精品解析：河北省沧州市盐山县盐山中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

盐山中学24-25学年第二学期期中考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，由向量数量积的定义可得，再由投影向量的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，设，夹角为， ， 又，，， 所以， 向量在向量上的投影向量为． 故选：B. 3. 若棱长为正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 4. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 5. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 6. 已知平面，直线且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理，及线面平行的定义可判断选项正误. 【详解】因，又，则，即“”是“”的充分条件； 当，时，不一定和l平行，还有可能异面， 则“”不是“”的必要条件.则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 正方体 中，直线与直线夹角余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可． 【详解】如图，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以为异面直线与直线的夹角， 又因为，所以， 所以直线与直线夹角的余弦值是. 故选：A 8. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①由题设结合线面垂直的判定证平面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当平面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，平面， 故平面，又平面，所以平面平面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的轨迹长度为，故④正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数乘法和复数模的定义计算可判断A；根据复数的定义可判断B；直接计算，由共轭复数和几何意义可判断C；由求根公式和复数为实数的条件计算可判断D. 【详解】记，则 所以，，故A正确； 虚数不能比较大小，故B错误； 因为，所以对于点为，C正确； 由求根公式得， 因为方程有实数根 所以，解得，当取时，，故D错误. 故选：AC 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A:利用线面平行的判定定理即可判断；对于选项B:结合题意可得为异面直线与所成的角，借助截面是正方形求解即可；对于选项C:结合题意利用，，并借助截面是正方形即可判断；对于选项D:利用分析法并借助线面垂直的性质可得到不一定成立，即可判断. 【详解】对于选项A:点分别是棱的中点，， 平面，平面，截面，故A正确； 对于选项B: 点分别是棱的中点，， 为异面直线与所成的角， 截面是正方形，， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 对于选项C:截面是正方形，， 又点分别是棱的中点， ，，，故C正确； 对于选项D:若要使平面，则需要，， 但由题意知不一定成立，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将复数化简，令其对应的实部大于，虚部小于，即可求出对应的实数的取值范围. 【详解】 ， 令则，得. 故答案为：. 13. 如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明平面平面，即可得到三棱锥和三棱锥高之比为，再由，即可得到其底面积之比，从而得解. 【详解】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解. 【详解】因为是平面内一组基底，即不共线， 设，显然、不共线，且均不为零向量， 设的夹角为，则，， 又因为，则， 即，整理得， 所以， 又因，则， 所以与所成角的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， （2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解. 小问1详解】 ，所以， 【小问2详解】 由可得 故 16. 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． （1）求它的表面积； （2）求它的体积. 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和； (2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为； 【小问2详解】 连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高， 则， 故棱锥的体积． 17. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 解得：或. 【小问2详解】 因为， 所以，解得：， 所以， ， 所以与夹角的余弦值为. 18. 已知向量，，函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案； （2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域. 【小问1详解】 因为向量，，函数， 所以 ， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知， 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位， 则， 当时，，， 则． 所以在的值域为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）. 【解析】 【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I）证明：连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （II）证明：取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）解：连接， 由（II）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐山中学24-25学年第二学期期中考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若棱长为正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面，直线且，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 正方体 中，直线与直线夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A 截面 B. 异面直线与所成的角为 C D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 13. 如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 14. 已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 16. 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． （1）求它表面积； （2）求它的体积. 17. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 18. 已知向量，，函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$