专题13二次函数面积最值问题2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题13 二次函数面积最值（原卷版） （2大类型精选20题） 类型一：铅锤法求面积 1．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 2．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 3．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，点，对称轴为直线是第三象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； 5．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点，抛物线的对称轴交直线于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接 ，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形?若存在，请直接与出点的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，连接交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点和点关于原点对称，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，点为平面上任意一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，，与轴交于点，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在直线上方的抛物线上有一动点，点是点关于轴的对称点，连接交直线于点，当最大时，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点，点为新抛物线上任意一点，点为原抛物线对称轴上位于轴下方的一点，是否存在是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二：割补法求面积 10．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 11．如图，抛物线（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点D的坐标； (3)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 12．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点，作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 13．在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．其中点，点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在直线经过点，与轴交于．在直线l下方的抛物线上有一个动点，连接，，求面积的最大值及其此时的坐标． (3)将抛物线y向右平移个单位长度后得到新抛物线，点是新抛物线的对称轴上的一个动点，点是原抛物线上的一个动点，取面积最大值时的点．若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的过程． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为．在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． (1)求点D的坐标； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作AD//BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 20．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数面积最值（解析版） （2大类型精选20题） 1．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． 2．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）在中，令，，可得，将，代入即可求解； （2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； 【详解】（1）解：在中， 令，则；令，则，解得； ∴， 将，代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点E， 设点，则 ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 3．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，点，对称轴为直线是第三象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时点N的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式： （1）根据抛物线的对称性可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴，即， ∵点，， ∴， 设点N的坐标为， 如图，连接， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值是， 此时， 此时点N的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； 【答案】(1) (2)点时，四边形的面积最大为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，可得，再把点，代入，即可求解； （2）先求出，可得，然后求出直线的解析式为，再设，可得，从而得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ∴， ， 抛物线解析式为， 点，， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：轴，点， 当时，， ，， ， ， 设直线的解析式为， 点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 设， ， ， ， ∴ ， 当时，四边形的面积最大， 即点时，四边形的面积最大为； 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数最值的确定方法，解本题的关键是建立函数关系式求最值． 5．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)面积的最大值是，此时点P的坐标为 (3)的坐标为或．求解过程见解析 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）连接，过作轴交于，求出，可得直线函数表达式为，设，即可得，由为的中点，有，根据二次函数性质可得答案； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位，得新抛物线，新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，且；②若，为对角线，；③若，为对角线，． 【详解】（1）解：把，点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， 由，得直线函数表达式为， 设，则， ， ， 为的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时，， 面积的最大值是，此时点的坐标为； （3）解：，， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 新抛物线， 新抛物线的对称轴为直线， 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 此时方程组无实数解； ②若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； ③若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标是 (3)，，， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，作直线，过点P作轴，交于点K， ∵对称轴为直线， ∴点D的坐标是， 当时，， ∴点，直线解析式为， 则， ∴， ∴， 设P的坐标为，则点K的坐标是， ∴， ∴， 则， 则， ∴当时，有最大值10，此时P点的坐标是； （3）设点， 由点O、P、M的坐标得，，，， 当时，即， 解得：； 即点或； 当时，则， 解得：或， 则点或． 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点，抛物线的对称轴交直线于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接 ，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形?