4.二次函数图象与性质的应用加练-【一战成名新中考】2025山东中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数图象与性质的应用加练 1．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0），（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，求m的值； （3）在由（2）平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，求n的值． 2．已知抛物线． （1）写出抛物线C1的对称轴：　 　． （2）将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A（﹣2，﹣2）和点B（点B在点A的左侧），若△ABO的面积为4，求点B的坐标． （3）在（2）的条件下，直线l1：y＝kx﹣2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上． 3．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 4．已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n为常数）经过点（1，0），（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点A（t﹣1，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上． （i）当t＜0时，比较y1，y2，y3的大小； （ii）若P（x，y）是抛物线上一点，且当t≤x≤t+1时，y有最小值2t，求t的值． 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上． ①求t（请用含m，x1的代数式表示）； ②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值． 6．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）． （1）若该函数经过点（1，﹣6），求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值； （3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 7．已知抛物线y＝ax（x﹣1）+3（a≠0）． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母a的式子表示）； （2）若该抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），且x2﹣x1＝2，求a的值； （3）当a＜0时，该抛物线上的任意两点P（x3，y3），Q（x4，y4），若满足x3＝﹣1，y3＞y4，求x4的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 9．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①y＝﹣2x+1；②y＝﹣x（x+1）；③y＝x2+x+1．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是　 　（填序号）． （2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式． （3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．规定：若关于x的二次函数与同时满足，且b1≠b2，则称函数y1与函数y2互为“反序对称”函数．根据以上规定，解答下列问题： （1）已知关于x的二次函数，写出它的“反序对称”函数y2＝ 　 　； （2）对于任意非零实数m，n，已知点P（m，t）与点Q（n，t）（m≠n）始终在关于x的函数的图象上运动，函数y2与y1互为“反序对称”函数． ①函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线PQ在x轴的下方，求直线PQ与x轴间距离的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数图象与性质的应用加练 参考答案 1．解：（1）由题意，∵二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴可设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4． 又过（3，0）， ∴0＝4a﹣4． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4． （2）由题意，结合（1），将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位得， y＝（x﹣1﹣m）2﹣4． 又过点， ∴m2﹣4． ∴m或m（舍去）． ∴m． （3）由（2）得平移后的函数为y＝（x）2﹣4． ∴对称轴是直线x，当x，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大，当x时，y取最小值为﹣4． ∵当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3， ∴①当n+1时，即n， ∴当x＝n+1时，y取最小值为y＝（n+1）2﹣4＝﹣3． ∴n或n（舍去）． ∴n． ②当n﹣2时，即n， ∴当x＝n﹣2时，y取最小值为y＝（n﹣2）2﹣4＝﹣3． ∴n或n（舍去）． ∴n． 综上，n或n． 2．解：（1）抛物线C1的对称轴为：． 故答案为：x＝﹣1． （2）∵抛物线C1平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线C2， ∴可设抛物线C2的解析式为：y＝ax2 ∵点A（﹣2，﹣2）有抛物线C2上， ∴﹣2＝a⋅（﹣2）2， 解得：． ∴抛物线C2的解析式为：． ∵点B在抛物线C2上，且在点A的左侧， ∴设点B的坐标为且（t＜﹣2）， 如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、N． ∵S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM ， 又S△ABO＝4， ∴， 解得：t+1＝±3， ∴t＝﹣4（t＝2不合题意，舍去），则， ∴B（﹣4，﹣8）． （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组： ， 整理得：x2+2kx﹣4＝0， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4． 设过点M的直线解析式为y＝mx+n，联立得方程组， 整理得x2+2mx+2n＝0．① ∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝4m2﹣8n＝0， ∴． ∴由①式可得：， 解得：m＝﹣x1． ∴． ∴过M点的直线l2的解析式为． 用以上同样的方法可以求得：过N点的直线l3的解析式为， 联立上两式可得方程组， 解得， ∵x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4． ∴ ∴点P在定直线y＝2上．（如图） 3．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值． 4．解：（1）将点（1，0），（0，3）代入y＝x2+mx+n，得， 解得m＝﹣4，n＝3， ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3． （2）（ⅰ）∵该抛物线的对称轴为直线x＝2，且t＜0， ∴点A（t﹣1，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）均在对称轴左侧的抛物线上，且y随x的增大而减小． ∵t﹣1＜t＜t+1， ∴y1＞y2＞y3． （ⅱ）当t+1＜2，即t＜1时，， 解得t1＝0，t2＝4（舍去）． 当t＞2时，， 解得（舍去）． 当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，ymin＝﹣1＝2t， 解得（舍去）． 综上所述，t的值为0或． 5．（1）解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4， ∴抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标为2， ∵y＝﹣x2+bx+c的顶点横坐标为，且为抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍， ∴， 解得b＝8； （2）①∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．