3.锐角三角函数的实际应用加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

锐角三角函数的实际应用加练 1．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．76cm B．（6412）cm C．（6412）cm D．64cm 2．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 4．如图，A，B，C，D分别是龙城公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米，千米．则AC的长度为（　　）千米． A． B． C． D． 5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A． B． C．6m D． 6．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为 　 　km． 7．如图，无人机在塔、树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，B、P、C在一条直线上，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，则塔高AB的值为 　 　米．（结果带根号．参考数据：，，） 8．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是 　 　． 9．如图，已知斜坡AB长为60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE． （1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物GH距离A处30米远（即AG为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号） 10．综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 11．舍利塔是临清古城的地标．某校九年级“综合与实践”小组开展了测量舍利塔高度的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 舍利塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．提升动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面156m的P点，测得塔顶端A的俯角为15°； 2．再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得塔底端B的俯角为45°． 测量示意 请根据以上测量数据，求舍利塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，） 12．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°） 13．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3米，∠BEA＝90°，当α＝37°，β＝58°时．（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） （1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长； （2）求AO的长． 14．小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告： 课题 测量樟树的高度 测量工具 测角仪和皮尺 测量示意图及说明 说明：BC为水平地面，樟树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3：4，在斜坡CD上的点E处测樟树顶端A的仰角∠1的度数． 测量数据 BC＝8米，CE＝5米，∠1＝48°． 参考数据 Sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11． 请你根据以上测量报告中的数据，求樟树AB的高度．（结果精确到0.1米） 15．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管AB＝24cm，，试管倾斜角α为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1cm）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 16．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与两楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角为45°，楼顶D的仰角为68.2°； 【步骤三】利用皮尺测出AM＝40米，CM＝20米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离． 参考数据 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.93 0.37 2.50 6.08 根据以上信息计算两幢楼楼顶B，D之间的距离．（结果精确到0.1） 17．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝　 　°，∠APC＝　 　°，AB＝　 　海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 18．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇． （1）求妈妈步行的速度； （2）求明明从C处到D处的距离． （参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75，1.73，1.41，结果保留两位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锐角三角函数的实际应用加练 参考答案 1．A【解析】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AEAC64＝32（cm），同理可得，BF＝32cm，又∵点A与B之间的距离为12cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32＝76（cm），故选：A． 2．A【解析】过点P作PC⊥AB交AB于点C，如图所示，AC，BC，∵m＝AC﹣BC，∴m，∴PC（千米）．故选：A． 3．A【解析】由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，设BD＝CN＝x m，∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m，在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m，在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，∴AN＝CN•tan53°x（m），∵AM+BM＝AN+BN＝AB，∴x+5+1.8x+1.5，解得：x＝15.9，∴ANx＝21.2（m），∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m），∴电子厂AB的高度约为22.7m，故选：A． 4．A【解析】解：过点B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，由题意得，∠CAB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝45°，∠ABE＝90°﹣∠BAC＝30°，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝2千米，∴（千米），∴（千米），在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴千米，∴千米．故选：A． 5．B【解析】解：设AC＝AB＝x m．∵四边形EFCD是矩形，∴CF＝DE＝4m，∵BE＝1m，∴AD＝AE﹣BE＝x+1﹣4＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2，∴x2＝（x﹣3）2+62，解得x，∴ACm．故选：B． 6．【解析】解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，则∠ADB＝∠ADO＝90°，由题意可知，∠AOB＝90°﹣45°＝45°，AB＝15km，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OD＝AD，∴OAAD，在Rt△AOD中，∠B＝180°﹣45°﹣90°﹣15°＝30°，∴ADABkm，∴OAkm，即观测站O距港口A的距离为km，故答案为：． 7．【解析】解：如图：延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F，由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，∵CD＝12米，∴DE＝CE﹣CD＝48（米），在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°，∴（米），∵PB﹣PC＝8，∴QF﹣QE＝8，∴米，在Rt△QFA中，∠FQA＝37°，∴米，∴米，故答案为：． 