效率、工作时间三要素展开，突破单人、双人同步合作的基础场景，拓展到多人协作、周期循环、人员动态变化、比例综合应用的复杂场景，需精准掌握以下核心进阶知识点： 四大核心进阶概念 1、 多人合作效率：三人及以上主体共同完成工作时，总工作效率等于所有参与主体的工作效率之和，与双人合作逻辑完全一致，可无限拓展至n人，是多人工程问题的核心基础。 1　 交替工作（周期工程）：多个主体按固定顺序轮流完成工作，将一轮完整的轮流工作定义为一个工作周期。核心是计算单周期的工作量、工作时长，通过周期循环简化长周期计算，重点处理剩余工作量的分配顺序。 2　 中途加入/退出：工作过程中，参与主体发生动态变化（有人提前退出、有人中途加入）。核心是按人员变动的时间节点，将整个工程拆分为多个独立阶段，每个阶段对应固定的参与人员和效率和，分段计算后累加求和。 3　 工程比例规律：基于核心公式衍生的三大比例关系，是简化复杂工程计算的核心工具： 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例 工作时间一定时，完成的工作量与工作效率成正比例 工作效率一定时，完成的工作量与工作时间成正比例 核心公式专业规范表 公式类型 公式表达（专业规范） 适用场景 关键注意事项 多人合作核心公式 三人及以上同步合作场景，计算总效率与合作时长 仅工作效率可直接相加，工作时间绝对不可直接相加 交替工作周期公式 （向下取整） 甲乙/多人轮流工作的周期场景，计算总工期 剩余工作量需严格按照轮流顺序分配，不可打乱循环规则 分段工作核心公式 中途加入/退出的人员动态变化场景 必须按人员变动的时间节点精准分段，确保效率与时间严格对应 工程比例核心公式 总量固定： 时间固定： 效率固定： 已知效率比/时间比，求单独完成时间、总工作量等场景 严格区分前提条件，总量固定时效率与时间成反比，不可混淆正比关系 二、工程问题解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 效率求和法 多人合作场景下，先汇总所有参与主体的效率和，再通过核心公式求解 1. 分别计算每个参与主体的单人工作效率 2. 求和得到对应时段的总工作效率 3. 结合工作总量/工作时间，求解未知量 多人合作不用慌，效率先加再算账 周期法 交替工作场景下，以完整循环为周期，化零为整简化计算，再单独处理剩余工作量 1. 确定循环顺序和单周期时长、单周期工作量 2. 计算总工作量包含的完整周期数，算出完整周期的总时长 3. 按轮流顺序分配剩余工作量，计算剩余工作所需时间 4. 累加得到总工期 交替工作看周期，整轮算完算剩余 分段计算法 人员动态变化场景下，按变动节点拆分工作阶段，分段计算后汇总 1. 找到所有人员加入/退出的时间节点，划分工作阶段 2. 分别计算每个阶段的参与人员、效率和、对应时长 3. 累加各阶段工作量，匹配总工作量建立等量关系求解 中途变动拆分段，一段一段算清楚 三、奥数思维提升 1　 整体思想：多人合作问题中，跳出单人工作量的复杂计算，以总效率和为核心，从整体视角计算总工期、总工作量，化繁为简。 2　 周期思想：交替工作问题中，将零散的轮流工作打包为完整周期，把无限循环的动态过程转化为固定周期的重复计算，大幅降低解题难度。 3　 分段拆解思想：中途加入/退出的动态问题中，以人员变动为分界点，将复杂的全程工作拆分为多个简单的固定效率阶段，把综合题拆解为多个基础工程小题。 4　 比例转化思想：复杂工程问题中，通过效率、时间、工作量的比例关系，将分数计算转化为整数份数计算，规避复杂的分数通分，提升解题速度与准确率。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：三人及以上多人合作工程问题 ✨ 典型例题 1（基础型——三人同步合作求工期） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要20天完成。三人合作，需要多少天完成这项工程？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，分别计算三人工作效率： 甲效率，乙效率，丙效率 ② 计算三人合作总效率： ③ 计算合作总工期：（天，约4.62天） ④ 检验：，刚好完成总工作量，符合题意 【答案】天（或约4.62天） 【知识点睛】三人及以上同步合作问题，核心逻辑与双人合作完全一致，先汇总所有参与人的效率和，再用总工作量除以总效率得到合作工期，是多人工程问题的基础模型。 ✨ 典型例题 2（提高型——已知合作过程求单人效率） 一项工程，甲乙两队合作6天完成了全部工程的，之后乙丙两队合作2天完成了余下工程的，最后剩余的工程由三队合作5天全部完成。请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，分步计算各阶段的效率和： 第一阶段：甲乙合作6天完成，甲乙效率和 第二阶段：余下工程为，乙丙完成，乙丙效率和 第三阶段：剩余工程为，三队合作5天完成，三队总效率和 ② 计算甲队单人效率：三队总效率 - 乙丙效率和 ③ 计算甲队单独完成时间：（天） ④ 检验：乙效率，丙效率，三队效率和，符合计算结果 【答案】甲队单独完成需要60天 【知识点睛】多阶段多人合作问题，核心是分步计算每个阶段的效率和，通过不同组合的效率和相减，拆解出单人效率，是多人工程问题的核心逆向应用。 ✨ 典型例题 3（综合型——多人分阶段合作） 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要20天完成。先由甲乙两队合作3天，剩余的工程由乙丙两队合作完成，完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算各主体效率： 甲效率，乙效率，丙效率 ② 计算甲乙合作3天完成的工作量： ③ 计算剩余工作量： ④ 计算乙丙合作效率： ⑤ 计算乙丙合作时间：（天） ⑥ 计算总工期：（天，约7.71天） ⑦ 检验：总完成量，符合题意 【答案】一共需要天（或约7.71天） 【知识点睛】多人分阶段合作问题，核心是按合作主体的变化划分阶段，分别计算每个阶段的工作量与时长，最后累加得到总工期，是分段计算法的基础应用。 📌 考点二：交替工作周期工程问题 ✨ 典型例题 4（基础型——甲乙两人交替工作） 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。现在按照甲先做1天，乙再做1天，甲再做1天，乙再做1天……的顺序轮流交替工作，完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算两人效率： 甲效率，乙效率 ② 确定工作周期：甲乙各做1天为1个周期，周期时长2天，单周期工作量 ③ 计算完整周期数：个完整周期，余工作量（7个周期完成） ④ 处理剩余工作量：周期顺序为甲先做，剩余工作量由甲完成，甲所需时间（天） ⑤ 计算总工期：（天） ⑥ 检验：7个周期完成，甲天完成，总量为1，符合题意 【答案】一共需要天 【知识点睛】两人交替工作的核心是确定周期规则，先算完整周期的工作量与时长，剩余工作量必须严格按照轮流顺序分配，不可颠倒顺序，这是周期工程的核心易错点。 ✨ 典型例题 5（提高型——交替工作顺序对工期的影响） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要12天完成。若按照甲先做1天，乙再做1天的顺序交替工作，完成工期为T1；若按照乙先做1天，甲再做1天的顺序交替工作，完成工期为T2。请问T1与T2相差多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，甲效率，乙效率，单周期工作量，周期时长2天 ② 计算T1（甲先做）： 完整周期数：5个周期，完成，剩余工作量 剩余工作量由甲完成，时间天 总工期T1天 ③ 计算T2（乙先做）： 完整周期数：5个周期，完成工作量与T1一致，剩余工作量 剩余工作量由乙完成，时间天 总工期T2天 ④ 计算工期差：天 ⑤ 检验：两种顺序的完整周期工作量完全一致，仅剩余工作量的完成人不同，导致工期差，符合计算结果 【答案】T1与T2相差天 【知识点睛】交替工作的顺序仅影响剩余工作量的分配，完整周期的工作量与时长完全一致。当剩余工作量小于等于先做方的单日工作量时，顺序变化会导致工期差异，这是周期工程的高频考点。 ✨ 典型例题 6（综合型——三人交替工作） 一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，丙单独做需要12天完成。