2.与折叠有关的计算加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

与折叠有关的计算加练 1．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 2．四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，B′C＝3，则AM的长为（　　） A．1.8 B．2 C．2.3 D． 3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE折叠后得到△AFE，点F在矩形内部．延长AF交CD于点H，若AD＝4，CH，则折痕AE的长为（　　） A． B．2 C．3 D．2 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝25，AD＝24，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为（　　） A．2 B．7 C．18 D． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，则tan∠ADF的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，有一张长方形片ABCD，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D．若∠EDC′的度数为40°，则∠BAE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．65° 7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，若∠ABE＝25°，则∠DBC为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 8．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ABC＝90°．将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，则BN的长是（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 9．如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接EB，若EB＝4，则FD的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论： ①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 11．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上．若AD＝1，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，将△ACD沿着AD翻折得到△AED，连接BE，则线段BE的长为（　　） A．4 B． C． D．3 13．如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，将△DAE沿DE翻折得△DFE，点A的对应点是点F，直线AF与DE交于点H，与∠CDF的平分线交于点G，连接BG，下列说法： ①DH＝GH； ②∠AGB＝45°； ③若连接CG，则CG⊥AG； ④若正方形边长为2，E为AB的中点，则． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将△MDC沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在△ABC中，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2α，连接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（　　） A． B．60°+α C． D．90°﹣α 16．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF＝　 　 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E在AD边上且AE＝1，若点H在边CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，则tan∠MD'H的值为 　 　． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　 　． 20．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论：①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③；正确的有：　 　．（填写序号） 21．在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张边长为4的正方形纸片ABCD，对角线AC与BD交于点O，将正方形纸片沿直线DG折叠，点C落在对角线BD上的E处，折痕DG交AC于点M，连接EM、EG （1）求OM的长； （2）判断四边形EGCM的形状并说明理由． 22．如图1，矩形ABCD，点E，点F分别为AD，BC上的点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点B′落在CD上，连接BB′． （1）如图2，当点B′与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，BC＝8，求折痕EF的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 与折叠有关的计算加练 参考答案 1．A【解析】由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A． 2．B【解析】连接MB、MB′，如图所示：∴MB＝MB′，∵四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，∴AB＝AD＝CD＝9，∠A＝∠D＝90°，设AM＝x，则MD＝9﹣x，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，即92+x2＝BM2；∵B′C＝3，∴DB′＝CD﹣B′C＝6，在Rt△DB′M中，B′D2+DM2＝B′M2，即62+（9﹣x）2＝B′M2；∴92+x2＝62+（9﹣x）2，即18x＝36，解得x＝2，故选：B． 3．A【解析】连接EH，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵将△ABE折叠后得到△AFE，∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，∴EF＝EC，∵矩形ABCD，∴∠C＝90°，∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），∴CH＝FH，∵AD＝4，CH，设AB＝x，则有AH＝x，DH＝x，在Rt△ADH中，42，∴x＝3，在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，∴AE，故选：A． 