1.全等三角形的证明与计算加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

全等三角形的证明与计算加练 参考答案 1．A【解析】如解图，过点F作GF∥AD，交BD于点G，∴∠DAE＝∠GFE，∠ADE＝∠EGF，∵AE＝EF，∴△ADE≌△FGE（AAS），∴AD＝FG，EG＝DE＝1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴FG∥BC，FG＝BC，∴四边形BCFG是平行四边形，∴CF＝BG，∵BD＝5，∴BG＝BD﹣EG﹣DE＝3，∴CF＝3，故选：A． 2．C【解析】如图，延长AC至点P，使CP＝BF，连接PD，∵△ABC是等边三角形，△ABC的周长为12，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．∵BD＝CD，∠BDC＝120°∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠FBD＝∠DCE＝90°，∴∠DCP＝∠DBF＝90°，在△BDF和△CDP中，，∴△BDF≌△CDP（SAS），∴DF＝DP，∠BDF＝∠CDP．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDF+∠CDE＝60°，∴∠CDP+∠CDE＝60°，∴∠EDF＝∠PDE＝60°在△DEF和△DPE中，，∴△DEF≌△DPF（SAS），∴EF＝EP，∴EF＝EC+CP＝EC+BF，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+CE+BF+AF＝AB+AC＝8，故选：C． 3．C【解析】在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，又∵AB＝FB，∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确．连接HD，如图：∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD＝S△ABP+S△APH+S△PBD＝S△ABP+S△FPD+S△PBD＝S△ABP+S△FBP＝2S△ABP，故④不正确．∴正确的有①②③，共3个；故选：C． 4．B【解析】∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE，∠ACD＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，故①正确；∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝∠ACB＝60°，∵△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴CM＝CN，故②正确；∴△CNM为等边三角形，∴∠MNC＝∠NCD＝60°，∴MN∥BC，故④正确；∵△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠AFB＝∠CBE+∠BDF，∴∠AFB＝∠CAD+∠BDF，∵∠CAD+∠BDF＝∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°，故③正确．综上所述，①②③④正确．故选：B． 5．B【解析】∵在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴，,∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴，∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确；∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABP＝∠FBP，∵BP＝BP，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确；∵AD平分∠BAC，∴∠PAH＝∠BAP，∴∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，∵∠APH＝∠FPD＝90°，PA＝PF，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，又∵AB＝FB，∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确；∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APH＝S△FPD，S△ABP＝S△FBP＝S△DBP+S△FPD＝S△DBP+S△APH，∵S△APH＞S△AEP，∴S△ABP＝S△DBP+S△APH＞S△DBP+S△AEP，故④不正确；综上，正确的有①②③，共3个，故选：B． 6．B【解析】连接AD、CD，如图，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，在Rt△BDM和Rt△BDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL），∴BM＝BN，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，在Rt△ADM和Rt△CDN中，，∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），∴AM＝CN，∵AB＝3，BC＝7，∴BC﹣AB＝BN+CN﹣（BM﹣AM）＝CN+AM＝2AM＝4，∴AM＝2．故选：B． 7．D【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝45°＝∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝22.5°，∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，∴AF＝AE，故①正确；③错误，∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；∵AM⊥EF，∴∠AMF＝∠AME＝90°，∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中，，∴△FBD≌△NAD（ASA），∴DF＝DN，故④正确；∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，∴BA＝BN，∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS），∴∠BNE＝∠BAE＝90°，∴∠ENC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EN．故⑤正确，故选：D． 8．8【解析】在△ABC中，BD是角平分线，如图，在AB上截取线段BE，使BE＝BC，连接DE，∴∠EBD＝∠CBD，在△EBD和△CBD中，，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴BE＝BC＝3，∠BED＝∠C，∠BDE＝∠BDC，设∠BDE＝∠BDC＝α，则∠C＝2α，∠BED＝2α，∠CDE＝2α，∴∠DAF＝α，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD＝5，∴AB＝AE+BE＝5+3＝8，故答案为：8． 9．（6，10）【解析】过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△AO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴点C的坐标为（6，10），故答案为：（6，10）． 10．24【解析】如图，延长BE交AD于点F，∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴∠A＝∠CBA＝90°，∴BC∥AD，∴∠C＝∠D，∵点E是CD中点，∴CE＝DE，在△CBE和△DFE中，，∴△CBE≌△DFE（ASA），∴BE＝FE，BC＝FD＝3，∴BF＝2BE＝25，AF＝AD﹣DF＝10﹣3＝7，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB24，故答案为：24． 11．