现在按照甲、乙、丙的顺序轮流各做1天，完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，三人效率分别为、、 ② 确定工作周期：甲、乙、丙各做1天为1个周期，周期时长3天，单周期工作量 ③ 计算完整周期数：2个完整周期，完成，剩余工作量 ④ 按顺序分配剩余工作量： 第1步：甲做1天，完成，剩余 第2步：乙做剩余，所需时间天 ⑤ 计算总工期：天 ⑥ 检验：2个周期完成，甲1天完成，乙天完成，总量为1，符合题意 【答案】一共需要天 【知识点睛】多人交替工作的核心逻辑与双人一致，仅周期时长和单周期工作量随人数变化，剩余工作量必须严格按照轮流顺序依次分配，直到工作量全部完成。 📌 考点三：中途加入与中途退出工程问题 ✨ 典型例题 7（基础型——中途退出问题） 一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。两人合作开工4天后，甲队因故中途退出，剩余工程由乙队单独完成。完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，甲效率，乙效率，合作效率 ② 计算前4天合作完成的工作量： ③ 计算剩余工作量： ④ 计算乙单独完成剩余工作的时间：（天） ⑤ 计算总工期：（天） ⑥ 检验：总完成量，符合题意 【答案】一共需要24天 【知识点睛】中途退出问题的核心是分段计算：第一段为多人合作，第二段为剩余人员单独/合作工作，分别计算两段的时长后累加，是分段计算法的核心应用。 ✨ 典型例题 8（提高型——中途加入问题） 一项工程，甲队单独做需要30天完成。甲队先单独开工6天后，乙队加入，两队又合作了12天，刚好完成全部工程。请问：乙队单独完成这项工程需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，甲效率 ② 计算甲队全程工作的总时长：（天） ③ 计算甲队完成的总工作量： ④ 计算乙队完成的工作量：，乙队工作时长为12天 ⑤ 计算乙队的工作效率： ⑥ 计算乙队单独完成时间：（天） ⑦ 检验：甲18天完成，乙12天完成，总量为1，符合题意 【答案】乙队单独完成需要30天 【知识点睛】中途加入问题的核心是锁定全程工作的主体，先算出其完成的总工作量，剩余工作量即为中途加入主体的工作量，结合其工作时长即可求出单人效率。 ✨ 典型例题 9（综合型——中途加入与退出混合场景） 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要20天完成。先由甲乙两队合作2天，之后丙队加入，甲队因故退出，乙丙两队合作完成剩余工程。完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算各主体效率： 甲，乙，丙 ② 第一阶段：甲乙合作2天，完成工作量 ③ 剩余工作量： ④ 第二阶段：乙丙合作，效率和 ⑤ 第二阶段工作时间：（天） ⑥ 总工期：（天） ⑦ 检验：总完成量，符合题意 【答案】一共需要8天 【知识点睛】加入与退出的混合场景，核心是按人员变动的时间节点精准分段，每一段只计算当前参与人员的效率和，分段计算后累加，是分段计算法的高阶应用。 📌 考点四：工程问题与比例、分数综合应用 ✨ 典型例题 10（基础型——总量固定，效率与时间成反比） 单独完成一项工程，甲、乙两队的工作时间比为。若两队合作，12天可以完成全部工程。请问：甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 解题步骤： ① 核心比例关系：工作总量固定，效率比=时间的反比，甲乙时间比，则效率比为 ② 计算两队合作效率和： ③ 按比例分配效率和：总份数份 甲效率，乙效率 ④ 计算单独完成时间： 甲单独时间天，乙单独时间天 ⑤ 检验：时间比，合作效率，符合题意 【答案】甲队单独完成需要20天，乙队需要30天 【知识点睛】总量固定的工程问题，通过时间比转化为效率比，再按比例分配效率和，可快速拆解出单人效率，规避复杂的方程计算，是奥数常用的简化技巧。 ✨ 典型例题 11（提高型——时间固定，工作量与效率成正比） 甲乙两队合作完成一项工程，两队的工作效率比为。