1.与圆的基本性质有关的综合题加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

与圆的基本性质有关的综合题加练 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B＝28°，求∠ACD的度数； （2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E． （1）若∠A＝35°，求的度数； （2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BD＝CD； （2）若，BD＝4，求CE的长． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠B＝72°，连接AC． （1）∠ADC＝ 　 　°，∠ACO＝ 　 　°； （2）若AB＝8，∠DCA＝27°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE． （1）求证：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长． 6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接AD，点E在弦CD上，且ED＝AD，连接AE． （1）求证：∠BAE＝∠CAE； （2）若∠B＝60°，AB＝8，求AE的长． 7．如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 8．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AE上一点，（点P不与A，E重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD． （1）求CD的长； （2）求证：∠ADP＝∠ADQ． 10．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数： （2）求证：DI＝DA； （3）若AC＝5，，求BC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 与圆的基本性质有关的综合题加练 参考答案 1．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝62°， ∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°； （2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BDAB＝1， ∵CD＝CA， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴阴影部分的面积＝S扇形ACD． 2．解：（1）连接CD， ∵∠A＝35°， ∴∠B＝55°， ∵CB＝CD， ∴∠B＝∠CDB＝55°， ∴∠BCD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴的度数为20°； （2）作CH⊥BD，则BH＝DH， 在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∵， ∴， ∴在Rt△BCH中，BH， ∴． 3．（1）证明：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， 在Rt△BEC中，， 设BE＝x，则CE＝2x， ∵BE2+CE2＝BC2，BC＝2BD＝8， ∴x2+（2x）2＝82， ∴， ∴． 4．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣72° ＝108°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣72° ＝18°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝18°， 故答案为：108，18； （2）连接OD， ∵∠ADC＝108°，∠DCA＝27°， ∴∠DAC＝180°﹣108°﹣27°＝45°， ∴∠DOC＝90°， ∴△COD是等腰直角三角形， ∵AB＝8， ∴OC＝OD＝4， ∴阴影部分的面积为： S扇形COD﹣S△COD ＝4π﹣8． 5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD+∠FAD＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAD， ∴∠AEB＝∠AFD； （2）解：如图，过点F作FM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB， ∴∠BFE＝∠AEB， ∴BF＝BE＝5， ∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF， ∴△AMF∽△ABE， ∴， 即， 设MF＝x，则AM＝2x， ∴BM＝10﹣2x， ∵BM2+MF2＝BF2， ∴（10﹣2x）2+x2＝52， 解得x＝3， 即MF＝3， ∵AE平分∠ABD，AD⊥BC， ∴DF＝MF＝3． 6．（1）证明：∵ED＝AD， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴∠DCA+∠CAE＝∠DAB+∠BAE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCA＝∠DCB， 由圆周角定理得：∠DAB＝∠DCB， ∴∠DAB＝∠DCA， ∴∠BAE＝∠CAE； （2）解：如图，连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴AD＝BDAB＝4， 由圆周角定理得：∠ADB＝∠ABC＝60°， ∵ED＝AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴AE＝AD＝4． 7．解：（1）∵AE平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD＝40°， ∴∠BAD＝80°； （2）∵AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE， ∴， ∴BC＝CD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠BEC＝∠BAC+∠ABE， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝EC， ∴BC＝EC＝DC， ∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上， ∴点C是△BDE的外心． 8．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴BE＝EC＝4， ∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6， ∴， ∴OD＝OB＝5， ∴， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． 9．（1）解：连接OC， 因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， 所以， 因为AB＝10，AE＝8，所以OC＝5，OE＝3， 在Rt△COE中，由勾股定理得， 所以CD＝2CE＝8， 所以CD的长为8； （2）证明：连接AC， 因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， 所以AB垂直平分CD， 所以AC＝AD，CP＝DP， 因为AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP， 所以△ACP≌△ADP（SSS）， 所以∠ADP＝∠ACP， 因为， 所以∠ACP＝∠ADQ， 所以∠ADP＝∠ADQ． 10．（1）解：AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，∠ABC＝25°， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）证明：连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝DA； （3）解：∵， ∴， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∵AC＝5，∠ACB＝90° ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$