若存在，请直接与出点的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，求出抛物线的对称轴为直线，代入直线的解析式计算即可得出答案； （2）作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于，设，则，，，，则，，，表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）由二次函数的平移法则得出新抛物线的解析式为，且点与点重合，则，对称轴为直线，设，则，，，分两种情况：当时，当时；分别建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，，解得或， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ； （2）解：如图，作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于， ， 设，则，，，， ，，， ， ， 当时，最大为， 当时，， 此时点的坐标为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为，且点与点重合，则， 新抛物线的对称轴为直线， 设，则，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象的平移、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形问题，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，连接交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点和点关于原点对称，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，点为平面上任意一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，进而的解析式，求得点的坐标，过点作轴交于点，于点，过点作于点，表示出的距离，到的距离，根据三角形的面积公式得出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移求得新抛物线的对称轴为直线，求得的长，根据为边和为对角线两种情画出图形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：如图所示，过点作轴交于点，于点，过点作于点， 当时，，则， 设直线的解析式为：，将点代入得，， 解得：， ∵ ∴直线的解析式为， 将点代入，解得：, ∴， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，面积的最大值为， ∴ （3）解：∵，点和点关于原点对称，则， ∵，则 抛物线沿着射线方向平移个单位长度，即将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位， ∵抛物线解析式为 ∴平移后的解析式为，对称轴为直线， ∵， ∴， 设 ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， 当为边时， ∴ 解得： 当时，则 设，则 ∴ ∴ 当时，则 设，则 ∴ ∴ 当为对角线时，则 解得： ∴ 设，则 ∴ ∴ 综上所述，符合条件的点的坐标为 或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，特殊四边形问题，解直角三角形的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，，与轴交于点，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在直线上方的抛物线上有一动点，点是点关于轴的对称点，连接交直线于点，当最大时，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点，点为新抛物线上任意一点，点为原抛物线对称轴上位于轴下方的一点，是否存在是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)存在，或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合) 【分析】（）先得出，即，再根据三角形面积公式即可求得，，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （）过点作于点，过点作于点，设，则，由∽，可得，求得，再由∽，可得，进而可得，利用二次函数的性质可得答案； （）当为直角时，则，可得；当为直角时，则，可得； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ， ， 的面积为， ，即， ， ， ， ，， 把，代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点是点关于轴的对称点， ， ，， 直线的解析式为，， 在中，， 如图，过点作于点，过点作于点， 设，则， ， ，， ∽， ，即， ， 轴， ， ， ∽， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： 将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点， 则抛物线向左平移了个单位向上均平移了个单位，则平移后的抛物线表达式为：， 即， 则设点，点，且， 当为直角时，则，如图， 过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点， 则， ， ， ， ≌， ，， ，， ， 解得：，舍去； ，； 当为直角时，则，如图， 过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点， 同理可得，≌， ，， ，， ， 解得：，舍去， ，； 综上，，或， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，抛物线的平移，线段的最值等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和分类讨论思想，避免遗漏． 10．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 【答案】(1)是直角三角形； (2)四边形面积的最大值为36，点M的坐标为； (3)或，，， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、判断三边能否构成直角三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形； （2）采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为．设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点M的坐标； （3）由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点P的坐标为，根据两点间距离公式可得，，．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：①，②，③，分别代入即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）令，则， ∴点A的坐标为， 令，则， 解得，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为． ∵，， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ， ∴， ∴是直角三角形． （2）设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为． 设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为    ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时， 即点M的坐标为． （3）原抛物线的对称轴为， ∵在中，，，， ∴将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移， ∴新抛物线的对称轴为 ∵点P是新抛物线对称轴上的一点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ， ． 若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况： ①，则， 解得， 此时点P的坐标为； ②，则， 解得， 此时点P的坐标为或； ③，则， 解得， 此时点P的坐标为或． 综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，，． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 11．