工程完工时，甲队比乙队少完成了120立方米的工程量。请问：这项工程的总工程量是多少立方米？ 解题步骤： ① 核心比例关系：工作时间固定（合作同时开工、同时完工），工作量比=效率比 ② 计算工作量份数差：份，对应实际工程量差120立方米，即1份=120立方米 ③ 计算总工程量份数：份 ④ 总工程量：（立方米） ⑤ 检验：甲完成立方米，乙完成立方米，差值120立方米，总量1080立方米，符合题意 【答案】总工程量是1080立方米 【知识点睛】合作同步完成的工程问题，工作时间完全一致，工作量比与效率比完全相等，通过份数差与实际差值的对应关系，可一步求出总工程量。 ✨ 典型例题 12（综合型——比例与分阶段工程综合） 一项工程，甲乙两队的工作效率比为。两队先合作6天，完成了全部工程的，剩余的工程由甲队单独完成。请问：完成这项工程一共需要多少天？ 解题步骤： ① 时间固定，工作量比=效率比，合作6天的总工作量为 ② 按比例分配合作工作量：甲6天完成，乙6天完成 ③ 计算甲队的工作效率： ④ 计算剩余工作量： ⑤ 计算甲单独完成剩余工作的时间：天 ⑥ 计算总工期：天（或天） ⑦ 检验：甲总完成量，乙完成，总量为1，符合题意 【答案】一共需要13.2天（或天） 【知识点睛】比例与分阶段工程的综合应用，核心是通过比例关系快速求出单人效率，再结合分段计算法求解总工期，是小升初奥数的高频综合题型。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 交替工作中，剩余工作量的分配顺序颠倒，打乱循环规则 错误示例：甲乙交替，甲先做，剩余工作量错误分配给乙先做，导致工期计算错误 正确分析：交替工作的核心是严格遵循固定的轮流顺序，完整周期结束后，剩余工作量必须从周期内第一个人开始依次分配，不可颠倒顺序。例如甲先做的循环，剩余工作量必须先由甲做，甲单日工作量不足以完成时，再由乙继续做。 ❌ 多人合作中，错误地将工作时间直接相加/求平均，忽略效率可加、时间不可加的规则 错误示例：甲10天、乙15天、丙20天完成，错误计算合作时间天 正确分析：工作时间绝对不可直接相加或求平均，只有工作效率可以直接求和。正确做法是先算三人效率和，合作时间天。 ❌ 中途加入/退出问题中，分段时间节点错误，导致效率与时间不匹配 错误示例：甲乙合作4天后甲退出，错误计算甲的工作时长为总工期，导致甲的工作量计算错误 正确分析：必须按人员变动的时间节点精准分段，中途退出的人员，仅计算其参与阶段的工作时长；中途加入的人员，仅计算其加入后的工作时长，不可全程计入效率。 ❌ 交替工作中，直接用总工作量除以单周期工作量得到小数周期，未拆分完整周期与剩余工作量 错误示例：单周期工作量，错误计算总工期天，忽略剩余工作量的分配规则 正确分析：周期数必须取整数部分，完整周期结束后，剩余工作量需按顺序单独计算所需时间，不可直接用小数周期乘周期时长，否则会导致工期计算错误。 ❌ 工程比例应用中，混淆正比与反比关系，总量固定时错误认为效率与时间成正比 错误示例：甲乙时间比，错误计算效率比为，导致后续结果全部错误 正确分析：严格遵循比例前提：工作总量固定时，效率与时间成反比例，时间比，效率比应为；只有时间固定时，工作量与效率才成正比例。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要24天完成。三人合作，需要多少天完成这项工程？ 2． 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。按照甲先做1天，乙再做1天的顺序轮流交替工作，完成这项工程一共需要多少天？ 3． 一项工程，甲乙两队合作10天可以完成。两队合作4天后，甲队中途退出，剩余工程由乙队单独做12天完成。乙队单独完成这项工程需要多少天？ 4． 单独完成一项工程，甲乙的时间比为，两队合作12天可以完成。甲队单独完成需要多少天？ 5． 一项工程，甲先单独做5天，乙再加入合作，又用了10天完成全部工程。已知乙单独做需要30天完成，甲单独做需要多少天完成？ 6． 一项工程，甲乙丙三人的效率比为，三人合作6天可以完成全部工程。丙单独完成这项工程需要多少天？ 7． 一项工程，甲单独做需要18天完成，乙单独做需要24天完成。按照乙先做1天，甲再做1天的顺序轮流交替工作，完成这项工程一共需要多少天？ 