1.特殊四边形的证明与计算加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

特殊四边形的证明与计算加练 1．如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，DC，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝10，∠BCD＝60°，求菱形ABCD的面积． 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 3．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长． 4．在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F． （1）若，求DF的长； （2）求证：AE•CF＝1； （3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长． 5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF． （1）求证：四边形CDEF为菱形； （2）连接DF交EC于G，若DF＝6，CD＝5，求四边形CDEF的面积． 6．已知：如图1，四边形BEDF是平行四边形，点A、C在对角线EF所在直线上，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）如图2，连接AD、BC，若AC平分∠BAD，四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由． 7．△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF． （1）说明：OE＝OF； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形． 8．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长． 9．如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H． （1）由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 　 　； （2）求证：CB＝CH； （3）若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积． 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，且BE＝AF． （1）∠ADE+∠DAF＝　 　°； （2）求证：AB＝BC； （3）连接BD，且BD平分∠ABE交AF于点G，探究△BCD的形状并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特殊四边形的证明与计算加练 参考答案 1．（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形AEBO是矩形， ∴∠AOB＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形AEBO是矩形， ∴AB＝BC＝OE＝10， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴∠BCO＝30°，∠AOB＝90°， ∴OBBC10＝5， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC5， ∴BD＝2OB＝2×5＝10，AC＝2OC＝210， ∴S菱形ABCDAC•BD10×1050． 2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 3．（1）证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠HGF＝90°， ∵H、G分别是AD、DC的中点， ∴HG∥AC，HGAC， ∴∠HGF＝∠GNC， ∴∠GNC＝90°， ∵G，F分别是DC、BC的中点， ∴GF∥BD，GFBD， ∴∠GNC＝∠MOC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵矩形EFGH的周长为22， ∴HG+FG＝11， ∴AC+BD＝22， ∵， ∴AC×BD＝20， ∵（AC+BD）2＝AC2+2×AC×BD+BD2， ∴AC2+BD2＝444， ∴， ∴AO2+BO2＝111， ∴AB2＝AO2+BO2＝111， ∴AB． 4．（1）解：由正方形性质可知，AB＝BC＝CD＝DA＝1， 若，则． ∴∠A＝∠FDE＝90°， 又∵∠AEB＝∠FED， ∴△AEB∽△DEF， ∴， 即， ∴． （2）证明：有正方形性质可知∠A＝∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F， ∴△ABE∽△CFB， ∴， ∴AE•CF＝AB•BC＝1×1＝1． （3）解：设EG＝ED＝x， 则AE＝1﹣x，BE＝1+x． 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， 即12+（1﹣x）2＝（1+x）2， 解得． ∴． 5．（1）证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点， ∴EFAB，EF∥AB，CFBC，AE＝CE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∵AB＝BC＝2CD， ∴EF＝CF＝CD， ∵AB∥CD∥EF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴四边形CDEF为菱形； （2）解：如图，DF与EC交于点G， ∵四边形CDEF为菱形，DF＝6， ∴DF⊥CE，DGDF＝3，EG＝GC， ∵CD＝5， 在Rt△CDG中，GC4， ∴CE＝2GC＝8， ∴四边形CDEF的面积为：CE•DF8×6＝24． 6．（1）证明：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF，BE∥DF， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 如图，连接BD交AC于点O， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠BAC＝∠DCA，AB＝CD， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， 7．（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO＝CO， ∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形； （3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则 ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 8．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BD＝10， ∴OB＝OD＝5， ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF， ∵AE+CF＝EF， ∴2AE＝EF＝2OE， ∴AE＝OE， 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线， ∴EGOB＝2.5． ∴EG的长为2.5． 9．（1）解：由作图可知，∠1与∠2的数量关系是∠1＝∠2， 故答案为：∠1＝∠2； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠CHB， 由作图可知，∠1＝∠2， ∴∠CHB＝∠2， ∴CB＝CH； （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴∠2＝∠AGB， 由作图可知，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠AGB， ∴AG＝AB＝4， ∵AG＝2GD， ∴GD＝2， ∴BC＝AD＝AG+GD＝4+2＝6， 由（2）可知，CH＝CB＝6， 过点H作HK⊥BC，交BC的延长线于点K， 则∠HKC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠HCK＝∠ABC＝60°， 在Rt△HCK中，HK＝CH•sin∠HCK＝63， ∴S△BCHBC•HK6×39． 10．（1）解：∵AF⊥BE，BE⊥CD， ∴AF∥CD， ∴∠ADE+∠DAF＝180°； 故答案为：180； （2）证明：∵BE⊥CD，AF⊥BE， ∴∠AFB＝∠BEC＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝90°， ∵∠ABC＝90°，即∠ABF+∠EBC＝90°， ∴∠BAF＝∠EBC， 在△ABF 和△BCE 中， ， ∴△ABF≌△BCE（ASA）， ∴AB＝BC； （3）解：△BCD是等腰三角形，理由如下： ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABG＝∠DBE， 由（2）知：△ABF≌△BCE， ∴∠BAF＝∠EBC， ∵∠BGF＝∠BAF+∠ABG，∠DBC＝∠EBC+∠DBE， ∴∠BGF＝∠DBC， ∵BE⊥CD，AF⊥BE， ∴AF∥CD， ∴∠BGF＝∠BDC． ∴∠BDC＝∠DBC， ∴BC＝CD， ∴△BCD是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$