2.4【解析】如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，，∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，∵∠AEF＝∠FAE，∴∠CAD＝∠AEF，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE＝4，∴AC＝BE＝4，∵∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF＝1.6，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4． 12．证明：∵OB＝OE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 13．解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠B＝∠D，BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF， 即BE＝DE， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF； 当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； ∴∠B＝∠D，BF＝DE， 同理可证：△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF； 当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE， 故答案为：①（答案不唯一）． 14．解：△ABC≌△EFD．理由： 因为AB∥EF， 所以∠A＝∠E． 因为AD＝EC，所以AD﹣CD＝EC﹣CD，即AC＝ED． 在△ABC和△EFD中， ， 所以△ABC≌△EFD（SAS）． 15．解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由： 如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠B＝90°， ∵DG＝BE，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+FD，DG＝BE， ∴EF＝DG+FD＝GF，且AE＝AG，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 16．解：（1）结论：△ABE≌△ACD． 理由：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAE＝∠CAD 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）结论：DC⊥BE． 理由：∵△ABE≌△ACD， ∴∠ACD＝∠ABE＝45°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE． 17．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）． （2）Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线． 18．（1）解：由题意可知：∠EDC＝180°﹣40°﹣115°＝25°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°， 故答案为：25，65； （2）证明：∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC＝2＝DC， ∴∠B＝∠C，AB＝DC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 19．证明：因为∠B＝∠C，所以AB＝AC， 在△ABD和△ACE中 ， 所以△ABD≌△ACE（AAS）． 20．证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． 21．（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵∠BFD＝∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠CAD． ∴∠BFD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°． 22．（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC，BE＝AF． ∴EF＝EB+CF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10． ∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形的证明与计算加练 1．如图，在▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点F，AE＝EF，BD＝5，DE＝1，则CF的长为（　　） A．3 B． C． D．4 2．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC下方的一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E和点F分别是AC和AB上一点，∠EDF＝60°．若△ABC的周长为12，则△AEF的周长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDES△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，点C在BD上，在线段BD的同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD、BE相交于点F，BE与AC交于点M，CE与AD交于点N，连接MN，下列结论：①BE＝AD；②CM＝CN；③∠AFB＝60°；④MN∥BC，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S△ABP＝S△AEP+S△DBP，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB＝3，BC＝7，则AM的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，BD是角平分线．若∠C＝2∠BDC，AD＝5，BC＝3，则线段AB的长为　 　． 9．如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 　 　． 10．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝3，AD＝10，，则AB的长是 　 　． 11．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 12．如图，点F，C在BE上，DE与AB相交于点O，OB＝OE，BF＝CE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 13．如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 14．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，AD＝EC，AB∥EF．△ABC与△EFD全等吗？请说明理由． 15．【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 16．手工课上李明、王帅做了两个不全等的等腰直角三角形纸板，课外活动时，他们拿出来拼图玩．当两个三角形纸板如图①所示放置时，可抽象出图②所示的几何图形，此时点B、C、E在同一条直线上，连接DC．爱动脑筋的李明说：结合此图，能得到全等三角形，而且还能得出DC⊥BE．请用你所学的知识，分别说明他的判断依据． 17．如图，已知BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD． 求证：（1）△BED≌△CFD； （2）AD是∠BAC的平分线． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 　 　°，∠AED＝ 　 　°． （2）若DC＝2，试说用△ABD≌△DCE． 19．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，∠ADB＝∠AEC，求证：△ABD≌△ACE． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．求证：△ABD≌△ECB． 21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数． 22．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 学科网（北京）股份有限公司 $$