4．D【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝25，AD＝24，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝25，BC＝AD＝24，∵把△CDE沿DE折叠，点C落在AB边上的F处，∴FD＝CD＝25，FE＝CE，∴AF7，BE＝24﹣CE，∴BF＝AB﹣AF＝25﹣7＝18，∵BF2+BE2＝FE2，∴182+（24﹣CE）2＝CE2，解得CE，故选：D． 5．A【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝3，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，∴∠ABD＝∠CBD，∵将△BCD沿BD折叠到△BED，∴∠EDB＝∠CDB，∴∠ABD＝∠EDB，∴DF＝BF＝5﹣AF，∵AD2+AF2＝DF2，∴32+AF2＝（5﹣AF）2，解得AF，∴tan∠ADF，故选：A． 6．D【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∵∠EDC′＝40°，∴∠ADB′＝180°﹣90°﹣40°＝50°，由折叠的性质得到∠B′＝∠B＝90°，∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AD＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAB′＝∠BAD+∠B′AD＝130°，∴∠BAE∠BAB′＝65°．故选：D． 7．D【解析】由条件可知∠ABE＝∠A′BE＝25°，∠A′BD＝∠DBC，∴∠A′BC＝180﹣25°﹣25°＝130°，∵，∴，故选：D． 8．A【解析】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，BC＝6，∴BD＝3，在Rt△BND中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4，即BN＝4，故选：A． 9．D【解析】∵四边形ABCD是正方形，AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴DM＝AMAD，CN＝BNBC，∴DM∥CN，且DM＝CN，∴四边形CDMN是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴∠CNE＝∠FME＝90°，∴MN垂直平分BC，∴EC＝EB＝4，由折叠得EC＝DC＝4，FE＝FD，∴AD＝BC＝DC＝MN＝4，∴DM＝AMAD＝2，CN＝BNBC＝2，∴FM＝2﹣FD，EN2，∴EM＝4﹣2，∵EM2+FM2＝FE2，∴（4﹣2）2+（2﹣FD）2＝FD2，解得FD＝8﹣4，故选：D． 10．C【解析】∵在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，∴AE＝BE．由折叠性质可得BE＝PE，∴AE＝PE，∴△AEP为等腰三角形，故①正确；由折叠性质可得∠BEC＝∠PEC，由AE＝PE可得∠EAP＝∠EPA，又∵∠PEB＝∠EAP+∠EPA，即2∠PEC＝2∠EPA， ∴∠PEC＝∠EPA，∴AF∥EC．又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴CF＝AE＝BE，即F为CD的中点，故②正确；连接EQ，如图所示，由折叠可得∠EPC＝90°＝∠EPQ＝∠EAQ，又AE＝PE，QE＝QE，在Rt△AEQ和Rt△PEQ中，，∴Rt△AEQ≌Rt△PEQ（HL）．∴AQ＝PQ，设AQ＝PQ＝x，正方形的边长设为2a，∴QD＝2a﹣x，CQ＝2a+x，CD＝2a，∴由勾股定理可得：（2a﹣x）2+（2a）2＝（2a+x）2，解得：x，∴AQ＝PQ，DQ＝2a．如图所示，过F作FN∥AD，∵F为CD中点，则由三角形中位线定理的逆定理可得N必为CQ中点，∴NF，∵AQ∥NF，∴△AQP∽△FNP，∴，故③错误；∴，故④正确．综上，①②④正确．故选：C． 11．B【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC．由第一次折叠可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，∴四边形AMA′D为正方形，∴AM＝A′M＝AD，∴．由第二次折叠可知，∠BMC＝∠B′MC，∵BM∥CD，∴∠DCM＝∠BMC，∴∠B′MC＝∠DCM，∴，∴．故选：B． 12．C【解析】延长AD交CE于点O，过点A作AH⊥BC于点H，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴，∵D是BC的中点，∴AD＝DC＝DB＝5，∵，∴，由折叠的性质可得，AD垂直平分线段CE，∵S△ADC＝S△ABD，∴∴，∴，∵DE＝DB＝DC，∴∠DCE＝∠DEC，∠DBE＝∠DEB，∴，∴△BCE是直角三角形，在Rt△BCE中，．故选：C． 13．D【解析】根据翻折可知∠ADE＝∠EDF，点A和点F关于DE对称，∴∠AHD＝90°．∵DG是∠CDF的平分线，∴∠FDG＝∠CDG．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠DAE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∴∠HDG＝45°，∴∠DGH＝∠HDG＝45°，∴DH＝GH．故①正确；如图所示，连接BD，∵四边形是正方形，∴∠ABD＝∠AGD＝∠ADB＝45°，∴A、D、G、B四点共圆，∴∠AGB＝∠ADB＝45°，故②正确；如图所示，连接AC，∵∠ACB＝∠AGB＝45°，∴A、B、G、C四点共圆，∴∠AGC＝∠ABC＝90°，∴CG⊥AG，故③正确；∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，∴AD＝AB＝2． ，在Rt△ADE 中，由勾股定理得，∵ ，∴ ，∴，故④正确；∴正确的有4个，故选：D． 14．C【解析】由翻折变换可知，AM＝MDAD，AB＝GE＝1，CD＝CE＝1，在Rt△PGC中，设PG＝x，则BP＝x，PC＝2x，由勾股定理得，PG2+CG2＝PC2，即x2+22＝（2x）2，解得x，即PG，又∵∠G＝∠FEC＝90°，∠PCG＝∠FCE，∴△PGC∽△FEC，∴，∴EFPG，故选：C． 15．D【解析】如图，连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F，则∠CEB′＝∠CFB′＝∠BEB′＝∠AFB′＝90°，由折叠可知，∠BAD＝∠B'AD＝30°，AB＝AB′，∴∠BAB′＝∠BAD+∠B'AD＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB′＝BB′，∠B′BA＝∠B′AB＝60°，∵B′C平分∠ACB，∠ACB＝2α，∴∠ACB′＝∠BCB′∠ACB＝α，又∵B′E⊥BC，B′F⊥AC，∴B′E＝B′F，在Rt△BB′E和Rt△AB′F中，，∴Rt△BB′E≌Rt△AB′F（HL），∴∠B′BE＝∠B′AF，∴∠B′BA+∠B′BE＝∠B′AB+∠B′AF，即∠ABC＝∠BAC，∵∠ACB＝2α，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝∠BAC90°﹣α，∴∠AB'D＝90°﹣α，故选：D． 16．【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝3cm，BC＝4cm，∴AD∥BC，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠AFE＝∠CEF，∵将矩形ABCD沿EF折叠，点A与点C重合，∴∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∴∠AFE＝∠AEF，BE＝4﹣CE＝4﹣AE，∵AB2+BE2＝AE2，∴32+（4﹣AE）2＝AE2，解得AE，∴AF＝AEcm，作EH⊥AD于点H，∵AD∥BC，EH⊥AD于点H，AB⊥AD于点A，∴EH＝AB＝3cm，∴S△AEFAF•EH3，故答案为：． 17．【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，∴，∴，∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，∴CD＝DF＝3，CE＝EF，∠EFD＝90°，∴BF＝BD﹣DF＝2，∠BFE＝90°，设CE＝x，则EF＝x，BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△BFE中，由勾股定理，得：（4﹣x）2＝x2+22，解得：，∴，故答案为：． 18．【解析】由翻折可得，DE＝D'E，∠D＝∠ED'H＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠D＝90°，∵AE＝1，∴DE＝D'E＝5﹣1＝4，∴EC5，∵∠D＝∠END'＝90°，∠NED'＝∠DEC，∴△NED'∽△DEC，∴，即，解得EN，ND'．∵D'N⊥AD，∴∠D'NE＝90°，∵∠MD'H+∠ED'M＝∠ED'M+∠NED'＝90°，∴∠MD'H＝∠NED'，∴tan∠MD'H＝tan∠NED'．故答案为：． 19．（3，10）【解析】∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，由折叠得FB＝CB，FE＝CE，设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，∵A（﹣2，0），F（0，6），∴OA＝GD＝2，OF＝6，∴OB＝m﹣2，∵∠BOF＝∠EGF＝90°，∴OB2+OF2＝BF2，∴（m﹣2）2+62＝m2，解得m＝10，∴AD＝OG＝CD＝10，∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，∵GE2+FG2＝FE2，∴GE2+42＝（8﹣GE）2，解得GE＝3，∴E（3，10），故答案为：（3，10）． 20．①【解析】∵△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴，故①正确；如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴EH＝EF，∵BE是∠ABD的角平分线，∵ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED，∴EH＝ED＝4，故②不正确，∵将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，∴EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，设DM＝x，则EM＝8﹣x，Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，DE＝4．（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，∴EM＝MC＝5，故③不正确，故答案为：①． 21．解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DCB＝90°，∠ACB＝45°，AC⊥BD，DC＝BC＝4，OD＝OB， ∴， ∴， ∵∠GED＝∠DCB＝90°，∠MEG＝∠ACB＝45°，DC＝DE＝4， ∴∠OEM＝∠GED﹣∠MEG＝90°﹣45°＝45°， ∵∠EOM＝90°， ∴∠OME＝∠OEM＝45°， ∴OE＝OM， ∴， ∴O M的长为． （2）四边形EGCM为菱形，理由如下， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DCB＝90°，∠ACB＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， 又∵∠GED＝∠DCB＝90°， ∴∠GED＝∠DOC＝90°， ∴EG∥AC， 由（1）可知，∠OME＝∠ACB＝45°， ∴EM∥GC， ∴四边形EMCG是平行四边形， 又∵EG＝GC， ∴四边形EMCG为菱形． 22．解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下： 由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′， ∴BE＝B′E，BF＝B′F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠BFE， ∴∠B′EF＝∠B′FE， ∴B′E＝B′F， ∴BE＝B′E＝B′F＝BF， ∴四边形BEB′F是菱形； （2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示： 则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形， ∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6， 由折叠的性质得：EF⊥BB′， ∴∠BOF＝90°， ∴∠EFG+∠B′BF＝90°， ∴∠GEF＝∠B′BF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝6，∠C＝90°， ∴∠C＝∠EGF， ∴△EGF∽△BCB′， ∴， ∴EFBB′， ∴当BB′取最大值，EF取得最大值， 此时，点B′与点D重合， 连接BD， 在Rt△BCD中，BD10， ∴EF最大BD10． 学科网（北京）股份有限公司 $$