6.二次函数的实际应用加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数的实际应用加练 1．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 2．云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界．某店购进一种水果，每盒进价为50元，规定销售单价不低于成本．该水果月销售量y（盒）与售价x（元/盒）的变化情况部分数据如下表： 售价x（元/盒） … 55 60 65 70 … 销售量y（盒） … 1500 1400 1300 1200 … （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断y是关于x的哪种函数，并求出函数关系式； （2）若该种水果的每盒利润不超过进价的30%，设这种水果每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6m的墙，现准备用28m的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案（如图所示）：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长． （1）按图甲的方案，设BC的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2． ①求y与x之间的函数关系式； ②求矩形ABCD的面积ym2的最大值． （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 4．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边AB长为x米． （1）求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； （3）求垂直于墙的篱笆边AB长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 5．跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为56cm，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度l（cm）之间的关系图象如图所示． （1）该儿童下落过程中，速度变化为 　 　； （2）求出v与l的函数关系式； （3）当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？ 6．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围） （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 7．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 　 　； （2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数的实际应用加练 参考答案 1．解：（1）设商城每次降价的百分率为x， 依题意得：20（1﹣x）2＝16.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为10%． （2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个， 则利润：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y）， 整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250， 当y＝1时，获得利润最大，最大为250元， 此时每个商品的定价为20﹣1＝19（元）， 答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元． 2．解：（1）用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断y是关于x的一次函数； 设售价x（元/盒）与销售量y（盒）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且（55，1500），（60，1400），代入得： ， 解得，， ∴函数解析式为：y＝﹣20x+2600， 当x＝65时，y＝1300； 当x＝70时，y＝1200；符合题意， ∴y与x是一次函数，解析式为y＝﹣20x+2600； （2）售价为x（元/盒），进价为50（元/盒）， ∴单件利润为：（x﹣50）元/盒， ∴w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20x2+3600x﹣130000， ∵每盒利润不超过进价的30%， ∴x﹣50≤50×30%， 解得，x≤65， ∵﹣20＜0，开口向下，且对称轴为， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大；当x＞90时，w随x的增大而减小； ∴当x＝65时，利润取得最大值，且w＝﹣20×652+3600×65﹣130000＝19500（元）， ∴售价为65元时可获得最大利润，最大利润为19500元． 3．解：（1）①∵BC的长为x m， ∴AB的长为， ∴； ②∵甲中AD不超过墙长， ∴0＜x≤6， 将二次函数解析式化为顶点式可得：可知： ∵， ∴0＜x≤6时，y随x的增大而增大， ∴当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大为66m2； （2）乙方案面积最大，理由如下： 设BC的长为am，面积为Sm2， 则， ∵方案乙中AD的长大于墙长， ∴a＞6， ∵， ∴a＜17， ∴6＜a＜17， ∴当时，面积最大，最大为m2． ∵， ∴乙方案面积最大，最大是m2． 4．解：（1）∵篱笆的总长为34米，设垂直于墙的篱笆边AB长为x米．则BC＝34+2﹣3x＝（36﹣3x）米， 依题意得：x（36﹣3x）＝81， 整理得：x2﹣12x+27＝0， 解得：x1＝3，x2＝9， 当x＝3时，36﹣3x＝36﹣3×3＝27＞22，不符合题意，舍去； 当x＝9时，36﹣3x＝36﹣3×9＝9＜22，符合题意， ∴当围成的菜地面积为81平方米时，x为9米； （2）不能围成面积为120平方米的菜地；理由如下： 假充围成菜地面积为120平方米，依题意得：x（36﹣3x）＝120， 整理得：x2﹣12x+40＝0， ∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为120平方米的菜地； （3）∵墙的最大可用长度为22米， ∴0＜BC≤22，即0＜36﹣3x≤22， 解得：， ， ∵﹣3＜0， ∴当x＝6时，围成菜地的面积最大，最大面积是108平方米． 5．解：（1）该儿童下落过程中，速度变化为先增大后减小， 故答案为：先增大后减小； （2）由图象可知抛物线的顶点坐标为（3，25）， 设v与l的函数关系式为v＝a（l﹣3）2+25， 把（0，16）代入得9a+25＝16， 解得：a＝﹣1， ∴v与l的函数关系式为v＝﹣（l﹣3）2+25； （3）当v＝0时，﹣（l﹣3）2+25＝0， 解得：l1＝8，l2＝﹣2（舍）， ∴56﹣8＝48， 答：此时的弹簧长度是48米． 6．解：（1）∵运动员在空中最高处A点的坐标为， ∴A点为抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， ∵该抛物线经过点（0，0）， ∴， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为； （2）该运动员此次跳水不会失误，理由： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，点E的坐标为（﹣1，﹣10）， ∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当x＝3时，， ∴运动员距水面高度为（米）， ∵5.5＞5， ∴该运动员此次跳水不会失误． 7．解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，）， ∴可设抛物线为y＝a（x+3）2． 又B（0，2）， ∴2＝a（0+3）2． ∴a． ∴抛物线为y（x+3）2． 故答案为：y（x+3）2． （2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称， ∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称． ∴B是它们的中点． 又C（﹣3，），B（0，2）， ∴抛物线BD的顶点为（3，）． ∴此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2， 将B（0，2）代入得， ∴a'（0﹣3）22． ∴a'． ∴抛物线BD的解析式y（x﹣3）2． ②由①得y（x﹣3）2， 令y＝0， ∴0（x﹣3）2． ∴x＝8或x＝﹣2（舍去）． ∴OD＝8米． 又OE＝12米， ∴DE＝12﹣8＝4＞3． ∴落点D在安全范围内． （3）由题意，如图，EF即为所求钢架． ∵ACB所在抛物线y（x+3）2， 令y＝4， ∴4（x+3）2． ∴x＝﹣8或x＝2（舍去）． ∴M（﹣8，4）． 又B（0，2）， ∴直线BM为yx+2． ∵EF∥BM， ∴可设EF为yx+m． 联立方程组， ∴（x+3）2x+m． ∴x2+8x﹣8m+16＝0． ∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0． ∴m＝0 ∴直线EF为yx，过原点，即F与O重合． ∵M（﹣8，4）， ∴令x＝﹣8，则yx（﹣8）＝2． ∴OE＝2米，ON＝8米． 又∠ENO＝90°， ∴EF＝EO2（米）． 答：这条钢架的长度为2米． 学科网（北京）股份有限公司 $$