8． 一项工程，甲乙合作8天完成，乙丙合作10天完成，甲丙合作12天完成。三人合作，需要多少天完成这项工程？ 二、能力进阶篇(7题) 9． 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要10天完成。先由甲乙合作3天，之后丙加入，三人合作完成剩余工程，一共需要多少天完成？ 10． 一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1天，完成这项工程的需要多少天？ 11． 一项工程，甲乙两队合作18天可以完成。甲队先做20天，乙队再做15天，完成了全部工程的，剩余的工程由甲队单独做，还需要多少天完成？ 12． 一项工程，甲乙丙三人按照甲、乙、丙的顺序轮流各做1天，刚好整数天完成；若按照丙、甲、乙的顺序轮流各做1天，比原计划多用天。已知甲单独做需要10天完成，三人合作完成这项工程需要多少天？ 13． 甲乙两队合作完成一项工程，效率比为，完工时甲队比乙队少做了240米。这项工程的总长度是多少米？ 14． 一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。两人合作，中途甲休息了3天，乙休息了若干天，最终16天完成全部工程。乙中途休息了多少天？ 15． 一项工程，甲乙合作6天完成了全部工程的，之后乙队退出，甲队又做了12天完成剩余工程。乙队单独完成这项工程需要多少天？ 三、思维跃迁篇(5题) 16． 一个水池有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管10小时注满，单开乙管12小时注满，单开丙管15小时注满。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果下午2点水池被注满。甲管在何时被关闭？ 17． 一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。按照甲先做1小时，乙再做1小时，甲再做1小时，乙再做1小时……的顺序轮流工作，完成这项工程一共需要多少小时？ 18． 单独完成一项工程，甲需要10天，乙需要15天，丙需要20天。三人合作开工后，甲中途退出，结果一共用了6天完成全部工程。甲中途退出了多少天？ 19． 甲乙两队的工作效率比为，两队同时开工，合作完成一项工程，完工时两队距离中点120米。这项工程的总长度是多少米？ 20． 一项工程，按照甲、乙、丙各做1天的顺序轮流工作，刚好17天完成；若按照乙、丙、甲各做1天的顺序轮流工作，比原计划多用1天；若按照丙、甲、乙各做1天的顺序轮流工作，比原计划多用天。甲单独完成这项工程需要多少天？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1． 【答案】4天 解题步骤： ① 赋值总量为1，甲效率，乙效率，丙效率 ② 三人总效率 ③ 合作时间天 【知识点睛】基础三人合作问题，先求效率和，再用总量除以总效率求工期。 2． 【答案】12天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，单周期2天，工作量 ② 完整周期数个，刚好完成全部工作量 ③ 总工期天 【知识点睛】基础交替工作问题，完整周期刚好完成总工作量，无需处理剩余工作量。 3． 【答案】20天 解题步骤： ① 合作4天完成，剩余由乙12天完成 ② 乙效率，单独时间天 【知识点睛】中途退出基础题型，先算剩余工作量，再求单人效率与单独时间。 4． 【答案】21天 解题步骤： ① 时间比，效率比，合作效率和 ② 甲效率，单独时间天 【知识点睛】总量固定，效率与时间成反比，按比例分配效率和求单人效率。 5． 【答案】天（或天） 解题步骤： ① 乙效率，工作10天，完成量 ② 甲全程工作天，完成量 ③ 甲效率，单独完成时间天（或天） 【知识点睛】中途加入基础题型，先算全程工作的乙的工作量，反推甲的总工作量与效率。 6． 【答案】13.5天 解题步骤： ① 效率比，总效率和份，6天完成总量，总工作量份 ② 丙效率4份/天，单独时间天 【知识点睛】效率比已知，用份数法赋值总量，简化计算。 7． 