精品解析：2025年湖北省襄阳市襄州区中考三模数学试题

襄州区2025年中考4月适应性考试数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较；根据正数比0大，负数比0小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得答案． 【详解】解：∵ ∴最小的数是， 故选：A． 2. 博物馆是展示历史，文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A     B.     C.     D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据大于向右，有等号为实心点，即可得出答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下： ． 故选：C． 4. 如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层从左往右有2个正方形． 故选B 【详解】 5. 下列整式的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及合并同类项法则判断出各选项即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不合题意； B、，故此选项错误，不合题意； C、与不是同类项，无法合并，故此选项错误，不合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 如图，平行于主光轴的光线经凹透镜折射后与经过光心的光线平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质得，，再根据邻补角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵平行于主光轴光线m， ∴， ∵折射后与经过光心的光线n平行， ∴， ∴． 故选：D． 7. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是( ) A. 样本为20名学生 B. 众数是4个 C. 中位数是3个 D. 平均数是3.8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本，中位数，众数，平均数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、样本为20名学生编织的中国结数量，说法错误，故此选项不符合题意； B、因为编织数量为3个的人数为6人，人数最多，所以众数是3个，说法错误，故此选项不符合题意； C、因为编织数量处在第10位和第11位的数量分别为4个、4个，所以中位数为4个，说法错误，故此选项不符合题意； D、因为，所以平均数为3.8个，说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了样本，中位数，众数和平均数，熟知相关定义是解题的关键． 8. 《九章算术》中的问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少两？现有列方程求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为，则另一个方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两）”即可列出另外一个方程． 【详解】解：由可知，雀有x两，燕有y两， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组． 9. 如图，是的直径，分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线交于两点，交于点，连接．若，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图-中垂线确定是线段的垂直平分线，再由垂径定理得到，，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角、互余定义得到，再由三角形相似的判定与性质得到求值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，是线段的垂直平分线，则， 是的直径， 由垂径定理可得， ， ，， 连接，如图所示： 是的直径， ，则， ， ， ， ， ，则， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及尺规作图-中垂线、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、互余定义、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握尺规作图-中垂线、垂径定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴． ∵抛物线对称轴位于y轴右侧， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵时，， ∴，故②正确； ③∵抛物线的最大值为4， ∴抛物线与直线无交点， ∴关于x的方程无实数根，故③错误； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故④错误， 综上所述，正确的有①②． 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式有意义的条件可得出，从而即可解答． 【详解】解：若分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是______（写出一个即可）． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为______A． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查的是求反比例函数值，直接将代入中可得的值． 【详解】解：当时，， 故答案为：8． 14. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标．作轴于点，求得，，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，以为边作等边三角形，，分别为，延长线上的点，且，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，在延长线上取点，使得，延长交于点，证明，，，得到，，设，则，设，则，，进而得到，根据含度角的直角三角形的性质可得，得到，推出，即可求解． 【详解】解：在延长线上取点，使得，延长交于点． ， 为等边三角形． ， 为等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， 同理：，， ，， ，， ， 设，则，设，则，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值．利用算术平方根的定义，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在矩形中，点在边上，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．由矩形性质及，导角可得．从而可证明，进而可证明结论． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 18. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正东方向 点在点的正东方向，点在点的正西方向 测量数据 ，，． ，，． 请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m，参考数据：，，，，，）． 【答案】第一小组的方案：河宽约为；第二小组的方案：河宽约为； 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 若选择第一小组的方案：先利用三角形的外角性质可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； 若选择第二小组的方案：设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：若选择第一小组的方案： ∵是的一个外角，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴河宽约为； 若选择第二小组的方案： 设， ∵， ∴， 在中，． ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴河宽约为； 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过，两点． ∴，， ∴，， ∴A点坐标为，B点坐标为． 把代入，求得， ∴反比例函数为； 【小问2详解】 解：观察图象，若，则x的取值范围是或． 20. 为全面深入推进“校园安全教育”，某校举行了校园安全知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数直方图中______； （2）补全学生成绩频数直方图； （3）学校将从获得满分的甲、乙、丙3名学生中，随机抽取2名参加周一国旗下的演讲，请利用画树状图法或列表法求抽取的同学中恰有甲同学的概率． 【答案】（1）400，60 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生总人数，即可解决问题； （2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取同学中恰有甲同学的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：（名）， ∴B组的人数为：（名）， ∴， 故答案为：400，60； 【小问2详解】 解：E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： ； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取同学中恰有甲同学的结果有4种， ∴抽取同学中恰有甲同学的概率为． 21. 如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理． （1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论； （2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果． 【小问1详解】 证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆O的切线； 【小问2详解】 解：连接，，如图2， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故圆的半径为． 22. 如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式． （2）若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ （3）若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 【答案】（1）； （2）这辆货车能安全通过． （3），时的最大安全限高h为米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）易得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点C的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）判断出货车最左端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，得到y的值，与5比较即可得到能否安全通过； （3）用含d的代数式判断出货车最右端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，可得h与d的关系式，取，可得h的值． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：这辆货车能安全通过． 理由：∵隧道为单向行车道，货车宽为, ∴货车最左端的点的横坐标为：， 当时，， ∴这辆货车能安全通过； 【小问3详解】 解：由题意得：货车最右端的点的横坐标为：, ∴， 当时，． 答：，时的最大安全限高h为米． 23. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 【答案】（1）成立．证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质， （1）是等腰直角三角形，四边形是正方形，得出边角关系，再利用证明即可求解， （2）设交于点，根据得出，再证明，即可求解； （3）过点作于点，可得N为的中点，再利用勾股定理等求出，再根据可求出，进而可求解； 【小问1详解】 解：成立． 理由：是等腰直角三角形，四边形是正方形， ，，， ，， ， 和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：设交于点， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：过点作于点， 在正方形中，， ， ． 在等腰直角中，， ，， 在中，， 在中，， ， ． 24. 若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； （3）如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）m的最大值为． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）证明，解得：，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则， 解得：，， 故抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线交y轴于点M， ∵ ∴抛物线的对称轴为， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， 由点B、C的坐标知，直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：过点P作轴交于点N， 则， 则， 而． 则， 解得：， 设点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则， 即， 故m的最大值为． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄州区2025年中考4月适应性考试数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 博物馆是展示历史，文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A.     B.     C.     D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列整式的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线经凹透镜折射后与经过光心的光线平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是( ) A. 样本为20名学生 B. 众数是4个 C. 中位数是3个 D. 平均数是3.8个 8. 《九章算术》中的问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少两？现有列方程求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为，则另一个方程应为（ ） A B. C. D. 9. 如图，是的直径，分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线交于两点，交于点，连接．若，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则取值范围为________． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是______（写出一个即可）． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为______A． 14. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点且在坐标轴上．若正六边形的边长是2，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，，以为边作等边三角形，，分别为，延长线上的点，且，．若，则______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在矩形中，点在边上，，，垂足为．求证：． 18. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正东方向 点在点正东方向，点在点的正西方向 测量数据 ，，． ，，． 请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m，参考数据：，，，，，）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围． 20. 为全面深入推进“校园安全教育”，某校举行了校园安全知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数直方图中______； （2）补全学生成绩频数直方图； （3）学校将从获得满分的甲、乙、丙3名学生中，随机抽取2名参加周一国旗下的演讲，请利用画树状图法或列表法求抽取的同学中恰有甲同学的概率． 21. 如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆半径． 22. 如图（1），某隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式． （2）若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ （3）若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 23. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 24. 若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； （3）如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$