b＝8， ∴y14x1+c，y1+t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c， ∴t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣y1， 即t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣（4x1+c）， ∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m， ②∵x1＝m+1， ∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m ＝﹣m2+4（m+1）﹣2m（m+1）+8m ＝﹣3m2+10m+4 ∵﹣1≤x1≤2， ∴﹣1≤m+1≤2， 解得﹣2≤m≤1， ∵当m时，t随着m的增大而增大， ∴当m＝1时，t有最大值，最大值为﹣3+10+4＝11． 6．解：（1）把（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c得c＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4， 设该函数图象上的“三倍点”坐标为（t，3t）， 把（t，3t）代入y＝﹣x2﹣x﹣4， 得﹣t2﹣t﹣4＝3t， 整理得t2+4t+4＝0， 解得t＝﹣2， ∴“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）； （2）由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4， ①当即时， ， ②当即时， ， 综上，①当时，， ②当时，． （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点， 令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4； 把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9， ∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3； 把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3， ∴3＞﹣2+c，解得c＜5， 综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5． 7．解：（1）∵y＝ax（x﹣1）+3＝ax2﹣ax+3＝a（x）2a+3， ∴该抛物线的对称轴为x，顶点坐标为（，）； （2）令y＝ax2﹣ax+3＝0，则方程ax2﹣ax+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝a2﹣12a＞0，则a＞12或a＜0， 当a＞12时， ∴，， ∵x2﹣x1＝2， ∴2，解得a＝﹣4（舍去），a＝0（舍去）， 当a＜0时， ∴，， ∵x2﹣x1＝2， ∴2，解得a＝﹣4． （3）∵y＝a（x）2a+3，a＜0， ∴该抛物线的对称轴为x，开口向下， ∴当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小， 当x4时，由y3＞y4，得x4＜﹣1， 当x4时，由抛物线的对称性可得x＝2和x3＝﹣1的函数值相同，又y3＞y4，则x4＞2， 综上，x4的取值范围为x4＜﹣1或x4＞2． 8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3， ∴x＝0时，y＝3， ∴抛物线y＝ax2+bx+3过点（0，3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（4，3）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2． （2）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2， ∴，即b＝﹣4a①． ∵m＞0， ∴2﹣m＜2＜2+2m． ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝2时，函数值在2﹣m＜x＜2+2m上取得最小值﹣1． 即4a+2b+3＝﹣1 ②． 联立①②，解得a＝1，b＝﹣4． ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1． ∵m＞0， ∴当2﹣m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝2﹣m时取得最大值， 当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x＝2+2m时取得最大值， ∵对称轴为x＝2， ∴x＝2﹣m与x＝2+m时的函数值相等． ∵2＜2+m＜2+2m， ∴当x＝2+2m时的函数值大于当x＝2+m时的函数值，即x＝2﹣m时的函数值． ∴当x＝2+2m时，函数值在2﹣m＜2＜2+2m上取得最大值3． 代入有4m2﹣1＝3，舍去负解，得m＝1． （3）存在，n＝1． ∵当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，y无法取到最大值与最小值， ∴关于x的取值范围一定不包含对称轴， ①当n≤2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的左侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最大值，x＝n时，y有最小值， 由题意可知：，解得：n＝1， 故n＝1， ②当n﹣2≥2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的右侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最小值，x＝n时，y有最大值， 由题意可知：，此时n无解， 故不符合题意， ∴n＝1． 9．解：（1）①联立， 解得：， ∴一次函数y＝﹣2x+1的图象上的“纵三倍点”为， 故①正确，符合题意； ②联立， 解得：，， 故②错误，不合题意； ③联立， 解得：， ∴二次函数y＝x2+1的图象上只有一个“纵三倍点”（1，3）， 故③正确，符合题意； 综上分析可知，正确的是①③， 故答案为：①③； （2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，依题意得： ， 解得：， ∴y＝x2+mx+n经过（2，6），代入得： 6＝4+2m+n①， 联立， ∴x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0， ∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点， ∴Δ＝（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0②， 联立①②得， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+8； （3）存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；理由如下： 联立， 即， 依题意得：， ∴6a＝（b﹣3）2， ∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2b2﹣8b+9＝2（b﹣2）2+1， ∴当b＝2时，w的最小值为1， ∵当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t， ∴t＝1， 故存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；t＝1． 10．解：（1）由新定义知，a2＝c1，b2＝﹣b1，c2＝a1， ∴二次函数的“反序对称”函数为， 故答案为：3x2﹣x+2； （2）①函数y2的图象是经过某两个定点；理由如下： ∵点P（m，t）与点Q（n，t）（m≠n）始终在关于x的函数的图象上运动， ∴函数y1的对称轴为直线， ∴n＝﹣3m， ∴， 令3x2+2x＝0， 解得x＝0或 ， 过函数图象过定点（0.1），， ∴函数 y2 的图象过定点（0.1），； ②由点P（m，t）与点Q（n，t）（m≠n）可知，PQ∥x轴， 将P（m，t）代入得： t＝m2+2m2+n ∵n＝﹣3m， ∴， 即直线PQ与x轴间距离的最大值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/2 16:06:13；用户：帐号61；邮箱：hxnts61@xyh.com；学号：37372737 学科网（北京）股份有限公司 $$