如图，抛物线（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点D的坐标； (3)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 (3)面积的最大值为2，此时P点坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先根据，求出B点坐标，再根据A、B点坐标代入求解； （2）先求出点C的坐标，进而求出，求出直线的解析式，由平行四边形的性质可得，设点D的坐标为，则点P的坐标为，即可得到，即可求出答案； （3）过Q作轴于E，过C作轴于F，设，则，，求出，证明，，可求，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，， ∴， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+b1， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设点D的坐标为，则点P的坐标为， ∴， ∴， ∴或（舍去），解得：， ∴点D的坐标为或； （3）解：如图，过Q作轴于E，过C作轴于F，    设，则， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时有最大值2， ∴面积的最大值为2，此时P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 12．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点，作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将，，三点代入解析式求解即可得到答案； （2）利用待定系数法，求出直线的解析式，再根据点在抛物线上，点在直线上，可得的坐标为，的坐标为，即可求出，由题意可得是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，列出面积等式，即可求得的最大面积； （3）分情况讨论：当作为平行四边形的边时，则有，且，如图，过点作垂直抛物线对称轴于点，先证明和是全等三角形，得出的值，进而求出点的横坐标，再将点横坐标的值代入抛物线解析式，即可得出点的坐标；当，为平行四边形对角线时，，互相平分，由，坐标可求出对角线中点坐标，再根据中点坐标公式求出点的横坐标，将点横坐标的值代入抛物线解析式，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将，，三点代入解析式得 ， 解得：，，， 抛物线的函数表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得 ， 解得：，， 直线的解析式为， 在抛物线上，且横坐标为， ， ，交于点， 的坐标为， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时，面积最大， ． （3）解：抛物线上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由（1）抛物线解析式得对称轴：， 当作为平行四边形的边时，则有，且， 如图，过点作垂直抛物线对称轴于点，令与对称轴的交点为，   ， ， 对称轴与轴平行， ， ， 在和中， ， ， 点到对称轴的距离为3， 设点，则， 解得或， 又点在抛物线上， 当时，， 当时，， 的坐标为或； 当为平行四边形对角线时， 如图，令与的交点为，则点为和的中点，   ， ，， ， ，点在对称轴上， ， 又点在抛物线上， ， 点的坐标为， 综上所述得点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，动点图形求最大面积及特殊四边形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形判定及根据图形利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． 13．在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．其中点，点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在直线经过点，与轴交于．在直线l下方的抛物线上有一个动点，连接，，求面积的最大值及其此时的坐标． (3)将抛物线y向右平移个单位长度后得到新抛物线，点是新抛物线的对称轴上的一个动点，点是原抛物线上的一个动点，取面积最大值时的点．若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的过程． 【答案】(1) (2)面积最大值为，此时，； (3)或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据点，点，设交点式即可求解； （2）先求得，过点作轴交于点，设，则，表示出的长，根据以及二次函数的性质即可求解； （3）根据平移得出平移后新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况讨论即可求解：①若以为对角线时，②为对角线时，③若以为对角线时． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于、两点．其中点，点 ∴ （2）将代入， 得： 解得： ∴ 令，解得：， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则， ∴， ∴ ， ∴对称轴为，且， ∴面积最大值为， 此时，； （3）∵点，点关于对称， 则抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线， ∴则平移后新抛物线的对称轴为直线， 设，， ①若以为对角线时， ， 解得：， ∴， ②为对角线时， ， 解得：，当时，， ∴， ③若以为对角线时， ， 解得：，当时，， ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊四边形问题，掌握二次函数图形的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为．在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为4，此时点的坐标为： (3)存在；或或或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将，代入抛物线，列方程，即可求得抛物线的解析式； （2）设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，先求出，设设，则，，求出，由，得，从而，即可得到当时，，此时； （3）由，得，抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，即可求出点，设，则，，，直角三角形按直角分类，利用勾股定理列方程即可求得点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线交轴于、，交轴于点，其中，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为： （2）设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，如图所示： ∵， ∴顶点， ∵，， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，，此时 （3）存在，理由如下： ∵， ∴， ∵抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，， ∴， ∴， ∴， ∴交点， 设，则 ，，， 当为斜边时，即，如图， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴； ②当为斜边时，即，如图， ∵， ∴， ∴， ∴（与重合，舍去）或（与重合，舍去），或或， ∴或； ③当为斜边时，即，如图， ∵， ∴， ∴或（与重合，舍去）， ∴， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图像中三角形，四边形面积问题，关键在于面积的转化，以及直角三角形的存在性问题，注意要分类讨论，利用勾股定理逆定理来求解． 15．如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 【知识点】二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，再由待定系数法即可求出函数表达式； （2）设，先求出直线的解析式为，则与对称轴的交点为，可得，即可得出结论； （3）求出平移以后得抛物线的解析式为，则，设，分；两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，，②当为平行四边形的对角线时，． 