2.与圆的切线有关的综合题加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

与圆的切线有关的综合题加练 参考答案 1．（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 2．（1）证明：连接BD，OD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC， 在Rt△BDC中，点E是BC的中点， ∴， 又∵OB＝OD，OE＝OE， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∵D在⊙O上 ∴DE是⊙O的切线． （2）解：由（1）中结论，得BC＝2DE＝10， 在Rt△BDC中，， ∴， ∵∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABD＝90°， ∴∠C＝∠ABD， 又∵∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴△ADB∽△BDC， ∴， ∴． 3．（1）证明：连接OD，如图， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD180°＝90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝30°，， ∴AB＝2BC＝4． ∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BDAB＝4， 过点B作BF⊥CD于点F， ∵∠CDB＝∠CAB＝30°， ∴BFBD＝2， ∴DF2， ∵△BFC为等腰直角三角形， ∴CF＝BF＝2， ∴CD＝CF+DF＝22． 4．（1）证明：连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OAD＝90°， ∵⊙O是以OA为半径的圆， ∴OF＝OA， ∵， ∴∠FOD＝∠AOD， 在△FOD和△AOD中， ， ∴△FOD≌△AOD（SAS）， ∴∠OFD＝∠OAD＝90°， ∵OF是⊙O的半径，且DF⊥OF， ∴DF与半圆O相切． （2）解：连接AF交OD于点L，则OD垂直平分AF， ∵点O是AB的中点，且⊙O以OA为半径， ∴AB是⊙O的直径， ∵∠OAD＝90°，AB＝8，AD＝2， ∴OA＝OBAB＝4， ∴DO2， ∵∠BFA＝∠OAD＝∠OLA＝90°， ∴BF∥OD， ∴∠FBA＝∠AOD， ∴△FBA∽△AOB， ∴， ∴BF， ∴BF的长是． 5．（1）证明：连接OD， ∵AC是直径，∠ADC是AC所对的圆周角， ∴∠ADC＝90°， ∵OC＝OD＝OA，∠DAC＝30°， ∴∠ODA＝∠DAC＝30°， ∴∠COD＝∠DAC+∠ODA＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CDE+∠ODC＝90°． 又∵OD是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO⊥AC， ∴∠AOG＝∠EOF＝90°， ∵∠DAC＝∠E＝30°， ∴∠AGO＝∠F＝60°， ∴∠F＝∠FGD＝60°， ∴△FGD是等边三角形， ∴FD＝DG＝FG， 在Rt△ODF中，∠F＝60°， ∵OD＝AO＝3，， ∴， ∴△FGD周长． 6．（1）证明：∵AB为圆O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∵OE∥BC， ∴OE⊥AC． 即OF⊥AC； （2）解：连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵OE∥BC， ∴∠OCB＝∠EOC， ∴∠OBC＝∠EOC， ∵EC是圆O的切线， ∴OC⊥EC， ∴∠OCE＝90°， ∴∠OCE＝∠ACB， ∴△OCE∽△BCA， ∴， ∴， ∴BC． 7．（1）证明：如图1中， ∵AC∥EG， ∴∠G＝∠ACG， ∵AB⊥CD， ∴， ∴∠CEF＝∠ACD， ∴∠G＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠ECG， ∴△ECF∽△GCE． （2）证明：如图2中，连接OE， ∵GF＝GE， ∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r． 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G， ∵AH＝3， ∴HC＝4． 在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4， ∴（r﹣3）2+42＝r2， ∴r ∵GM∥AC， ∴∠CAH＝∠M， ∵∠OEM＝∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴， ∴， ∴． 8．解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径， ∴CE⊥AB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， 又∵OE＝OC， ∴OD∥EB， ∴OD⊥CE； （2）连接EF， ∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°． ∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°， ∴∠BEF＝∠ECF， ∴tan∠BEF＝tan∠ECF ∴， 又∵DF＝1，BD＝DC＝3， ∴BF＝2，FC＝4， ∴EF＝2， ∵∠EFC＝90°， ∴∠BFE＝90°， 由勾股定理，得， ∵EF∥AD， ∴， ∴． 9．（1）证明：连接OC，如图， ∵AD∥BC， ∴∠B＝∠DAB． ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB＝∠D． ∵∠D＝∠E， ∴∠DAB＝∠E， ∴AB∥EC． ∵， ∴OC⊥AB， ∴OC⊥EC． ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图， 由（1）知：AB∥EC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴BC＝AE＝5，AB＝EC＝8． ∵OC⊥AB， ∴AF＝BFAB＝4． ∴FC3． 设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3， ∵OF2+BF2＝OB2， ∴（r﹣3）2+42＝r2， 解得：r． ∴⊙O半径的长为． 10．（1）证明：连接OC，如图1， ∵C是BF的中点，O是AB的中点， ∴OC∥AF， ∴∠CAE＝∠ACO， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACO＝∠BCD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）证明：∵点C是BF的中点，∠ACB＝90°，即AC⊥BF， ∴AF＝AB， ∴∠F＝∠ABC， ∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠ABC＝∠FEC， ∴∠F＝∠FEC， ∴△CEF是等腰三角形； （3）解：连接BF，如图2， ∵∠BCD＝∠ACO＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB， ∴△DCB∽△DAC， ∴，即， ∴AD＝4，AC＝2BC， ∴AB＝AD﹣BD＝4﹣1＝3； 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2， 即4BC2+BC2＝32， 解得，则， ∵AB是圆O的直径， ∴BE⊥AF， ∴AB2﹣AE2＝BF2﹣EF2，即． 解得． 11．（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO＝∠EPD，∠PAO＝∠E＝90°， ∴△APO∽△EPD， ∴∠PDE＝∠POA； （2）解：连接OC，DE交圆于点F， ∴PA＝PC＝12， ∵tan∠APC， ∴AD＝16， 在Rt△PAD中，PD20， ∴CD＝PD﹣PC＝20﹣12＝8， ∵tan∠APC， ∴tan∠PDA， ∴OC＝OA＝6， 在Rt△OCD中，OD10， ∵∠EPD＝∠ODE， ∴△DEP∽△OED， ∴2， ∴DE＝2OE， 在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝102， ∴OE＝2， ∴DE＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 与圆的切线有关的综合题加练 1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 2．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，求AD的长； 3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，，求CD的长． 4．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆O于点E，在上取点F，使，连接BF，DF． （1）求证：DF与半圆O相切； （2）如果，求BF的长． 5．如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AO＝3，求△FGD的周长． 6．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，点A，B，F均在⊙O上，且AB为直径，OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知OE∥BC． （1）求证：OF⊥AC； （2）若OE＝4，，求BC的长． 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G，AH＝3，求EM的值． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径． （1）求证：OD⊥CE； （2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长． 10．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：△CEF是等腰三角形； （3）若BD＝1，CD＝2，求EF的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠PDE＝∠POA； （2）若PC＝12，tan∠APC，求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$