8．（20+10）m【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴1：，设DF＝x m，CFx m，∴CD2x＝20（m），∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（1030）m，∵∠ADH＝30°，∴AHDH（1030）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，答：古塔AB的高度是（20+10）m，故答案为：（20+10）m． 9．解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°， ∴∠BEF＝45°， ∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝30米， ∴，米， ∴（米）， ∴平台DE的长为 米； （2）过点D作DP⊥AC，垂足为P． 在Rt△DPA中，米， ∴米， ∴在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝PA+AG＝1530（米）， 在Rt△DMH中，（米）， 则GH＝HM+MG＝15+1015＝30+10（米）， 答：建筑物GH的高度为（30+10）米． 10．解：（1）如图1，过B作BM⊥DE于M， ∴CD＝BM＝1.5，BC＝DM＝1.5， 在Rt△BEM中，tan∠BEM， 即5， ∴EM＝0.3， ∴DE＝DM﹣EM＝1.5﹣0.3＝1.2． 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m． （2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE 于M， 则BF＝DM＝1.2， ∴CF0.9， ∴BM＝DF＝CD﹣CF＝1.5﹣0.9＝0.6， 由表格可知，在12时﹣14时， 角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小， ∴当14时，点E最靠近墙角， 此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在Rt△BEM中，tan∠BEM， 即1.25， ∴EM＝0.48， ∴DE＝DM﹣EM＝1.2﹣0.48＝0.72． 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m． 11．解：延长BA，交PQ的延长线于C， 则∠ACQ＝90°， 由题意得，BC＝156m，PQ＝200m， 在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°， 所以CQ＝BC＝156m， 所以PC＝PQ+CQ＝356m， 在Rt△PCA中，， 所以AC＝96.12m， 所以AB＝BC﹣AC＝156﹣96.12＝59.88≈60（m）， 答：舍利塔AB的高度约为60m． 12．解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x， ∵sin53°， ∴AF＝（60+x）•sin53°， 如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x， ∴AH＝（60+2x）•sin37°， ∵AF＝AH， ∴（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°， ∴， 解得：x＝30． 答：每节拉杆的长度为30cm． 13．解：（1）液压杆AB与底盘OC夹角为β，液压杆AB＝3米，∠BEA＝90°，当β＝58°时， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴BE＝2.55米， 即BE的长为2.55米； （2）在Rt△OBE中，，BE＝2.55米， ∴， ∴OE＝3.4米， ∵， ∴， ∴AE≈1.59米， ∴AO＝OE﹣AE＝3.4﹣1.59＝1.81（米）， 即AO的长为1.81米． 14．解：如图，过点E作EG⊥BC于点G， 则四边形EFBG是矩形， ∴EF＝GB，EG＝FB， 在Rt△EGC中，斜坡CD的坡度i，CE＝5米， 设EG＝3x米，则CG＝4x米， ∴CE5x（米）， ∴5x＝5， ∴x＝1， ∴EG＝3米，CG＝4米， ∴BG＝BC+CG＝8+4＝12（米），BF＝EG＝3米， ∴EF＝BG＝12米， 在Rt△AEF中，tan∠1， ∴AF＝EF•tan∠1＝EF•tan48°≈12×1.11＝13.32（米）， ∴AB＝AF+BF≈13.32+3≈16.3（米）， 答：樟树AB的高度约为16.3米． 15．解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝24cm，， ∴BE＝8cm，AE＝16cm， ∵∠AEG＝α＝10°， ∴GE＝AE•cosα＝16×cos10°≈15.7（cm）， ∴CD＝GE＝15.7cm， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为15.7cm． （2）如图，过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q， 则BP＝BE•cosα＝8×cos10°≈7.84（cm）， EP＝BE•sinα＝8×sin10°≈1.36（cm）， ∵DE＝21.7cm， ∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.36＝20.34（cm）， ∴BH＝20.34cm， ∵MN＝8cm， ∴QH＝8cm， ∴BQ＝BH﹣QH＝20.34﹣8＝12.34（cm）， ∵∠ABM＝145°， ∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°， ∴QM＝BQ＝12.34cm， ∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝7.84+12.34≈20.2（cm）， 答：线段DN的长度为20.2cm． 16．解：如图，过B作BG⊥CD于点G， ∴EF⊥AB，EF⊥CD， ∴四边形AEFC是矩形， 由测量步骤可得：四边形AMNE、CMNF、BEFG是矩形， ∵AM＝40米，CM＝20米， ∴EN＝AM＝40米，FN＝CN＝20米， ∴EF＝EN+FN＝60米， ∴BG＝EF＝60米， ∵∠ENB＝45°， ∴∠EBN＝∠ENB＝45°， ∴BE＝EN＝40米， 在Rt△DFN中，，∠DNF＝68.2°， ∴DF＝20×tan68.2°≈20×2.50＝50（米）， ∴DG＝DF﹣FG＝50﹣40＝10（米）， 在Rt△BGD中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶B，D之间的距离约为60.8米． 17．解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形， 由题可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°， ∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝60°+15°＝75°， 由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处时间为30分钟， 即半小时，故AB5海里； 故答案为：30，75，5； （2）设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， ∴∠PBD＝45°， ∴BD＝PD＝x， 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°， tan∠APD，cos∠APD， ∴ADPD，AP＝2PD， ∵AB＝AD﹣BD， ∴PD﹣PD＝5， ∴PD＝BD， ∴AP＝2PD13.65， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°， ∴∠C＝∠APC， ∴AC＝AP≈13.65， 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5， ∴该渔船会进入“海况异常”区． 18．解：（1）根据题意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°， ∴BD＝AB•tan37°≈2×0.75＝1.5（km）， ∴1.56（km/h）， 答：妈妈步行的速度为6km/h； （2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E， ∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝a km， 过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD， ∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km， ∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km， 在Rt△CDF中，tan∠DCF， ∴tan30°， ∴（a﹣1.5）＝a﹣2， ∴a， ∴DF＝a﹣2， ∴CD＝2DF1.37（km）． 答：明明从C处到D处的距离约为1.37km． 学科网（北京）股份有限公司 $$