【详解】（1）令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴与对称轴的交点为， ∴， ∴当时，面积的最大值为； （3）存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴将该抛物线沿射线的方向平移个单位，即抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 由（2）知，， ∵轴， ∴， 设， ∵， ∴与一定是平行四边形的一组对边， ①当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 【点睛】本题综合考查二次函数和平行四边形的相关知识，属于压轴题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象的平移的性质是解题的关键． 16．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． (1)求点D的坐标； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为：，此时； (3)点N的坐标为或或， 或 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）令，求出x的值，进而可求出点A，B的坐标，令，得出y的值，可得出点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用可得出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可得出点D的坐标； （2）过点P作轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，由此可得出点P和点Q的坐标，进而求出的长，由三角形面积公式可得出的面积；连接，由平行可知，的面积与的面积相等，根据，可表达S与m的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可； （3）将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移 个单位，由此可得  的解析式，得出抛物线的对称轴，得出点M的横坐标，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论：点A为直角顶点；点C为直角顶点；点M为直角顶点，求出点M的坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：令，即， 解得或， ； 令，则， ， ∴直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为：， 将点的坐标代入直线，可得， ， ∴直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． （2）如图，过点P作轴交于点Q，设点P的横坐标为m， 则， ， ， 连接， ， ， ， ， ∴当时，的最大值为：，此时； （3）将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位， ， ， ∴抛物线 的对称轴为； 设点M的纵坐标为t，则， ， ， ， 若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论： ①点A为直角顶点， ， 即 ， 解得， 由矩形的性质可知，； ②点C为直角顶点， ， 即 ， 解得， ， 由矩形的性质可知，； ③点M为直角顶点， ， 即 ， 解得 或 ， 或 ， 由矩形的性质可知， 或， 综上，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或， 或 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，矩形的性质等相关问题，（2）得出S与x的函数关系式是解题关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为 (3)点的坐标为，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案； （2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值； （3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，延长交轴于点， 设直线的函数表达式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，其中， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点在原抛物线对称轴上， ∴设点， ①当以为对角线时，，即， ∴， ∵点为新抛物线上一点， ∴， ②当以为对角线时，，即， ， ∵点为新抛物线上一点， ∴， ③当以为对角线时，，即， ， ∵点为新抛物线上一点， ∴， 综上所述，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作AD//BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当m＝2时，四边形BPCQ的面积最大为18，此时P（2，6）． (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（4，0）两点坐标代入抛物线的解析式即可． （2）由抛物线的解析式可得，C（0，4），由点B，点C的坐标可求得直线BC的解析式；过点P作x轴的垂线，交直线BC于点H，设点P的坐标为 ，则H，其中0＜m＜4，可得，根据S四边形BPCQ＝S△BCQ+S△BCP可表达出四边形BPCQ的面积的面积，再结合二次函数的性质可求出当m＝2时，四边形BPCQ的面积最大为18，此时P（2，6）． （3）抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移个单位，向下移动个单位．则新抛物线的对称轴为：直线x＝2，当BC为菱形的边时，①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝2于点M1，M2，此时BM1＝BM2＝BC＝，可得，M1F＝M2F＝，利用点的平移可得到点N1（﹣2，4﹣），N2（-2，4+）；②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示，此时CM3＝CM4＝BC＝，GM3＝GM4＝，由点的平移可知，N3（6，），N4（6，）；当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（2，2），则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形． 【详解】（1）解：将A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线解析式，得 解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的解析式可得，C（0，4），B（4，0） ∴直线BC的解析式为． 如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点H， 设点P的坐标为 ，则H ，其中0＜m＜4． ∴ ∵AD∥BC ∴△BCQ和△BCA的BC边上的高相等， ∴ ＝×5×4+×(﹣m2+4m)×4 ＝﹣2(m﹣2)2+18， ∵﹣2＜0， ∴当m＝2时，四边形BPCE的面积最大为18，此时P（2，6）． （3）解：存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下： ∵（）2+()2＝（）2， ∴抛物线沿射线CB方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移个单位，向下移动个单位． ∵ ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线的对称轴为：直线x＝2， 设对称轴与x轴交于点F； 当BC为菱形的边时， ①以点B为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝2于点M1，M2，如图所示， 此时BM1＝BM2＝BC＝， ∴M1F＝M2F＝ ， ∴M1（2，﹣），M2（2，）， ∵C（0，4），B（4，0）， ∴点B向上平移4个单位长度，向左平移4个单位长度可得到点C， ∴点M1（2，﹣）向上平移4个单位长度，向左平移4个单位长度可得到点N1（﹣2，4﹣）， 同理可得，N2（-2，4+）； ②以点C为圆心，BC长为半径作圆，交直线x＝3于点M3，M4，过点C作CG⊥y轴，交直线x＝3于点G，如图所示， 此时CM3＝CM4＝BC＝， ∴GM3＝GM4＝， ∴M3F＝ ，M4F＝ ， ∴M3（2，），M4（2，）， 由点的平移可知，N3（6，），N4（6，）； 当BC为菱形的对角线时，MN为另一对角线，BC垂直平分MN，此时BC的中点为（2，2）， 则点M与BC的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形． 综上，点N的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题． 19．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小， 周长为 （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 20．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$