【答案】 天 解题步骤： ① 乙效率，甲效率，单周期天，工作量 ② 个完整周期（天）完成，剩余 ③ 周期顺序乙先做，剩余由乙完成，时间天 ④ 总工期天 【知识点睛】交替工作顺序变化，剩余工作量由先做方完成，需严格遵循顺序。 8． 【答案】天（约6.49天） 解题步骤： ① 甲乙效率和，乙丙效率和，甲丙效率和 ② 三人总效率和 ③ 合作时间天 【知识点睛】多组双人效率和，相加后除以2得到三人总效率和。 二、能力进阶篇(7题) 9． 【答案】天（或天） 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，丙效率 ② 甲乙合作3天完成，剩余 ③ 三人合作效率和，剩余工作时间天 ④ 总工期天（或天） 【知识点睛】多人分阶段合作，中途加入新主体，分段计算效率和与时长。 10． 【答案】天（或8.5天） 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，单周期2天，工作量 ② 目标工作量，4个完整周期（8天）完成，剩余 ③ 剩余工作量由甲完成，时间天 ④ 总工期天（或8.5天） 【知识点睛】交替工作完成部分工作量，核心逻辑与完整工程一致，仅目标总量变化。 11． 【答案】1天 解题步骤： ① 甲乙合作效率，拆解为合作15天+甲单独5天 ② 合作15天完成，甲5天完成，剩余，甲效率，剩余时间天 【知识点睛】先后工作拆解为合作+单独，通过合作效率反推单人效率。 12． 【答案】4天 解题步骤： ① 原顺序整数天完成→最后一天由甲完成；新顺序多用天→丙1天+甲天=甲1天 ② 得：丙效率甲效率，乙效率甲效率 ③ 三人效率和，合作时间天 【知识点睛】多人交替工作的顺序变化题型，核心是通过工期差推导效率关系。 13． 【答案】960米 解题步骤： ① 时间固定，工作量比=效率比，份数差份，对应240米，1份=120米 ② 总工程量米 【知识点睛】时间固定，工作量与效率成正比，通过份数差求总量。 14． 【答案】5.5天 解题步骤： ① 总工期16天，甲休息3天，甲工作天，完成 ② 乙完成，乙工作时间天 ③ 乙休息时间天 【知识点睛】中途休息的混合场景，先算不休息的人的工作量，反推另一人的工作时长。 15． 【答案】60天 解题步骤： ① 剩余工程，甲12天完成，甲效率 ② 合作6天，甲完成，乙完成 ③ 乙效率，单独时间天 【知识点睛】分阶段合作问题，先算单人效率，再反推另一人的效率与单独时间。 三、思维跃迁篇(5题) 16． 【答案】上午9点被关闭 解题步骤： ① 总时长：上午8点到下午2点，共6小时 ② 赋值水池容量为1，甲效率，乙效率，丙效率 ③ 乙丙全程工作6小时，完成 ④ 甲完成，甲工作时间小时 ⑤ 甲8点开工，工作1小时，9点被关闭 【知识点睛】中途退出的水管工程问题，核心是锁定全程工作的主体，反推中途退出主体的工作时长。 17． 【答案】小时 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，单周期2小时，工作量 ② 7个完整周期（14小时）完成，剩余 ③ 周期顺序甲先做，剩余由甲完成，时间小时 ④ 总工期小时 【知识点睛】两人交替工作的高阶题型，完整周期后剩余工作量不足1个工作日，需精准计算时长。 18． 【答案】3天 解题步骤： ① 乙丙全程工作6天，完成 ② 甲完成，甲工作时间天 ③ 甲退出时间天 【知识点睛】多人合作中途退出题型，先算全程工作的两人的工作量，反推甲的工作时长与退出时间。 19． 【答案】960米 解题步骤： ① 时间固定，工作量比=效率比，甲完成，乙完成 ② 距离中点120米，甲超过中点，对应120米 ③ 总长度米 【知识点睛】比例与工程综合的高频题型，核心是通过与中点的距离找到对应分率，求总量。 20． 【答案】8天 解题步骤： ① 17天→5个周期+甲1天+乙1天完成工程 ② 18天个周期+乙1天+丙1天+甲1天→推出：甲1天=乙1天+丙1天 ③ 17.5天个周期+丙1天+甲1天+乙天→推出：乙1天=丙1天+甲天 ④ 联立效率关系得：甲效率，甲单独完成需天 【知识点睛】多人交替工作的高阶竞赛题型，通过不同顺序的工期差，推导三人的效率关系，最终求出单人完成时间。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $