精品解析：2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷

2025年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学 本试卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 3 C. 0.5 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列古文字中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火升空，长征二号F遥十八运载火箭总长58.34米，重量约，479700这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. 15 D. 7. 以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：x2-16= ________________． 12. 关于的不等式的解集是_____． 13. 直线y＝x－2与y轴交点坐标是_____． 14. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 15. 如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为_____． 16. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 17. 鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 18. 如图，已知的半径为4，且圆心在边长为4的等边的三边上运动，点的坐标为，轴，当与轴相切时，点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 21. 某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． （3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． （4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 22. 如图，在中，对角线和交于点，点E，F在上，且，连接，，，． （1）求证：； （2）当平行四边形是菱形时，判断四边形的形状． 23. 某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表： A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元） 方案一 100 200 300 方案二 200 100 240 （1）求A，B两种型号国产芯片的单价； （2）若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？ 24. 如图，神龙塔的旅游观景层的高度米．在神龙塔前方有一斜坡长6米，，斜坡上有一座炎帝像．某旅行者在旅游观景层测得炎帝像顶端的俯角，底端的俯角． （1）求炎帝像到神龙塔的距离； （2）求炎帝像的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 25. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，． （1）观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____； （2）操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”． （1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____； （2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学 本试卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 3 C. 0.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，先分别求出各个数的绝对值，然后在比较实数的大小即可． 【详解】解∶，，，， ∵， ∴绝对值最小的是， 故选：C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列古文字中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形没有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形有一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 4. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火升空，长征二号F遥十八运载火箭总长58.34米，重量约，479700这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 5. 如图是由正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，解题的关键在于能够准确观察出图形的样子．根据俯视图的定义：从上边看到的图形进行判断求解即可． 【详解】解：俯视图是由上向 看得到的物体的视图，可以看到一行3个小正方形，俯视图为： 故选C． 6. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B 7. 以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式．先得到节日在农历七月的有个，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：这9个节日中，节日在农历七月的有个， ∴抽到的节日在农历七月的概率为， 故选：B． 8. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解． 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴， ∴． ∴ ， ∵， ∴ ， 则， ∴ ． ∵，且，， ∴，即 ， 解得． 故选：A． 9. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，正多边形的内角问题，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识点，求出正多边形的内角是解题的关键． 过点作于点，先求出的度数，然后解求出，再计算扇形面积以及面积，最后由即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 10. 古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，根据题意，充分理解为与的距离，为与的距离，且满足，，则，分别代入数值到化简，得，，，再代入数值到，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵，规定，，， ∴， ∵记为与的距离，为与的距离， ∴， ∴， ∴ ∴， 则， 解得，， 则 ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 12. 关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据移项，合并同类项，系数化为1，可得解集． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 13. 直线y＝x－2与y轴交点坐标是_____． 【答案】(0，－2) 【解析】 【分析】当x=0时，求y的值，从而确定直线与y轴的交点． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝－2， ∴直线y＝x－2与y轴交点坐标是（0．－2）． 故答案为：（0，－2）． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，利用数形结合思想解题是关键． 14. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和平均数．根据平均数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．据此即可判断． 【详解】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵ ∴丁的方差较小， ∴丁发挥稳定， ∴选择丁参加比赛． 故答案为：丁． 15. 如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，根据点的坐标为，平行四边形的面积为6，得，则，则，故点A的坐标为，即可求出实数的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的面积为6，点的坐标为， ∴， 则， ∴， 则， ∵点的坐标为， ∴点A的坐标为， 把代入， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，设，则，在中，由三角形内角和定理建立方程求解，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 18. 如图，已知的半径为4，且圆心在边长为4的等边的三边上运动，点的坐标为，轴，当与轴相切时，点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，注意分类讨论的思想． 当点在上时，如图，设切点为点，连接与交于点，由题意得，轴，，可得，，解，求出，则；当点在上时，同理可求． 【详解】解：当点在上时，如图，设切点为点，连接与交于点， 由题意得，轴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴ 当点在上时，如图，设切点为点，连接与交于点， 同理可得， ∵轴，点的坐标为，等边的边长为4， ∴， ∴， 综上：当与轴相切时，点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． （3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． （4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3）2400名 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图，利用画树状图或列表法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据C选项的人数和占比求出总人数，进而可求出选项D的人数，即可补全条形统计图． （2）用360度乘以A选项人数的占比即可． （3）用样本估计总体即可． （4）画出树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：总人数有：人， 参加D项活动的人数有：（人） 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：(名) 【小问4详解】 解∶ 由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为， 22. 如图，在中，对角线和交于点，点E，F在上，且，连接，，，． （1）求证：； （2）当平行四边形是菱形时，判断四边形的形状． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，菱形的性质和判定． （1）先由平行四边形的性质得，，进而得，即可通过证明； （2）根据菱形的性质的性质得，，，再根据得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴在四边形中，，，， 即四边形的对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形． 23. 某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表： A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元） 方案一 100 200 300 方案二 200 100 240 （1）求A，B两种型号国产芯片的单价； （2）若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？ 【答案】（1）A，B两种型号国产芯片的单价分别为0.6万元，1.2万元 （2）至少购买型号国产芯片134枚 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A，B两种型号国产芯片的单价分别为万元，万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设至少购买型号国产芯片枚，根据“计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元”列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚万元，万元， 由题意得：， 解得：， ∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚0.6万元，1.2万元； 【小问2详解】 解：设至少购买型号国产芯片枚， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴至少购买型号国产芯片134枚． 24. 如图，神龙塔的旅游观景层的高度米．在神龙塔前方有一斜坡长6米，，斜坡上有一座炎帝像．某旅行者在旅游观景层测得炎帝像顶端的俯角，底端的俯角． （1）求炎帝像到神龙塔的距离； （2）求炎帝像的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）炎帝像到神龙塔的距离为 （2）炎帝像的高度为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）延长直线与射线交于点，与射线交于点，得到四边形是矩形，先解求出，即可得到，再解即可求解； （2）解求出，再由即可求解． 【小问1详解】 解：延长直线与射线交于点，与射线交于点， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，斜坡长6米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即炎帝像到神龙塔的距离为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， 答：炎帝像的高度为． 25. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，． （1）观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____； （2）操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，平行线的性质； （1）根据平行线的性质可得，进而可得； （2）过点作于点，设，则，根据，求得，进而求得，根据，即可求解； （3）过点作，则是等腰直角三角形，设，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质表示出，根据，，得出，进而求比值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，， ∴，，是等腰直角三角形， 设 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 26. 在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”． （1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____； （2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值． 【答案】（1） （2） 四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由，解得或， ∴，， ∵点关于原点对称，点关于原点对称， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（）根据“旋转抛物线”的定义解答即可； （）分别求出点的坐标，根据四边形的对角线互相平分即可求解； （）利用中心对称轴图形可得，设，过点作轴于，过点作于，由相似三角形的判定和性质得，即得，进而得到，解得，即得，，连接，作于，根据三角形的面积可得，最后根据正弦的定义计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点作轴于，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， 连接，作于， ∵，， ∴，，，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的新定义，二次函数的性质，二次函数的几何应用，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，两点间距离公式，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $