5.二次函数与几何图形综合题加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数与几何图形综合题加练 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标； （3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 2．如图1，已知二次函数图象与y轴交点为C（0，3），其顶点为D（1，2）． （1）求二次函数的表达式； （2）直线CD与x轴交于M，现将线段CM上下移动，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM向上和向下平移的最大距离； （3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90°，得到抛物线G，如图2所示，直线y＝﹣x+2与G交于A，B两点，P为G上位于直线AB左侧一点，求△ABP面积最大值，及此时点P的坐标． 3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式； （2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标； （3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 4．如图，已知抛物线交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC，BC． （1）求b，c的值； （2）若点P在第一象限内，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点D，求线段PD的最大值； （3）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）请直接写出此抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得∠CAP＝∠ACB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）与y轴相交于点C（0，﹣3），点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线BC交于点Q，连接BN、CN．求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在BC下方的抛物线上，连接BP，CP，若，求点P的坐标； （3）点N在线段OC上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值． 8．如图，已知二次函数．y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值． 9．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求△DBC面积最大值及此时点D坐标； （3）如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数与几何图形综合题加练 参考答案 1．解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示： 设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b， 由（1）可得：C（0，3）， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∴H（m，﹣m+3）， ∴DH＝﹣m2+3m， ∵DH∥y轴， ∴△OCN∽△DHN， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ∴； （3）由题意可得如图所示： 过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H， ∵PQ⊥CP， ∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°， ∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°， ∴∠PCG＝∠QPH， ∴△PCG∽△QPH， ∴， ∵， ∴， 设点P（n，﹣n2+2n+3）， 由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3）， ∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|， ∴， 当时，解得：， 当时，解得： 综上：点P的横坐标为或或或． 2．解：（1）∵顶点D（1，2）， 设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣1）2+2， 把（0，3）代入得：3＝a+2， ∴a＝1， ∴y＝（x﹣1）2+2， 即 y＝x2﹣2x+3； （2）由点C、D的坐标得，直线CD解析式为 y＝﹣x+3， ∴M（3，0）， ①设直线CD向下平移最大距离为m， ∴平移后的直线解析式为 y＝﹣x+3﹣m， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 y＝﹣x+3﹣m 代入 y＝x2﹣2x+3， 得 x2﹣2x+3＝﹣x+3﹣m， x2﹣x+m＝0， Δ＝1﹣4m＝0， 即：． ②设直线CD向上平移最大距离为n， 此时C，M对应点为C′，M′， 则M′（3，m）， 当M′恰在二次函数上时， ∴32﹣2•3+3＝m， ∴m＝6， ∴向上平移的最大距离为6． 综上，CM向下平移的最大距离为 ，向上平移的最大距离为6； （3）二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为（0，0）， 则函数的解析式为：y＝x2， 设F（m，m2） 为 y＝x2 上一点， F绕O顺时针旋转 90° 后，对应点为F′， 则△FMO≌△F′M′O， 则FM＝F′M＝m，FN＝OM＝OM'＝m2， F'：（m2，﹣m）， 若F在y轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以G：x＝y2， 把 y＝﹣x+2 代入 x＝y2， ∴y2＝﹣y+2， 解得：y1＝﹣2，y2＝1； 则 A（1，1），B（4，﹣2）， 设：P（m2，m）， 过点P作PQ/x轴交AB于点Q， ∵AB：y＝﹣x+2， ∴Q（2﹣m，m）， ∴PQ＝2﹣m﹣m2， ∴ ， 当 时，S△ABP 有最大值，， 此时 ． 3．解：（1）直线y＝﹣x+4与坐标轴交于点B和C， 当x＝0时，y＝4，x＝4时，y＝0， ∴点B（4，0），C（0，4）， 把B，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵PF⊥x轴 ∴PF∥y轴， ∴∠BEF＝∠BCO＝45°， ∴∠BEF＝∠PED＝45°， ∵PD⊥BC， ∴△PDE为等腰直角三角形， ∴PD＝DEPE， ∴△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PEPEPE＝（1）PE， ∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4）， ∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，PE有最大值为4，此时△PDE的周长为（1）PE＝44， 点P的坐标为（2，6）； （3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移，个单位， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2， ∴抛物线的顶点为（，）， ∴平移后抛物线的顶点为M（3，）， 当BP是对角线时， ∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，）， ∴N（3，）； 当PM是对角线时， ∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，）， ∴N（1，）； 当BM是对角线时， ∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，）， ∴N（5，）； 综上，点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，）． 4．解：（1）由题意得，， 解得：， ∴b，c＝4； （2）设直线BC的表达式为y＝kx+n， 将B（4，0），C（0，4）分别代入， 得， 解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设P（a，a2a+4），则D（a，﹣a+4）， ∴PDa2a+4﹣（﹣a+4）（a﹣2）2， ∵0， ∴当a＝2时，线段PD有最大值，最大值为； （3）由（1）知，抛物线解析式为yx2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵A（﹣3，0），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4，OC＝4， ∴S△AOCOA•OC3×4＝6； ①如图，当P在x轴上方时， 设P（m，m2m+4）， ∴S△BOPOB•yP4（m2m+4） m2m+8， 根据题意得m2m+8＝12， 整理得：m2﹣m+6＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×6＝﹣23＜0， ∴此方程无实数根， ∴在x轴上方不存在P点满足题意； ②如图，当P在x轴下方时， 由①得S△BOPOB•（﹣yP）4（m2m﹣4）m2m﹣8， ∵S△BOP＝2S△AOC， ∴m2m﹣8＝12， 解得m1＝6，m2＝﹣5， 当m＝6时，yx2x+4626+4＝﹣6； 当m＝﹣5时，yx2x+4（﹣5）2（﹣5）+4＝﹣6； ∴P的坐标为（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）． 5．解：（1）y＝﹣x2+3x+4；理由如下： 由A（4，0），可知OA＝4， ∵OA＝OC＝4OB， ∴OA＝OC＝4，OB＝1， ∴C（0，4），B（﹣1，0）． 设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）在抛物线上存在点P，使得∠CAP＝∠ACB；理由如下： ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝45°， ∴∠ACB＞45°， 若点P在AC上方的抛物线上，∠CAP＝∠ACB＞45°，∠OAP＞0°， 此时AP与AC上方的抛物线没有交点， 故点P在AC上方的抛物线上时不满足题意． 当点P在AC下方的抛物线上时，如图1，AP与y轴交于点E， ∵∠CAP＝∠ACB， ∴∠OAE+∠OAC＝∠BCO+∠OCA，即∠OAE＝∠BCO， 在△BOC与△EOA中， ， ∴△BOC≌△EOA（ASA）， ∴OE＝OB＝1， ∴E（0，﹣1），A（4，0）， ∴过A、E两点的一次函数为，点P为过A、E两点的一次函数与抛物线的交点， ∴，即4x2﹣11x﹣20＝0， 解得， 当时，， ∴； （3）存在点P，使得△ACP是直角三角形；P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或或；理由如下： 分三种情况讨论： ①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M．如图2， ∵∠ACP1＝90°， ∴∠MCP1+∠ACO＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠MCP1＝∠OAC． ∵OA＝OC， ∴∠MCP1＝∠OAC＝45°， ∴∠MCP1＝∠MP1C， ∴MC＝MP1， 设P（m，﹣m2+3m+4），则m＝﹣m2+3m+4﹣4， 解得：m1＝0（舍去），m2＝2． ∴﹣m2+3m+4＝6，即P（2，6）； ②当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图1， ∴P2N∥x轴， ∵∠CAO＝45°， ∴∠OAP＝45°， ∴∠FP2N＝45°，AO＝OF， ∴P2N＝NF． 设P2（n，﹣n2+3n+4）， ∴n＝（﹣n2+3n+4）+4， 解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去）， ∴﹣n2+3n+4＝﹣6， ∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）； ③当点P为直角顶点时： 当点P在AP上方的抛物线上时，如图3，过点P作y轴的垂线，垂足为点M，过点A作x轴的垂线，交MP的延长线于点N， ∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°， ∴△CMP∽△PNA， 设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m2+3m，PM＝m，PN＝4﹣m，AN＝﹣m2+3m+4，，即， ∴， ∴， ∴（m+1）（3﹣m）＝1，m2﹣2m﹣2＝0， 解得x1，x2＝1（舍去）， 将代入y＝﹣x2+3x+4得； 当点P在AP下方的抛物线上时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点N，过点C作NP的垂线，交NP的延长线于点M， ∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°， ∴△CMP∽△PNA， 设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m，PM＝m2﹣3m，PN＝﹣m2+3m+4，AN＝4﹣m，，即， ∴， ∴， ∴（m+1）（m﹣3）＝﹣1，m2﹣2m﹣2＝0， 解得x1（舍去）， x2＝1，将x＝1代入y＝﹣x2+3x+4得： y＝3，P（1，3． 综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或（1，3）或（1，3）． 6．解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）与y轴相交于点C（0，﹣3），把点A，点C，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴M（1，﹣4）； （2）由（1）知抛物线的顶点为M（1，﹣4）， 设直线BC的解析式为令y＝kx+b′，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 设点N（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3）， ∴NQ＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m， ∴△CBN面积， ∵， ∴当时，△CBN面积的最大值为． 此时； （3）P点坐标为（1，2），（1，﹣4），，；理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为：直线x＝1， 设点P坐标为（1，t）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴BC2＝32+32＝18， BP2＝（3﹣1）2+t2＝4+t2， CP2＝（0﹣1）2+（t+3）2＝t2+6t+10， ①当∠BCP＝90°时，由勾股定理得：BP2＝BC2+CP2， ∴4+t2＝18+t2+6t+10， 解得t＝﹣4， ∴点P的坐标为（1，﹣4）； ②当∠BPC＝90°时，由勾股定理得：BC2＝BP2+CP2， ∴18＝t2+6t+10+4+t2， 解得：， ∴点P的坐标为，； ③当∠CBP＝90°时，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2， ∴t2+6t+10＝4+t2+18， 解得t＝2， ∴点P的坐标为（1，2）； 综上，P点坐标为（1，2），（1，﹣4），，． 7．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），将点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C， 令x＝0，得y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣4， 如图1，过点P作PH⊥x轴，交BC于点D． 设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），则点D的坐标为（m，m﹣4）， ∴DP＝﹣m2+4m． 由S△BCPS△BOC，得， 解得m1＝2，m2＝2， ∴点P的坐标为或； （3）如图2，作NE⊥CB，垂足为点E． ∵C（0，﹣4），B（4，0）， ∴OB＝OC＝4， ∴∠OCB＝45°， ∴△NCE为等腰直角三角形， ∴NE＝NC•sin45°， ∴ANCN＝AN+NE． 当点A，N，E共线时，AN+NE有最小值，最小值n为线段AE的长． ∵△NCE为等腰直角三角形， ∴∠CNE＝45°， ∴∠ANO＝∠CNE＝45°， ∴△AON为等腰直角三角形， ∴∠NAO＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴ON＝OA＝1，即点N 的坐标为（0，﹣1）， ∴AE＝AB•sin45°， ∴n的值是． 8．解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）A′不在抛物线上；理由如下： 过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°， ∵CA′是由CA旋转得到， ∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°， ∴∠ACO与∠A′CD互余，∠CA′D与∠A′CD互余， ∴∠ACO＝∠CA′D， ∴△ACO≌△CA′D（AAS）， ∴OA＝CD，OC＝A′D， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3， ∴OD＝2， ∴A′（3，﹣2）， 对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0≠﹣2， ∴A′（3，﹣2）不在抛物线上； （3）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1， ∴y＝x﹣3； 设P 点坐标为 （m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）． ∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m． ∵B（3，0），C（0，﹣3），∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵PH⊥x轴， ∠BMH＝∠OBC＝45°， ∴BH＝MH＝3﹣m， ∴． 当 时，PM+2BH取最大值，最大值为． 9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，且对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（﹣3，0）， 设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得：3＝a（0+3）（0﹣1）， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，作DE∥y轴，交直线BC于点E， 设直线BC的函数解析式为y＝px+q，可得： ， 解得：， 可得直线BC的解析式为y＝x+3， 设P（m，﹣m2﹣2m+3）， ∴E（m，m+3）， ∴DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴△DBC的面积， ∵， ∴时△DBC的面积最大，此时点D坐标为； （3）存在，理由如下： ∵A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴， 设直线AC解析式为y＝mx+n， ∵A（1，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线AC解析式为y＝﹣3x+3， ①当OM∥AC时，△BON∽△BAC， ∴直线OM的解析式为y＝﹣3x， 结合抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，得：﹣3x＝﹣x2﹣2x+3， 解得：（舍去），， ∴M坐标； ②当△BON∽△BCA时， ∴， ∴， 如图2，过点N作NG⊥x轴于点G， ∵∠OBC＝45° ∴BG＝NG＝2， ∴OG＝1， ∴N（﹣1，2）， 设直线OM解析式为y＝m1x，将N（﹣1，2）代入，得：m1＝﹣2， ∴直线OM解析式为y＝﹣2x， 结合抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，得：﹣2x＝﹣x2﹣2x+3， 解得：， ∴M坐标， 综上，点M的坐标为或． 10．解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴A（0，3）， 令y＝0，则x＝6， ∴C（6，0）， 将A（0，3），C（6，0）代入yx2+bx+c， ∴， ∴， ∴yx2+x+3； （2）连接OM，如图1， ∵A（0，3），C（6，0）， ∴OA＝3，OC＝6， 设M（x，）， 令y＝0，得， 解得：x＝﹣2或x＝6， ∴B（﹣2，0）； S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM 3×2x×36×（） x2x+12 （x﹣3）x2， ∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为；此时M的坐标为（3，）； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，如图2： ∴PO'＝PO＝m，O'A'＝OA＝3， ∴O'（m，m），A'（m+3，m）， 当点A'（m+3，m）在抛物线上时，得：（m+3）2+（m+3）+3＝m， 解得：m＝﹣3±2； 当点O'（m，m）在抛物线上时，得：m2+m+3＝m， 解得：m＝±2； ∴当﹣3﹣2m≤﹣2或﹣3+2m≤2时，线段O'A'与抛物线 只有一个公共点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/2 17:21:07；用户：帐号61；邮箱：hxnts61@xyh.com；学号：37372737 学科网（北京）股份有限公司 $$