2.相似三角形的证明与计算加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

相似三角形的证明与计算加练 参考答案 1．A【解析】∵E是AD的中点，∴AD＝2AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2AE，AD∥BC，∵AD∥FG，∴AD∥FG∥BC，∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，∴，，∴，解得BC＝6，故选：A． 2．C【解析】如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，∴BE＝1，DH＝BF＝2，∵AD∥BN，∴△ADE∽△BNE，∴，即，∴BN＝1.5，∵DH∥NF，∴△DHM∽△NFM，∴，故选：C． 3．A【解析】∵AB：BC＝3：4，∴设AB＝3x，BC＝4x，∵∠ABC＝90°，∴AC5x，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴，∴，∴ADx，∵AE平分∠BAC，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵∠ABE＝∠ADF＝90°，∠BAE＝∠DAF，∴△ABE∽△ADF，∴，∴， 方法二：∵AB：BC＝3：4，∴设AB＝3x，BC＝4x，∵∠ABC＝90°，∴AC5x，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴，∴，∴ADx，过FH⊥AB于H，∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC，∴FH＝FD，∵sin∠ABD，∴．故选：A． 4．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴，∴，∵，∴，∴；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，，∵∠DCE＝∠DCM，∠CDE＝∠CMD＝90°，∴△CMD∽△CDE，∵∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠HCG＝90°，∴∠DEC＝∠HCG，又∵∠CDE＝∠CHG＝90°，∴△GHC∽△CDE，由△CMD∽△CDE，得：，即，∴CMa，由△GHC∽△CDE，得：，∵BGBC，∴CDBC，∴，∴CHa，∴，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FEG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C． 5．D【解析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，∴AF2，∵OH∥AE， ∴，∴OHAE，∴OF＝FH﹣OH＝2，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴，∴AMAF，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴，∴ANAF，∴MN＝AN﹣AM．故选：D． 6．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴，∵CF＝2，DF＝7，∴AB＝BC＝CD＝9，设BE＝x，则EC＝9﹣x，∴，解得：x＝3或x＝6，∵BE＜EC，∴BE＝3，∴． 7．20【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，∴∠ABD＝∠ADB，∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AE⊥BD，垂足为点E，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE，∵△ABE∽△DBC，∴，∵BC＝32，∴，∴BE＝20，故答案为：20． 8．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6， ∴∠B＝90°，AD＝AB＝8， ∴， ∵F是AM的中点， ∴， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴． 9．（1）证明：∵∠A＝∠CED，∠A+∠ACE＝∠CED+∠DEB， ∴∠DEB＝∠ACE， 又∵∠A＝∠B， ∴△CAE∽△EBD． （2）解：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， 由（1）知，∠DEB＝∠ACE， ∴∠DCE＝∠DEB， 又∵∠B＝∠CED， ∴△CDE∽△EDB， ∴，即， ∴ED＝6（负值舍去）． 10．证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形， ∴∠ACD＝∠AFG＝45°， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠CFM＝∠ACM＝45°， ∵∠CMF＝∠AMC， ∴△MFC∽△MCA； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠BAC＝45°， ∴ACAB， 同理可得AF， ∴， ∵∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE＝45°， ∴∠CAF＝∠BAE， ∴△ACF∽△ABE； （3）∵DM＝1，CM＝2， ∴AD＝CD＝1+2＝3， ∴AM， ∵△MFC∽△MCA， ∴，即， ∴FM， ∴AF＝AM﹣FM， ∴AF， 即正方形AEFG的边长为． 12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DEC＝∠BCF， ∵∠DCE＝∠ADB， ∴∠DCE＝∠CBD， ∴△DCE∽△FBC， ∴， ∴，即AB•BC＝BF•CE． （2）①解：∵AD＝3DE＝6， ∴， ∴AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4， ∵AD∥BC， ∴△EFD∽△CFB， ∴， ∵AD＝BC＝6， ∴， ∴，即EC＝4EF， ∵∠EDF＝∠ECD，∠DEF＝∠CED， ∴△EDF∽△ECD， ∴， ∴， 解得：EF＝1（舍去负值）， ∴CF＝EC﹣EF＝4EF﹣EF＝4﹣1＝3． ②解：∵AD∥BC， ∴， ∵B D＝10， ∴， ∵△EDF∽△ECD， ∴， ∵DE＝2，EC＝4， ∴， ∴DC＝5． 13．解：（1）如图1中，∵AF∥BC， ∴∠F＝∠EBC， ∵∠AEF＝∠BEC，AE＝EC， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴AF＝BC． 设CD＝k，则DB＝2k，AF＝BC＝3k， ∵AF∥BC， ∴△APF∽△DPB， ∴． 故答案为：； （2）如图：过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F， 设DC＝k，则BC＝2k，DB＝DC+BC＝3k． ∵E是AC中点， ∴AE＝CE． ∵AF∥DB， ∴∠F＝∠PBD 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE，AF＝BC＝2k． ∵AF∥BC， ∴△APF∽△DPB， ∴． 14．（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD， ∵∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴DB＝DC＝AB＝4， ∵BE＝EC ∴DE⊥BC， ∴DE＝CD•sinC＝2． （2）①证明：∵AD∥BC ∴∠ADG＝∠DEC＝90°， ∴∠ADG＝∠GFE＝90°， 又∵∠AGD＝∠EGF， ∴△AGD∽△EGF， ∴， ∴， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴△AGE∽△DGF， ②解：作EH⊥CD于H． ∵△AGE∽△DGF， ∴∠EAG＝∠GDF＝30°， ∵∠GFE＝∠ADG＝90°， ∴EFAE， 在Rt△ECH中，CH＝1，EH， 在Rt△EFH中，FH2， ∴CF＝2+1＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形的证明与计算加练 1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 2．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 4．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使，连接CM．有如下结论： ①DE＝AF； ②； ③∠ADF＝∠GMF； ④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上，且BE＜EC，点F在边CD上，∠AEF＝90°．若CF＝2，DF＝7，则tan∠EAF的值为　 　． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，则BE的长为 　 　． 8．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长． 9．如图，E为AB上一点，∠A＝∠CED＝∠B． （1）求证：△CAE∽△EBD； （2）若CE平分∠ACD，CD＝9，BD＝4，求ED的长． 10．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 11．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长． 12．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE＝∠ADB． （1）求证：AB•BC＝BF•CE； （2）如果AD＝3DE＝6． ①求CF的长； ②若BD＝10，求CD的长． 13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得的值为 　 　． （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值． 14．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF． ①求证：△AGE∽△DGF； ②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．） 学科网（北京）股份有限公司 $$