1.2.2直线的两点式方程学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1．2.2　直线的两点式方程 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程． 2. 能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式． 3. 利用直线的两点式、截距式求直线方程． 4. 利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 活动一 探究直线的两点式方程 1. 复习巩固直线的点斜式(斜截式)方程： 练习　(1) 已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程； (2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求过这两点的直线方程． 2. 直线的两点式方程： 思考1►►► 任一条直线都可以用两点式方程表示吗？ 思考2►►► (1) 方程＝的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？ (2) 方程＝和方程＝表示同一个图形吗？ 活动二 根据直线的两点式方程求直线方程　　 例1　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 注：其中a称为直线在x轴上的截距，b称为直线在y轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 思考3►►► 任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 例2　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，分别求这个三角形三边所在直线的方程． 思考4►►► 根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？ 活动三　截距概念的辨析　 例3　求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 直线在两坐标轴上的截距相等，直接考虑截距式方程＋＝1，也可以由图形性质，得到k＝－1时截距相等，从而选用点斜式．解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程y＝kx. 　若将例3中的“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？ 1. (2024启东中学月考)过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0 C. x－y＋1＝0 D. x－y－1＝0 2. 直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A. 1 B. －1 C. 7 D. －7 3. (多选)(2024兴宁一中月考)下列说法中，错误的是(　　) A. 经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B. 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 C. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 D. 经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 4. 过点P(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条． 5. 已知直线l过点P(2，3)，根据下列条件分别求出直线l的方程． (1) 直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数； (2) 直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 1．2.2　直线的两点式方程 【活动方案】 1. 直线的点斜式方程为y－y1＝k(x－x1)，斜截式方程为y＝kx＋b. 练习：(1) 由题意，得y－2＝(x－1)， 化简，得3x－2y＋1＝0. 故直线l的方程为3x－2y＋1＝0. (2) 由题意，得直线的斜率k＝， 由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1). 因为y1≠y2，x1≠x2， 所以方程可以写成＝. 故过这两点的直线方程为＝. 2. 直线的两点式方程为＝. 思考1：与两坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示，而变形之后的方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)可以表示所有直线． 思考2：(1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1)). (2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1. 例1　因为直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0， 代入直线的两点式方程，得＝， 即＋＝1. 思考3：与两坐标轴垂直的直线及过原点的直线不能用截距式方程表示． 例2　因为直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点， 所以由直线的两点式方程，得＝， 整理，得3x＋8y＋15＝0. 因为直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝＝－， 所以由直线的斜截式方程，得y＝－x＋2， 即5x＋3y－6＝0. 因为直线AC在x轴，y轴上的截距分别是－5，2， 所以由直线的截距式方程，得＋＝1， 即2x－5y＋10＝0. 思考4：略 例3　当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时， 设所求直线的方程为y＝kx，将点P(3，2)代入，得2＝3k， 解得k＝，所以所求直线的方程为y＝x； 当在两坐标轴上的截距a＝b≠0时， 设所求直线的方程为＋＝1， 则解得a＝b＝5， 所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0. 跟踪训练　所求直线的方程为y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0. 【检测反馈】 1. D　由题意，得直线的两点式方程为＝，即x－y－1＝0. 2. B　直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1. 3. ABC　经过定点P(x0，y0)且斜率存在的直线才可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，故A错误；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程＋＝1表示，故B错误；经过定点A(0，b)且斜率存在的直线才可以用方程y＝kx＋b表示，故C错误；当x1≠x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程y－y1＝(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示；当 x1＝x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程x＝x1，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，因此经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，故D正确．故选ABC. 4. 3　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，将点P(1，2)代入y＝kx，解得k＝2，故直线的方程为y＝2x；当截距不为0时，若截距相等，设直线的方程为＋＝1，将点P(1，2)代入，得＋＝1，解得a＝3，故直线的方程为x＋y＝3；若截距互为相反数，设直线的方程为－＝1，将点P(1，2)代入，即－＝1，解得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，共有3条满足题意的直线． 5. (1) ①当直线l经过原点时，在x轴，y轴上的截距互为相反数且都等于0， 此时直线l的方程为y＝x； ②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1(a0≠0). 因为点P(2，3)在直线l上， 所以＋＝1，解得a0＝－1， 即x－y＋1＝0. 综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0. (2) 由题意，得直线l与两坐标轴均交于正半轴， 故设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0). 将点P(2，3)代入，得＋＝1. 因为＋＝1≥2， 所以ab≥24，当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立， 此时三角形的面积取得最小值，为S＝ab＝12， 故直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$