精品解析：广东省梅州市兴宁市实验学校2024-2025学年上学期九年级第三次质检数学试题

2024～2025学年第一学期第三次质检试题（数学科） 考试时间120分钟 满分120分 2024/12 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 3. 小华练习射击，共射击600次，其中380次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是( 　) A. 38% B. 60% C. 约63% D. 无法确定 4. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或者 7. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A. B. C. D. 8. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11. 函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大，则m的取值范围是______． 12. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是____米． 13. 如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______． 14. 某斜坡的长为，坡顶离水平地面的距离为，则这个斜坡的坡度为________ 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，B两点，当时，则x的取值范围是______． 16. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为______． 17. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分） 18. 19. 如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于点． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标 （2）连接、，求的面积． 20. 小明想测量楼的高度．他在D处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至C处，测得仰角为，那么该楼有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到．参考数值：） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分） 21. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 22. 有一块三角形的余料．现要将它加工成正方形的零件．正方形的边在边上，G，H分别在上．则这个正方形的面积是多少？ 23. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分） 24. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标，将正方形绕点A顺时针旋转角度，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段于点P，连、． （1）求证：； （2）求的度数；并判断线段之间的数量关系，说明理由； （3）当时，求直线的解析式． 25. 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． （1）求线段的长； （2）在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期第三次质检试题（数学科） 考试时间120分钟 满分120分 2024/12 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，中间有一个圆且无圆心， 故选：B． 2. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】∵在函数中，k=4＞0， ∴其图象在一、三象限，且在每个象限y随x增大而减小，它的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大．反比例函数的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 小华练习射击，共射击600次，其中380次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是( 　) A. 38% B. 60% C. 约63% D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵小华练习射击，共射击600次，其中有380次击中靶子， ∴射中靶子的频率=≈0.63， 故小明射击一次击中靶子的概率是约63%． 故选C． 点睛：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．由已知条件可知为的一个锐角，、为直角边，为斜边，根据锐角三角函数的定义得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 为的一个锐角，、为直角边，为斜边， 如图所示， ， ， 故选：D． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，根据矩形，正方形，菱形的判定即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意； B、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意； C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项符合题意； 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或者 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0． 7. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解意义是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义逐一分析判定即可． 【详解】解：A．阴影面积，故选项A不符合题意； B．阴影面积为，故选项B符合题意； C．阴影面积为2×，故选项C不符合题意； D．阴影面积为故选项D不符合题意； 故选：B． 8. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 10. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11. 函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是____米． 【答案】9 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定推出，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能根据相似三角形的判定定理推出两三角形相似是解此题的关键． 13. 如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 14. 某斜坡的长为，坡顶离水平地面的距离为，则这个斜坡的坡度为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握特殊角的三角函数值．首先根据求出，再求正切即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ∴这个斜坡的坡度为， 故答案为：． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，B两点，当时，则x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．直接利用正比例函数的性质得出点B的横坐标，再根据图象，正比例函数在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，B两点， ∴点B的横坐标为， ∴当时，即正比例函数图象在反比例函数图象的下方， ∴x的取值范围是或， 故答案为：或． 16. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，则可得，所以， ，则可求，，，在中，由勾股定理可求． 【详解】解：∵点O是矩形的中心， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、勾股定理是解题的关键． 17. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，设，则，再根据面积公式列出等式，即可求出的值． 【详解】解：如图：作轴于点，于点， ，， 设，则， ， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线，根据面积公式列出等式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题6分，共18分） 18. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于点． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标 （2）连接、，求的面积． 【答案】（1），，点B的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题；用待定系数法得到函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出两个函数解析式，然后把两函数解析式联立，求出x、y的值； （2）设直线交y轴于点D，即可得到点D的坐标，然后根据解答即可． 【小问1详解】 解：把代入解析式得：，， 解得：，， ∴，， 解方程组得，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线交y轴于点D， 则点D的坐标为， ∴． 20. 小明想测量楼的高度．他在D处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至C处，测得仰角为，那么该楼有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到．参考数值：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查仰角的定义，要求能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解． 先根据等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ， ∴， ∴， 答：该楼高约为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题8分，共24分） 21. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 【答案】（1）80 （2）32人， 补全的条形统计图如下所示： （3） 【解析】 【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解； （2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解； （3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人）， 【小问3详解】 把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁， 根据题意，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种， ∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键． 22. 有一块三角形的余料．现要将它加工成正方形的零件．正方形的边在边上，G，H分别在上．则这个正方形的面积是多少？ 【答案】正方形面积为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识， 过点作于，交于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质即可得到结论，熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解： 过点作于，交于，如图所示： ∵， ∴， 在中，， 设正方形边长为， ∵正方形的边在边上， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴正方形面积为． 23. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每题10分，共20分） 24. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标，将正方形绕点A顺时针旋转角度，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段于点P，连、． （1）求证：； （2）求的度数；并判断线段之间的数量关系，说明理由； （3）当时，求直线的解析式． 【答案】（1） 解：∵将正方形绕点A顺时针旋转角度，得到正方形， ∴ ∴， 在和中， ， ． （2） 解：，，理由如下： 同（1）可证：， ∴， ∵ ∴， 又， ∴，即， ∴ ， ， ． 故答案为：． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质，利用证明即可； （2）利用（1）的方法，同理可证，得出，而，由此可求的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段之间的数量关系． （3）根据全等三角形的对应角相等，等角的余角相等，结合平角的定义推出，，进而得到，解直角三角形确定P、G两点坐标，得出直线的解析式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴G点坐标为：，． 在中，， 则点坐标为：， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以，直线的解析式为． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 25. 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． （1）求线段的长； （2）在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，N的坐标为或或 【解析】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； 【小问2详解】 解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； 【小问3详解】 解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $